陳華友 ，周禮剛 ，劉金培 ，陶志富

(1.安徽大學 數學科學學院,安徽 合肥 230601；2.安徽大學 商學院,安徽 合肥 230601； 3.安徽大學 經濟學院,安徽 合肥 230601)

針對社會、經濟和工程系統(tǒng)中的一些實際問題，人們經常利用一些信息融合的方法把系統(tǒng)中的多源輸入信息變成一個輸出信息，再利用輸出信息來進行適當的預測或決策分析.由于系統(tǒng)內部結構的復雜性和外部面臨一個迅速變化的環(huán)境，傳統(tǒng)的實數型信息很難刻畫研究對象的基本特征，人們經常用區(qū)間數據、三角模糊信息、梯形模糊信息、直覺模糊信息和語言信息等多種不確定的信息形式來表征事物.因此不確定信息環(huán)境下的決策分析方法成為學術界研究的一個熱點問題.

多準則決策(multi-criteria decision making，簡稱MCDM)依據決策方案個數是否有限可以劃分為多屬性決策(multi-attribute decision making，簡稱MADM)和多目標規(guī)劃(multiple objective programming，簡稱MOP)兩類.多屬性決策問題是根據各方案的目標屬性值，采用某種集成融合的方法，將若干個屬性值轉化為該方案的綜合評價值，從而獲得方案的排序結果，并給出最優(yōu)方案.因此，本質上它是考慮具有多個屬性的有限決策方案的排序問題，在投資、生產和服務等領域具有廣闊的應用前景.論文對近年來發(fā)展起來的幾種不確定信息及其信息集成的算子理論，不確定信息環(huán)境下多屬性決策的賦權方法和決策技術，多種偏好關系一致性的概念、不一致性調整的算法、偏好關系的排序方法和共識性模型等問題進行了綜述，并對未來的研究方向進行了總結和展望.

1 不確定環(huán)境下的信息融合理論

為了對不確定環(huán)境下的各種信息進行有效的融合，信息集成算子相關理論逐漸引起大家的關注[1].目前，提出新的集成算子并且討論它們在各個領域的應用，已經成為國內外研究的熱點[2-4].集成算子的研究起源于對算術平均、幾何平均、調和平均等各類均值的探索，以及滿足解決實際問題的需要.最初，人們對集成算子的研究主要考慮實際問題的需要，提出合適的集成算子來對實數值進行有效的融合.然而在實際中經常面臨這樣的困難，是由于人們對實際問題認識限制而造成的感知模糊性，且數據量過于龐大，變量之間關系錯綜復雜，具有很大的不確定性.在這種情況下，采用精確的實值就會造成信息丟失，或者偏離問題本身的實際.因此，人們經常用區(qū)間數據[5]、直覺模糊信息、語言信息等來表示這些不確定的因素.下面從實值信息融合出發(fā)，考慮到多種不確定信息形式，梳理在不確定信息環(huán)境下，集成算子理論在信息融合領域的發(fā)展現狀.

1.1 實數信息集成理論

1988年，Yager[6]為了集成多個實數信息提出了有序加權平均(ordered weighted aggregation，簡稱OWA)算子的概念，該算子將第i個權重賦予第i大的變量.指出該算子介于“求極大”和“求極小”之間，具有單調性、冪等性、有界性和置換不變性等特點.

Fodor等[7]證明了任何的OWA算子都與Chquet積分是等價的，并在此基礎上結合quasi算術平均定義了Quasi-OWA算子的概念.Torra[8]在OWA算子的基礎上，提出了加權的OWA(weighted ordered weighting averaging , 簡稱 WOWA)算子的定義，指出WOWA算子結合了OWA算子和一般的加權平均的優(yōu)點，并將WOWA算子推廣到了語言變量的情況.Chiclana等[9]在OWA算子的基礎上，結合幾何平均算子的特點，定義了有序加權幾何平均(ordered weighted geometric，簡稱OWG)算子.

Yager等[10]根據OWA算子的性質對其進行了相應的拓展，定義了誘導有序加權平均(induced ordered weighted averaging, 簡稱IOWA)算子.該算子根據誘導變量的大小對被集成信息進行排序，然后進行加權集成.陳華友等[11]在調和平均和OWA算子的基礎上，進一步提出了有序加權調和平均(ordered weighted harmonic averaging , 簡稱OWHA)算子的概念.文獻[12]在OWA算子的基礎上結合廣義平均的概念，提出了一類廣義的OWA(generalized ordered weighted aggregation, 簡稱GOWA)算子[13].該算子在OWA算子的基礎上增加了一個冪控制參數，并指出取最大算子、取最小算子、OWA、OWG和OWH(ordered weighted harmonic)等都是GOWA算子當參數取不同值的時候的特例.文獻[14]在OWG算子的基礎上提出了誘導有序加權幾何平均(induced ordered weighted geometric averaging, 簡稱IOWGA)算子，并構建了基于IOWGA算子的組合預測新方法，指出該方法比傳統(tǒng)的單項預測具有更高的有效性和預測精度.

Merigó等[15]在GOWA算子和IOWA算子的基礎上，提出了誘導廣義的有序加權平均算子.該算子包含了所有的IOWA算子、GOWA算子、IOWG算子和IOWQA(induced ordered weighted quadratic averaging)算子.Yager[16]提出了一種新的冪平均(power averaging, 簡稱PA)算子，該算子允許輸入變量之間相互支撐.Yager[17]則考慮到被集成信息之間的交互影響，介紹了Bonferroni平均算子的相關工作.文獻[18]提出了廣義power集成算子，并探討其在多屬性決策中的應用.

進一步，為了對模塊化信息進行集成，文獻[19]提出了有序模塊化平均(ordered modular averaging，簡稱OMA)算子的概念.Liu等[20]則將其進行拓展，提出了廣義有序模塊化平均(generalized ordered modular averaging，簡稱GOMA)算子的定義.GOMA算子由于控制參數的加入具有更好的適用性.

另外，基于不同的罰函數準則，文獻[21]提出了廣義有序加權對數集成算子的定義，文獻[22]提出了廣義有序加權比例平均算子，文獻[23]提出了廣義有序加權指數比例平均算子，文獻[24]構建了廣義有序加權對數比例平均算子的概念，文獻[25]提出了廣義有序加權多重平均算子的定義.此類基于不同罰函數的信息集成算子具有更清晰的集成目標和作用機理，兼具更好的靈活度，便于在模式識別、多屬性決策等領域進行廣泛的應用.

1.2 區(qū)間數據信息集成理論

對于區(qū)間信息的集成，徐澤水[26]將OWA算子推廣到決策信息為區(qū)間數的不確定環(huán)境中，提出了不確定有序加權平均(uncertain ordered weighted averaging,簡稱 UOWA)算子的概念，并給出了相應的集結群決策信息方法.許葉軍等[27]基于區(qū)間數兩兩比較的可能度公式，提出了不確定有序加權幾何平均(ordered weighted geometric averaging, 簡稱OWGA)算子的概念，并提出了基于該算子的多屬性決策方法.劉金培等[28]進一步在OWH算子的基礎上，提出了不確定組合加權調和平均算子的概念.該算子適合對于成本型的指標進行集成，在此基礎上論文給出該算子在屬性權重未知，且屬性值為區(qū)間數的多屬性決策中的應用.

周禮剛等[29]將OWGA算子推廣到了區(qū)間環(huán)境下，并且基于區(qū)間數兩兩比較的可能度，提出一種組合不確定型OWGA算子，并給出了一種基于組合不確定型OWGA 算子的不確定群決策方法.汪新凡等[30]針對多屬性群決策中，屬性值為正態(tài)分布隨機變量，且數據信息來源為不同時期的情況，給出了正態(tài)分布數的運算法則，并且定義了正態(tài)分布數加權算術平均算子及其動態(tài)的情形.Merigó等[31]提出了不確定誘導quasi有序加權平均算子，該算子不僅適用于不確定區(qū)間數的環(huán)境，而且保持了UOWA算子、IOWA算子和quasi-OWA算子的主要特點.Zhou等[32]定義了不確定廣義集成算子，探討了算子的性質和多種不同表達形式.

為了對于連續(xù)區(qū)間中所有數據信息進行集成，Yager[33]對連續(xù)區(qū)間進行無限分割，然后利用OWA算子對其進行集成，得到了連續(xù)的OWA(continuous ordered weighted averaging,簡稱C-OWA)算子.為了集成兩個或兩個以上的連續(xù)區(qū)間數，文獻[34]進一步將C-OWA算子進行改進，提出了加權的C-OWA算子、有序加權的C-OWA算子以及組合的C-OWA算子.Yager等[35]提出了連續(xù)的有序加權幾何(continuous ordered weighted geometric averaging,簡稱C-OWG)算子.Wu等[36]在IOWA算子和C-OWG算子的基礎上，提出了誘導連續(xù)有序加權集成算子.陳華友等[37]為了集成成本型的連續(xù)區(qū)間數據，在OWH的基礎上，提出連續(xù)區(qū)間數有序加權調和平均(continuous ordered weighted harmonic averaging,簡稱C-OWH)算子，證明了算子的單調性和有界性等特點，且集成多個區(qū)間變量，將其推廣到加權調和、有序加權以及組合的C-OWH算子，探討了這些算子在不確定多屬性群決策中的應用.

Zhou等[38]為了進一步提高連續(xù)區(qū)間數據信息集成的適用性和可行性，給出了連續(xù)的廣義有序加權平均算子的定義，說明了C-OWA算子、C-OWG算子和C-OWH算子都是連續(xù)的廣義有序加權平均算子的特例.文獻[39]構造了基于懲罰的連續(xù)區(qū)間信息集成算子，并探討了算子的幾類特殊情形.Liu等[40]進一步提出了連續(xù)Quasi-OWA算子的定義，并將其拓展到對多個連續(xù)區(qū)間數據進行集成.

1.3 直覺模糊信息集成理論

Xu[41]在直覺模糊環(huán)境下，提出了直覺模糊加權幾何平均算子、直覺模糊有序加權幾何平均算子和直覺模糊混合幾何平均算子，并給出了一種模糊環(huán)境下基于直覺模糊混合幾何平均算子的多屬性決策方法.文獻 [42]的研究具有系統(tǒng)性：較系統(tǒng)地研究了直覺模糊信息的集成方式，定義了直覺模糊數的概念；基于得分函數和精確函數，給出了直覺模糊數的比較和排序方法；提出直覺模糊平均算子、直覺模糊加權平均算子、直覺模糊有序加權平均算子等一系列集成算子，詳細研究了他們的優(yōu)良性質，并說明了他們在多屬性決策中的應用.為了集成區(qū)間直覺模糊數，文獻 [43-44]定義了區(qū)間直覺模糊數的一些運算法則，并基于這些運算法則，給出區(qū)間直覺模糊數的加權算術和加權幾何集成算子.

考慮到直覺模糊信息之間的交互影響，Xu[45]提出了直覺模糊Power集成算子.進而，Zhang[46]給出廣義直覺模糊Power有序加權幾何平均集成算子的定義，并證明該算子關于控制參數是嚴格單調的.Xia等[47]在Bonferroni平均算子的基礎上，介紹了廣義直覺模糊Bonferroni平均算子，證明該算子具有單調性、置換不變性和冪等性.Yu[48]受Heronian平均的啟發(fā)，提出直覺模糊幾何加權Heronian平均算子.考慮到被集成變量具有不同的優(yōu)先級，Yu等[49]定義了基于優(yōu)先度的直覺模糊集成算子.為了克服傳統(tǒng)實值直覺模糊集成算子運算規(guī)則的缺陷，He等[50]考慮到直覺模糊數中隸屬度和非隸屬度的交叉影響，定義了直覺模糊幾何交叉影響算子，并驗證了該算子在多屬性決策中的有效性.He等[51]提出了一種中性的直覺模糊信息集成的方法，并將其應用于多屬性群決策.Zhou等[52]提出了連續(xù)區(qū)間值直覺模糊有序加權平均算子，來對區(qū)間直覺模糊信息集成集成，并探討了算子的相關性質.Tao等[53]在Archimedean-Copula等的基礎上，構造了多種直覺模糊Copula集成算子.該類算子具有較好的代數性質.

此外，文獻[54]結合GOWA算子和余弦相似測度，提出了直覺模糊有序加權余弦相似測度，并探討了該測度在直覺模糊信息融合過程中的優(yōu)良性質.文獻[55]進一步針對多屬性群決策中的多種直覺模糊信息的集成問題進行了討論，取得了良好的效果.

1.4 語言信息融合理論

目前對語言變量進行融合主要有以下幾種方式.

一種是將語言變量進行轉換，比較常見的是將語言標度轉化為與之相對應的三角模糊數，根據模糊擴展原理進行模糊數的分析與運算[56].然而，此種方法在進行模糊數運算時，往往進一步增加了模糊性.

二是將語言變量直接進行運算，如文獻[57]定義了語言加權析取算子、語言加權合取算子以及語言加權平均算子.在此基礎上，文獻 [58]提出語言OWA算子和語言加權OWA算子.另外，文獻 [59]提出了語言加權幾何平均算子、語言有序加權幾何平均算子和語言混合幾何平均算子等不確定語言有序加權平均算子.

為了避免在語言變量轉換和計算過程中造成的信息丟失.Herrera 等[60]提出了將一般的語言變量轉化為二元語義量化算子的方法，然后對二元語義量化算子進行計算分析，這樣就可以有效地避免信息的損失.鞏在武等[61]利用三角模糊數與二元語義之前的轉化方法，研究了基于二元語義的語言判斷矩陣與三角模糊互補判斷矩陣之間的內在聯(lián)系，同時給出了一種決策信息同時有語言判斷矩陣、三角模糊互補判斷矩陣形式的集結方法.Wei[62]在不確定語言加權幾何平均算子和不確定語言有序加權幾何平均算子的基礎上，提出了不確定語言混合幾何平均(uncertain linguistic hybrid geometric mean ，簡稱ULHGM)算子的概念，研究了ULHGM的相關性質.指出ULHGM算子不僅反映區(qū)間語言變量本身的重要性程度，而且可以反映區(qū)間語言變量所在位置的重要性.給出一種不確定語言環(huán)境下的多屬性群決策方法.劉兮等[63]針對具有語言評價信息的多屬性決策問題，提出了二元語義廣義有序加權平均算子和二元語義誘導廣義有序加權平均算子.劉金培等[64]考慮到語言變量間的交互影響，提出了二元語義Bonferroni平均算子等定義，進一步實現了語言變量的有效融合.

文獻[65]定義了廣義語言有序加權混合對數平均算子.文獻[66-67]基于Archimedeant-norm和s-norm，分別定義了新的二元語義運算法則和區(qū)間語言信息的運算法則，可以克服原有語言運算不滿足封閉性的缺點.文獻[68]提出了區(qū)間二元語義Bonferroni平均算子的定義.文獻[69]進一步對語言信息的熵測度進行了定義，并討論了相關的優(yōu)良性質.文獻[70]則針對不平衡語言信息，提出了廣義依賴型不平衡語言有序加權平均算子，該算子可以對不平衡語言信息進行有效的融合.

對不確定環(huán)境下信息集成算子理論的發(fā)展趨勢分析可以看出，集成算子經歷了一個由確定性到不確定性的發(fā)展過程，且集成算子的形式越來越靈活，隨著一些控制參數和轉換函數的加入，集成算子變得更具適用性、靈活性和包容性.如GOWA算子就是在OWA算子的基礎上增加了一個冪控制參數，這樣GOWA算子為人們提供了一類廣義的集成算子，經典的OWA算子、OWG算子和OWH都變成它的一個特例，隨著控制參數的變化，GOWA算子就變得更具靈活性.

當然，實際問題的需要是集成算子發(fā)展的主要推動力量.正是因為人們在科學研究和實踐中遇到很多問題，需要對各種確定的、模糊的或者語言的變量進行集成，才促使集成算子理論得到越來越多專家學者的關注，因而集成算子理論得到了迅速的發(fā)展.

2 不確定信息環(huán)境下多屬性決策方法

目前，多屬性決策的研究內容主要包括屬性(和專家)權重的確定以及方案的綜合排序兩個方面.下面將從這兩個方面展開討論.

2.1 多屬性賦權方法

權重在多屬性決策問題中用于衡量屬性(和專家)在決策過程中的重要性程度，屬性(和專家)越重要，則賦予其越大的權重，反之則越小.目前依據權重的獲取方式不同，可以將賦權方法劃分為主觀賦權方法、客觀賦權方法和組合賦權方法3類.

2.1.1 主觀賦權法

主觀賦權法的發(fā)展歷史較久，但主觀隨意性較大.其確定的過程依賴于決策者的主觀判斷，容易給決策者造成額外的負擔，導致其在應用上具有一定的局限性.常見的主觀賦權法包括語言量值方法[6]、德爾菲法[71]和層次分析法[72](analytic hierarchy process ，簡稱AHP法)等.其中，AHP方法由于融合了決策者的主觀態(tài)度，同時又可以進行定量化的分析過程.

2.1.2 客觀賦權法

針對主觀賦權方法的不足，依據不同屬性下各方案對應的屬性值的差異，人們提出不同類型的客觀賦權法.客觀賦權方法相對于主觀賦權法具有較強的數學理論依據，其計算過程相對復雜，但是由于其僅從數據出發(fā)，容易忽略實際決策中決策者對于屬性重要性程度的感知.常用的客觀賦權法包括熵權法[55,69]、離差最大化方法[65]、主成分分析法[73]、博弈方法[74]和多目標規(guī)劃法[67,75]等.客觀賦權法以實際數據為基礎，可以結合測度論、統(tǒng)計學、運籌學等基本理論構建基于一定賦權準則的數學模型，通過模型的求解來獲得相應權重的結果.例如：熵權法和離差最大化原理的賦權準則均是從屬性下的決策信息差異越小越不利于做出決策的角度進行考慮的；而多目標規(guī)劃法也是依據某種偏差準則進行提前設定的.

2.1.3 組合賦權法

為了克服主觀賦權法和客觀賦權法的不足，組合賦權法認為多屬性決策中屬性的權重應為兼顧決策者主觀評價和客觀決策信息的綜合度量.徐澤水等[76]利用一類線性目標規(guī)劃方法實現主觀和客觀兩類權重的結合；陳華友[77]應用離差最大化原理給出一種組合賦權方法；李剛等[78]基于級差最大化方法計算出不同單項賦權結果的組合.

組合賦權法能夠兼顧決策者對于屬性的重要性感知以及決策數據蘊含的數值規(guī)律，因而能夠在利用主觀和客觀賦權優(yōu)點的同時，還能夠克服各自的不足.與前述信息融合原理相類似，組合賦權法本質上是對由不同主觀和客觀賦權獲得的多個單項權重進行融合.

2.2 多屬性決策方法

多屬性決策方法的核心在于如何利用獲得的決策信息實現對決策方案的綜合排序.目前，依據決策信息類型、決策信息的完整性和信息融合的方法等決策的不同環(huán)節(jié)，國內外學者進行了廣泛和深入的研究，取得了大量的研究成果.

2.2.1 考慮決策信息差異的多屬性決策研究

隨著不確定信息表達方式研究的不斷擴展和深入，依托不同類型不確定信息的多屬性決策也得以獲得了廣泛的研究.自模糊決策[79]提出以后，不同類型的不確定多屬性決策相繼被提出，如直覺模糊多屬性決策[50，52，54]、語言多屬性決策[80-85]、猶豫信息和猶豫語言多屬性決策[86-87]、中智集多屬性決策[88]、區(qū)間值信息多屬性決策[68, 83]、Pythagorean模糊多屬性決策[89-90]等.隨著信息表達形式的逐漸復雜化，其用于表現現實生活也更為貼切，相應地，對不同不確定環(huán)境下的多屬性決策方法進行拓展和研究成為當前研究的領域之一.

信息的表達形式是決策信息環(huán)境的表征，與前面幾個模塊的研究相對應，不確定信息環(huán)境下的多屬性決策需要對決策信息進行融合繼而進行綜合排序.相關研究內容歸納如下.

(1) 不確定信息融合理論在多屬性決策中的應用

信息融合方法為方案在不同屬性下的屬性值綜合以及進一步的比較分析提供了基本的工具.不確定多屬性決策研究中信息融合原理和方法的應用最為直接，信息集成算子方法[50，52，65，75]是具有代表性的一類，其中信息的運算法則[66-67, 91]與集成算子的表現形式和功能是兩個主要研究內容.除此之外，包括貝葉斯方法[92]和證據推理[93]等在內的隨機類數據融合算法和模糊邏輯[94]等人工智能類數據融合算法在不確定多屬性決策中均有廣泛的應用.

(2) 不確定信息測度理論在多屬性決策中的應用

如前面所述，多屬性決策問題中決策信息常見測度包括信息熵測度[69](包括交叉熵)、距離測度[80, 87]和相似性測度[54, 87]等.這些信息測度不僅能夠表征決策信息所蘊含的信息量的大小或者不同屬性(決策者)下決策信息的差異性大小，還能進一步用于實現對方案的綜合排序.例如：TOPSIS(technique for order preference by similarity to an ideal solution)法[95]通過衡量方案決策信息與正負理想點之間的距離大小綜合成貼近度指標，進而通過比較貼近度大小實現方案排序；ELECTRE(ELimination Et Choix Traduisant la REalité)法[96]利用距離測度構造了一類多屬性決策方法，信息熵或者交叉熵測度[69]通過衡量屬性下決策信息的差異大小獲取屬性的權重；與距離測度相類似，相似性測度[87]也可以通過比較各方案的決策信息與正負理想點之間的相似性給出一類綜合評價指標.由于3類測度之間在一定程度上可以相互轉化，因而，它們在多屬性決策過程中的應用也具有一定的共性.

(3) 不確定信息排序方法

相對于精確數而言，不確定信息的大小比較也是不確定多屬性決策問題中的重要研究內容之一.比較可能度[97]是不確定信息比較的主要工具，之后不同類型的比較方法相繼得以提出：文獻[98]歸納了區(qū)間數排序的相關研究并提出了一類直覺模糊形式的區(qū)間數排序可能度；文獻[99]和文獻[100]分別給出一類比較猶豫模糊語言術語集和2型模糊集的比較可能度的概念，并將其應用到相應的多屬性決策問題中.

2.2.2 考慮基于決策技術的多屬性決策研究

事實上，決策方法無疑都是從不同的視角利用決策信息.因而，這里所謂的決策技術更多地側重于多屬性決策流程設計和不同學科與多屬性決策的交叉研究等.

首先，Lahdelma等[101]通過引入權重空間的方法給出一類隨機多準則可接受性分析方法，其后續(xù)與其他決策方法的結合也均得到了具有顯著影響的結果[102].

其次，多維偏好分析的線性規(guī)劃方法[103]通過決策者對方案的成對比較去估計權的值和理想解的位置，給出一類與TOPSIS相區(qū)別的另一類多屬性決策方法，并且在不確定多屬性決策中獲得了推廣[104].

再次，為了反映實際多屬性決策過程中，不同決策者可能考慮的屬性集的不同，如文獻[55]給出一類廣義的多屬性群決策模型，以期能夠從決策問題本身更貼近實際的決策過程.由此可以看出，上述成果均是在決策流程或結構上對不確定多屬性決策給出的有益嘗試.

3 不確定環(huán)境下偏好關系的理論研究

3.1 偏好關系一致性的概念研究

表1給出了不同偏好關系的一致性定義、測度和相應的文獻來源.

表1 不同偏好關系的一致性

一致性反映了決策者對準則或方案的判斷結果是否具有序傳遞性，因此它是用來對方案進行排序的基本保證和前提條件.只有具有滿意一致性或可接受一致性的偏好關系才可以用來對方案進行排序.目前關于偏好關系一致性方面的研究主要包括乘性一致性和加性一致性兩種形式.而一致性的定義方法主要有兩個角度：一個是從偏好關系的元素滿足傳遞性關系式的角度出發(fā)來定義的，另一個是從偏好關系對應的排序權重的角度來定義的.

上述研究表明，一些復雜信息環(huán)境下的偏好關系一致性研究較少，包括區(qū)間直覺模糊偏好關系、區(qū)間猶豫模糊偏好關系、區(qū)間猶豫模糊語言偏好關系、二型模糊偏好關系、中智模糊偏好關系等偏好關系的一致性定義和測度.另外，對于常見偏好關系的殘缺信息形式，其一致性測度研究也非常少.

3.2 偏好關系不一致性的調整算法研究

對于不滿足一致性的偏好關系，一般需要對其進行調整，將其調整為具有滿意一致性或者可接受一致性.而對偏好關系進行一致性調整時，需要構建一個滿足一致性的目標偏好關系，根據該目標偏好關系與被調整的偏好關系之間的偏差測度或者相關性測度大小對被調整偏好關系進行調整，因此目標偏好關系的構造成為偏好關系一致性調整的關鍵.目前關于目標偏好關系的構建方法主要有兩類：一類是根據待調整的偏好關系自身特點利用其元素來構造一個一致性目標偏好關系；另一類是通過待調整偏好關系的排序權重來構造一個一致性目標偏好關系.

對于第一類方法，很多專家學者針對不同的偏好關系進行了大量研究：文獻[133]通過構造加性偏好關系的鄰接矩陣定義了目標偏好關系并給出了一致性調整算法；文獻[134]通過定義偏好關系的Hadamard乘積提出了普通的乘性偏好關系的目標偏好關系給出了乘性偏好關系一致性改進算法；文獻[135]基于優(yōu)化模型求解一致性乘性偏好關系和加性偏好關系；文獻[136]基于對數偏差距離提出了一種衡量區(qū)間乘性偏好的一致性測度并給出了一致性調整算法；文獻[137]通過區(qū)間加性偏好關系本身研究了最優(yōu)一致性矩陣和最差一致性矩陣，進而給出了一種一致性改進算法來調整區(qū)間加性偏好關系；文獻[138]利用誘導連續(xù)區(qū)間有序加權平均算子提出了區(qū)間加性偏好關系的一致度概念，并用來衡量區(qū)間加性偏好關系的一致性；文獻[139]通過乘性三角模糊偏好關系元素的3個參數定義了3個目標偏好關系，并給出了乘性三角模糊偏好關系一致性的調整算法；文獻[140]基于梯形模糊偏好關系乘性一致性的概念構造了具有乘性一致性的梯形模糊偏好關系，并以該偏好關系為目標設計了乘性梯形模糊偏好關系一致性調整算法；文獻[141]通過C-OWG平均算子，模糊集的截集和乘性一致性定義了乘性梯形模糊偏好關系的一致性，并給出了一致性改進算法；文獻[142]基于梯形模糊偏好關系加性一致性的概念構造了具有加性一致性的梯形模糊偏好關系，并以該偏好關系為目標設計了加性梯形模糊偏好關系一致性調整算法；文獻[143]設計了一個算法提出一致性直覺模糊偏好關系作為目標偏好關系再對直覺模糊偏好關系進行改進；文獻[144]提出了一個規(guī)劃模型，通過求解規(guī)劃模型構建了一個一致性目標直覺模糊偏好關系然后再對原始偏好關系進行調整；文獻[145]通過轉換函數構造出一致性的直覺模糊目標偏好關系再設計偏好關系一致性調整算法.基于直覺模糊偏好關系乘性一致性的概念：文獻[127]構造了具有乘性一致性的直覺模糊偏好關系，然后設計直覺模糊偏好關系一致性調整算法；文獻[128]通過構造具有加性一致性的直覺模糊語言偏好關系，構造了直覺模糊語言偏好關系一致性的調整算法；文獻[117]考慮決策者本身按照語言偏好關系中元素的不一致性信息重新定義語言偏好關系，然后設計待調整的語言偏好關系一致性改進算法；文獻[120]和文獻[122]根據語言偏好關系一致性的概念，構造了具有一致性的語言偏好關系，并以該偏好關系為調整目標設計了偏好關系一致性改進算法；文獻[146]通過一個混合0-1規(guī)劃提出了一致性的不平衡語言偏好關系，然后再設計一致性調整算法；文獻[131]通過一個正態(tài)猶豫模糊語言偏好關系來討論目標偏好關系，然后設計偏好關系的調整算法.

對于第二類方法，文獻[147-148]利用乘性偏好關系的排序權重定義一致性目標偏好關系矩陣然后構造了一個偏好關系調整算法；文獻[149-150]利用加性偏好關系的排序權重建立了一致性加性偏好關系再設計偏好關系改進算法；文獻[151]利用區(qū)間加性偏好關系的排序權重提出了一個非線性規(guī)劃來改進原始的偏好關系；文獻[152]利用群決策共識性測度和貝葉斯分析方法來對單個的乘性偏好關系進行調整.

上述研究表明，基于現有的各種偏好關系一致性測度構建方法，至少有兩個方面的問題有待深入研究：一方面是針對新型模糊偏好關系的一致性調整，包括區(qū)間直覺模糊偏好關系、猶豫模糊偏好關系、區(qū)間猶豫模糊偏好關系、二型模糊偏好關、中智偏好關系等多種模糊偏好關系的一致性調整；另一方面是針對各種偏好關系利用排序權重來構建一致性調整算法，這一方面的研究目前相對較少.

3.3 偏好關系的排序方法研究

對于不同偏好關系的排序權重的求解，均是基于偏好關系的一致性，從偏好信息與排序權重的關系出發(fā)，構建不同的優(yōu)化模型，通過求解優(yōu)化模型來求解排序權重.經典的方法有特征向量法、最小偏差法、對數最小偏差法、卡方法等.文獻[72]給出了乘性偏好關系排序的特征向量法；文獻[153]根據乘性偏好關系和加性偏好關系之間的轉換公式，從最優(yōu)化角度提出了加性偏好關系的最小平方法和特征向量法；文獻[154-55]分別從乘性偏好關系和加性偏好關系的關系角度出發(fā)研究了求解偏好關系排序向量的卡方法和目標規(guī)劃法；文獻[156]基于特征向量法和行幾何平均方法，考慮到決策者不同的風險態(tài)度，討論了兩種求解區(qū)間乘性偏好關系的區(qū)間權重向量的方法；文獻[157]通過分析區(qū)間加性偏好關系與區(qū)間乘性偏好關系之間的關系，給出了一種求解一致性或非一致性區(qū)間加性偏好關系排序權重算法；文獻[158]基于相對熵的概念，構建了一種最優(yōu)化模型用以求解區(qū)間加性偏好關系的排序向量；文獻[159-160]分別構建了兩個目標規(guī)劃模型求解區(qū)間乘性偏好關系的區(qū)間排序權重；文獻[161]基于加性三角模糊偏好關系可能度概念提出了一種排序向量求解方法；文獻[74]基于三角模糊偏好關系與其排序向量之間的關系，構建了非線性優(yōu)化模型用以求解三角模糊偏好關系的排序向量；文獻[162]利用C-OWA算子梯形模糊數的期望值函數將加性梯形模糊偏好關系轉化為期望值加性偏好關系然后求解排序權重；文獻[163]構造了一種最小偏差模型用以求解加性梯形模糊偏好關系的排序向量；文獻[140]構造了一種對數最小二乘模型用以求解乘性梯形模糊偏好關系的排序向量；文獻[164]討論了一種基于誤差分析的直覺模糊偏好關系排序算法；文獻[126]引入了一種生成直覺模糊偏好關系排序權重的分式規(guī)劃法；文獻[125]提出了一種線性規(guī)劃模型求解直覺模糊偏好關系的直覺模糊排序權重；文獻[165]基于區(qū)間直覺模糊偏好關系一致性的概念，提出了一種對數最小優(yōu)化模型用以求解區(qū)間直覺模糊偏好關系的排序向量；文獻[166]研究了改進仁慈型語言偏好關系交叉效率DEA模型，并提出了該模型的區(qū)間加性語言偏好關系的排序方法；文獻[167]基于乘性偏好關系與加性偏好關系之間的轉換關系，針對不完全乘性偏好關系，研究了基于迭代算法的最小偏差方法用以求解排序向量；文獻[168]構建了不完全猶豫模糊偏好關系的目標規(guī)劃模型求解排序向量.

文獻研究表明，偏好關系排序權重主要集中于乘性偏好關系、加性偏好關系、區(qū)間偏好關系、三角模糊偏好關系、梯形模糊偏好關系、直覺模糊偏好關系、區(qū)間直覺模糊偏好關系等偏好關系，構建的模型也大多是常規(guī)優(yōu)化模型，而對于比較復雜的語言型偏好關系、猶豫模糊偏好關系、猶豫模糊語言偏好關系等偏好關系的排序研究則較少.

3.4 偏好關系共識性模型研究

偏好關系共識性模型研究是解決群體決策問題的重點之一，主要包括共識性測度的構建和依據共識性測度對偏好關系進行共識性調整，所以其關鍵是共識性測度的定義方法.目前關于偏好關系共識性測度的定義方法主要表現為兩種方式：一種是直接定義單個偏好關系與群體偏好關系的偏差測度或者相似性測度，并將其作為共識性測度，其中群體偏好關系是單個偏好關系依據一定的集結準則或者信息集成算子的綜合集成方式；另一種是定義群體決策中某單個偏好關系和另一單個偏好關系之間的偏差測度或者相關性測度，再依據一定的集結準則或者信息集成算子進行綜合構建綜合共識性測度.針對不同的共識性測度，許多學者提出了大量的共識性調整算法，表2說明了不同偏好關系的共識性測度構成方式、偏好關系調整方式和相應的參考文獻，其中CRI1表示給出的共識性測度是按照第一種方式來定義，CRI2表示給出的共識性測度是按照第二種方式定義.

文獻研究表明，共識性模型主要集中于傳統(tǒng)的乘性偏好關系、加性偏好關系、區(qū)間偏好關系、梯形模糊偏好關系、語言偏好關系、區(qū)間語言偏好關系等偏好關系，新型的二元語義偏好關系、多粒度非平衡二元語義偏好關系、直覺模糊偏好關系、猶豫模糊語言偏好關系等較為復雜的偏好關系研究仍然較為少見.另外，很多共識性模型只討論了共識性測度的構建以及相關性質，對于不滿足共識性的偏好關系未給出相應的調整算法.

表2 基于不同偏好關系的共識性測度與調整算法

4 結束語

通過不確定信息環(huán)境下多屬性決策研究的成果的梳理，未來至少可以在以下幾個方面進行更多的有益探索：

(1) 探討多屬性決策問題中屬性或專家權重確定的更加科學和合理的方法.隨著人們對于實際經濟和管理決策問題理解的不斷深入，以及大數據科學技術的不斷進步，有望將新興的學科發(fā)展的新方法拓展到多屬性決策問題中，給出更加符合客觀規(guī)律的賦權方法.

(2) 考慮基于序關系的多屬性決策方法.僅僅依賴方案之間的序關系構造相應的多屬性決策問題在現實生活中是常見的，但現有的研究有待進一步深入探索,未來尚需進一步研究現有多屬性決策信息中所蘊含的代數結構.

(3) 探索多學科交叉在多屬性決策方法中的應用.現有的物元分析、集對分析和云計算等技術均在多屬性決策分析中得到了應用，圖論和博弈理論在多屬性決策分析中應用也已見諸報端.將不同學科的背景與方法融入多屬性決策分析中，以豐富該領域的理論和實踐基礎無疑可以進一步深入研究.

(4) 構建新的偏好關系一致性測度.將從偏好關系的乘性一致性和加性一致性兩個方面定義復雜不確定環(huán)境下的偏好關系一致性，尚需研究新的一致性測度，包括區(qū)間直覺模糊偏好關系、區(qū)間猶豫模糊偏好關系、區(qū)間猶豫模糊語言偏好關系、二型模糊偏好關系、中智模糊偏好關系等偏好關系的一致性測度.另外，還將研究各種殘缺偏好關系的一致性測度及其性質.

(5) 探討偏好關系不一致性的調整算法.基于提出的新型的復雜模糊偏好關系一致性測度，從偏好信息自身和偏好關系排序權重兩個角度出發(fā)，針對不一致的偏好關系，構建偏好關系一致性調整算法，重點要探討算法的收斂性和復雜度.

(6) 探討非常規(guī)的復雜偏好關系排序權重的簡潔方法.一方面，將針對非常規(guī)的復雜偏好關系，已經有文獻構建常規(guī)優(yōu)化模型或者集成準則來確定偏好關系排序權重；但是該方法模型和求解均較復雜，因此將針對各類復雜偏好關系，尚需研究簡潔有效的權重排序方法.

(7) 構建偏好關系共識性的新測度和調整算法.將以測度論為基礎，構建新型的復雜偏好關系的共識性測度，探討其性質，分析群體共識和個體共識的關系，并針對未達成共識的偏好關系需要進行共識性調整，設計共識性調整算法，研究算法的收斂性和復雜度.

(8) 探索廣義集成算子的參數選取的基本原則和適用范圍.雖然現有文獻提出新的更加廣義和靈活的集成算子成為發(fā)展的趨勢，但是隨著新算子的提出，也帶來一些附加的問題需要人們去進行深入研究.如新算子的相關參數該如何取值，相關聯(lián)的導出函數如何定義，不確定信息的排序和比較，基本運算法則的合理性定義，以及算子的賦權方法等都有待人們進一步探索和分析.