儲冬生

[摘 要]數(shù)學教學歸根到底是為兒童的數(shù)學學習服務的。支持兒童成長既是一種理念，更是一種方法和策略。要使“數(shù)學教學”走向“數(shù)學教育”，實現(xiàn)教學品質(zhì)的根本提升，教師必須關注把握知識結(jié)構(gòu)、滲透思想方法、發(fā)展情感態(tài)度、設計關鍵問題、應用合作學習、暴露思維過程、審視生活經(jīng)驗幾個方面。

[關鍵詞]數(shù)學教學；兒童成長；成長支持；關鍵原則

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）26-0001-04

數(shù)學教學歸根到底是為兒童的數(shù)學學習服務的。小學數(shù)學教學應該努力追尋一種“生動且深刻”的狀態(tài)，“生動”是外顯的形式，源自兒童內(nèi)心的召喚，是由兒童的認知規(guī)律和年齡特征決定的。“深刻”則是內(nèi)隱的本質(zhì)，源自數(shù)學學科內(nèi)在的需求，是由數(shù)學的學科特質(zhì)和本質(zhì)屬性決定的。數(shù)學學科的課程與教學是為兒童的發(fā)展提供支持的，而且數(shù)學教學不僅僅是在“教數(shù)學”，更重要的是“育人才”。數(shù)學這門學科有其獨到的育人價值，它能夠培養(yǎng)人的堅韌品格和理性精神，這些都是為人的終身發(fā)展奠基的。

一、有結(jié)構(gòu)的知識才更有力量

知識結(jié)構(gòu)的重要性已經(jīng)為所有的教育工作者所認同，因此，教師在教學中不能散點式地教學知識，而要教知識結(jié)構(gòu)，以減輕學生的“知識負荷”并增強其理解力。在課堂教學實踐中發(fā)現(xiàn)，有些教師教的都是“假的知識結(jié)構(gòu)”，例如，展現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)時只是給出一些連線、框圖等外在形式的圖示，這樣的形式只是便于學生記憶，對提升學生的理解力并沒有多少意義。因此，辨別知識結(jié)構(gòu)的“真假”就成了教師教學首要和關鍵的問題。真正的知識結(jié)構(gòu)在本質(zhì)上是根據(jù)概念之間的共同性關系或者非主觀的實質(zhì)性關系確定的概念結(jié)構(gòu)，需要符合兩條標準：第一，概念清晰和明確；第二，概念之間的關系清晰并具有穩(wěn)定性。

以教學“三角形的三邊關系”為例，“三角形任意兩邊的和大于第三邊”的更基本概念是“兩點之間線段最短”（線段公理）。從“兩點之間線段最短”的再理解入手幫助學生理解三角形的三邊關系，同時通過三角形三邊關系的分析進一步加深學生對“兩點之間線段最短”的理解，就能使學生的學習透徹又簡單。所謂“透徹”，就是對三角形三邊關系的理解有了最基本的依據(jù)；所謂“簡單”，就是將三角形三邊的性質(zhì)化歸為線段公理。

換句話說，只要理解了線段公理也就意味著理解和記住了三角形三邊的性質(zhì)。這種做法實際上就是將三角形的三邊關系與基本概念聯(lián)系起來，建立起概念之間的關系。兩個原理歸結(jié)成一個原理，減輕了學生的學習負擔，這就是在對基本概念的追根溯源中整理出了知識結(jié)構(gòu)的意義。在本質(zhì)上，知識結(jié)構(gòu)就是概念的結(jié)構(gòu)。

教師通常會在復習梳理階段揭示知識的結(jié)構(gòu)，其實知識結(jié)構(gòu)的建立從學習的起點開始就應關注。首先，學生不一定有新知識，但是卻有與新知識相關的舊知識；其次，學生都有自己獨特的認識世界以及學習新知識的方式；最后，回到知識本身，對新知識進行分析，新知識不應被理解為知識點的組合，而應該被理解為一種新的認識方式。因此，知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)應該貫穿教學的始終。

所謂“從學習的起點開始”，就是要在學新知識之前研究學生已有的知識結(jié)構(gòu)與新知識之間的關系，研究新知識的思維基礎與學生已有的思維基礎之間的關系，在新知識教學中要以新舊知識的連接點為突破口，以新知識所需要的思維基礎的形成為重點，從而幫助學生學會自己反思和梳理新舊知識的關系。考量學習的成果既要重視知識的數(shù)量，更要關注知識的結(jié)構(gòu)，有結(jié)構(gòu)的知識才更有力量。

二、重視數(shù)學思想方法滲透

數(shù)學基礎知識與數(shù)學思想方法是數(shù)學教學的兩條主線。數(shù)學基礎知識是一條明線，直接用文字明明白白地寫在教材里，反映著知識間的縱向聯(lián)系；數(shù)學思想方法則是一條暗線，反映著知識間的橫向聯(lián)系，常常隱藏在基礎知識的背后，需要加以分析、提煉才能使之顯露出來。

在學習數(shù)學的過程中逐漸形成的數(shù)學意識、數(shù)學文化、數(shù)學精神等都是數(shù)學思想方法在人腦里的內(nèi)化，是學習者在參與數(shù)學活動中的心理體驗、感悟及反思基礎上的升華。在應用數(shù)學知識解決各種現(xiàn)實問題時，數(shù)學思想方法比數(shù)學知識更具“親和力”，也就是說，人的“數(shù)學智能”在很大程度上是依賴于“數(shù)學思想方法”的。

數(shù)學思想方法的形成過程大致會經(jīng)歷三個階段：潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段。由于數(shù)學思想方法的形成存在潛意識階段，因此在教學中首先需要有一個多次孕育的過程，越是復雜的、難度大的思想方法，孕育的次數(shù)也越多，也只有這樣才能讓學生形成和積累足夠多的感性認識和經(jīng)驗，使學生的認識逐漸從模糊走向清晰。第二階段則是在學生對某種思想方法的感性認識或經(jīng)驗已經(jīng)比較豐富時實施“正面突破”，直面地介紹某種思想方法，要求學生初步掌握利用該方法解決問題的要領。最后一個階段則是順應學生思維發(fā)展的進程，安排簡單的數(shù)學思想方法的應用，促進學生在解決問題的過程中加深對數(shù)學思想方法的理解。

數(shù)學思想方法的滲透比教給具體的數(shù)學知識更加重要。就以三角形的面積公式為例，有多少人在工作以后還會用到這個公式？倒是推導三角形面積計算公式中的轉(zhuǎn)化方法常常在不經(jīng)意間發(fā)揮作用。在英國的大學里，律師專業(yè)的學生至今仍要學習許多數(shù)學知識。盡管律師學習的專業(yè)課程與數(shù)學之間并沒有直接的關聯(lián)，但是，嚴格的數(shù)學訓練能夠使人養(yǎng)成一種堅定不移而又客觀公正的品格，形成一種嚴謹?shù)乃季S習慣，這些都是成為一個好律師必須具備的素養(yǎng)。實際上，當他們成為著名律師的時候，學生時代所學的那些數(shù)學知識幾乎都忘掉了，但是他們當年所受到的數(shù)學訓練和形成的數(shù)學思想方法，卻一直在他們的事業(yè)中發(fā)揮著重要的作用。

數(shù)學教材的每一單元乃至每一道例題，都體現(xiàn)著數(shù)學基礎知識與數(shù)學思想方法的有機結(jié)合，沒有脫離數(shù)學知識的數(shù)學思想方法，也沒有不含數(shù)學思想方法的數(shù)學知識。在數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展與應用的過程中，應以數(shù)學思想的形成作為數(shù)學教學的高層次追求，因為數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的骨架與肌肉，是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的活力與靈魂。

三、關注兒童情感態(tài)度的發(fā)展

小學數(shù)學教學應當重視學生情感態(tài)度的發(fā)展，著力通過學習內(nèi)容、學習方式與手段、學習環(huán)境等激發(fā)學生的學習興趣、求知欲和好奇心，增強學生克服困難的意志和自信心，幫助學生養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、 反思質(zhì)疑的學習習慣，以及堅持真理、修正錯誤、嚴謹求實的科學態(tài)度。

具體來說，一是數(shù)學課程內(nèi)容的現(xiàn)實性特點，有利于學生感受數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，感受數(shù)學在現(xiàn)實生活中的廣泛應用，體會數(shù)學的價值。二是數(shù)學課程內(nèi)容中大量生動有趣、具有教育性的題材，可以激發(fā)學生的認知需要，引發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣，激勵學生積極參與數(shù)學學習，從而獲得積極的情感體驗。三是數(shù)學學科的內(nèi)容與形式、抽象與具體、有限與無限、大與小、確定與不確定等方面的內(nèi)容，既對立又統(tǒng)一，是對學生辯證唯物主義的啟蒙教育。四是數(shù)學學科高度的抽象性和嚴密的邏輯性特點決定了數(shù)學學習具有一定的挑戰(zhàn)性，要求學生在數(shù)學學習中必須具有認真負責、嚴謹求實的科學態(tài)度和刻苦鉆研、獨立思考、勇于挑戰(zhàn)的科學精神以及良好的學習習慣。同時，數(shù)學學習可以培養(yǎng)學生克服困難的意志力，使學生的個性品質(zhì)得到張揚和提升。

教學活動永遠具有教育性，這是教學的基本規(guī)律，因為教書與育人是不可分割的。赫爾巴特第一次提出“教育性教學”，把教學作為道德教育的基本途徑，認為沒有道德教育的教學是一種無目的的手段。學生獲取知識技能的過程必然伴隨著情感態(tài)度的產(chǎn)生。例如，學生感興趣的學習內(nèi)容與學習活動，必然會激發(fā)他們濃厚的學習興趣；愉悅和成功的數(shù)學學習必定會增強學生的自信心；經(jīng)歷和克服數(shù)學學習活動中困難與挫折的過程，會使學生的意志得到磨煉。這些都說明數(shù)學學習中發(fā)展學生的情感態(tài)度是教育規(guī)律的必然反映和客觀要求。

2001 年課程改革后，新課程標準不僅將情感納入了數(shù)學課程目標，而且還將其置于與知識技能、數(shù)學思考、問題解決同等重要的地位?？梢?，數(shù)學課程本身具有情感態(tài)度方面的育人功能，它能促進學生在情感、態(tài)度、能力等方面的整體提升。概括起來，可以從以下幾個方面來關注兒童情感態(tài)度的發(fā)展：激發(fā)數(shù)學學習的興趣和求知欲，培養(yǎng)學好數(shù)學的自信心，獲得積極的情感體驗，形成良好的學習態(tài)度，養(yǎng)成良好的學習習慣，感受數(shù)學的價值，受到辯證唯物主義的啟蒙教育，等等。

四、以學習性問題驅(qū)動探究活動

從孔子的“啟發(fā)式教學”到蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”，提問都是最重要的教學策略之一，因此“問題”也被稱為“最具影響力的單一教學行為”。如何理解“問題”？我以為數(shù)學教學中的問題應當是這樣的：好的問題情境就好比一個想要過河的人所處的境況，當人站在河的這一邊，其目標是河對岸，一時沒能過去時，這種情境就成了“問題”。這里的“河”，使得主體和目標之間有了距離和空缺，這種距離感或者是空缺感，就是一種“問題”。

從某種意義上看，幾個好問題就能成就一節(jié)好的數(shù)學課。學習數(shù)學首先就是要學會數(shù)學的思維方式，積累數(shù)學思維活動的經(jīng)驗，而“思維從疑問與驚奇開始”（亞里士多德語）。這里的問題應該能夠幫助學生進行數(shù)學理解、數(shù)學思考和數(shù)學創(chuàng)新，要引導學生在自主學習中發(fā)現(xiàn)和提出問題。我們把這些能夠激發(fā)學生數(shù)學思考的問題統(tǒng)稱為“學習性問題”。學習性問題可以分為兩類：一類是顯性問題，指那些用語言明確表達的引導學生思考和探究的問題；另一類是隱性問題，指那些學生在學習過程中可能生成和發(fā)現(xiàn)的問題。隱性問題往往是以顯性問題為載體的，特別是探究性問題、反思性問題、評價性問題，其本身就是隱性問題產(chǎn)生的載體。

要設計好的學習性問題，讓數(shù)學教學活動能夠在關鍵點上展開，就要確立“三位一體”的問題觀。

第一，以學科的問題為基礎。設計好的數(shù)學問題要基于對數(shù)學知識和內(nèi)容的本質(zhì)的把握，倘若學科本質(zhì)沒有把握住，教學就可能偏離主題。

第二，以學生的問題為起點。教學要想實現(xiàn)真正意義上的驅(qū)動，還必須了解學生的真實起點在哪里，只有把握了學生的學習起點在哪里和學生的困惑在哪里，教學設計才可能真正驅(qū)動學生自主學習，學習才可能真正發(fā)生。

第三，以教學的問題為引導。學科的問題和學生的問題都是教師分析教學的重要要件，進行教學設計必須將兩者結(jié)合起來。倘若教學中直接用數(shù)學的問題作為引導，也許數(shù)學教學就缺失了藝術(shù)性；如果僅僅停留在學生的問題層面上，那數(shù)學教學就可能沒有了引領性。

在進行教學活動時，教師應以關鍵問題的設計作為“突破口”，從學生真實的學習問題和困惑切入，讓“學”與“教”在“問題”的交叉點上“互動交往”，從而實現(xiàn)“教”與“學”的完美統(tǒng)一。好的問題至少應具備以下幾項特質(zhì)：能統(tǒng)攝學科知識，貫穿學習過程；能促進能力形成，培養(yǎng)學習方法；能順應學生思維發(fā)展，激發(fā)學習興趣；能培養(yǎng)意志品質(zhì)，形成質(zhì)疑精神。在實際教學中，很多教師提出的所謂問題僅僅就是在學生面前挖了一條“河”，忽視了要激發(fā)學生想要“過河”的欲望。假如學生沒有要“過河”的欲望，即使面對的是“長江天塹”，對他們而言也不能形成一個真切的“問題”。

五、用合作的方式促進學生學好數(shù)學

參與、互動、互助是合作學習的基本特征，人人參與到學習中來是前提，交流互動是過程，達到“1+1>2”是目的。所謂小組合作學習，是指在若干人組成的小組中，為了完成共同的任務，經(jīng)歷動手實踐、自主探索和合作交流的過程，實現(xiàn)有責任分工的互助性學習。

以小組討論的形式研討某些問題的解決方案，學生在討論中要傾聽（認真聽取別人的意見）、交流（發(fā)表自己的看法并對別人的意見進行糾正和補充）、協(xié)作（用不同的形式展示問題解決的過程）、分享（讓每個學生都收獲成功的體驗，并從中發(fā)展自己的學習行為）?！昂献鲗W習”的最大優(yōu)點就在于保障每一個學生都有機會“沖刺與挑戰(zhàn)”。對于合作學習，人們大都認可它的價值，但是缺乏有效的實施技術(shù)支撐。

小組人數(shù)多少為宜？男女混合的四人小組為宜，四人小組的單位，對于所有成員彼此平等傾聽的學習關系是最合適的。倘若是五人或五人以上，往往會有人成為“客人”；倘若是三人或三人以下，則難以出現(xiàn)多樣化的交流。

何時實施小組合作學習？當教師提問后只有幾個學生舉手，多數(shù)學生出現(xiàn)困惑表情的時候，就可以組織“小組合作學習”。抓住時機實施小組合作學習，使所有的學生都能致力于“沖刺與挑戰(zhàn)”， 是教學成功的關鍵。

何時結(jié)束小組合作學習？小組合作學習應當是隨著“學習”的發(fā)生而發(fā)生，隨“學習”的結(jié)束而結(jié)束的。如何判斷“學習”是否形成呢？看學生的狀態(tài)：倘若學生醉心于“合作學習”，那么，“學習”是形成了；倘若學生懶懶散散、閑談聊天，那就表明“學習”正在消退。

在小組合作學習期間，教師應當做些什么？首當其沖的是關照不能參與小組合作學習的學生。因此，在小組合作學習開始后不久，教師必須讓學生一個不漏地參與小組合作學習。教師必須讓那些不能參與小組合作學習的學生融進去。接著，教師應對小組進行關照，給予難以展開討論的小組針對性的幫助，推進小組的合作學習，但切忌事事躬親、包辦代替。

最后要指出的是，自主學習與合作學習是一個有機的統(tǒng)一體。個體的獨立思考始終是學習的前提和基礎，合作學習前應該讓學生獨立思考，使每一個學生能夠經(jīng)歷解決問題的過程，形成解決問題的情感，拓展思考的角度、豐富思考的方法。

六、充分暴露數(shù)學思維過程

研究數(shù)學主要是思維活動的過程。從某種意義上看，數(shù)學教學就是數(shù)學思維活動的教學。思維活動應當是數(shù)學教學研究的主要對象，暴露學生的數(shù)學思維過程應成為數(shù)學教學的指導原則。

當前數(shù)學教學中，掩蓋或忽視數(shù)學活動中的思維過程的現(xiàn)象比比皆是：不重視概念形成的過程，不重視結(jié)論推導的過程，不重視方法思考的過程，不重視問題發(fā)現(xiàn)的過程，不重視規(guī)律被揭示的過程……因此，教師應當充分重視思維活動的展開，發(fā)掘思維活動的意義與價值。

數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的形成是數(shù)學思維活動的顯著成果，數(shù)學思維的宏觀過程與知識結(jié)構(gòu)間的關系不容多說，數(shù)學思維的微觀過程與知識結(jié)構(gòu)的發(fā)展與形成也存在緊密聯(lián)系。一些學生難以從知識結(jié)構(gòu)的整體上把握數(shù)學的概念、公式、方法和技巧，其根本原因是在學習中不自覺地掩蓋了數(shù)學思維過程的某些環(huán)節(jié)，而這些環(huán)節(jié)對其知識結(jié)構(gòu)的完善是具有強力支持的，這樣就出現(xiàn)了思維脫節(jié)的現(xiàn)象。

在數(shù)學教學中存在著三種思維活動，這就是數(shù)學家的思維活動（學科思維）、教師的思維活動（教學思維）和學生的思維活動（學習思維）。教師是通過自己的思維活動在學科思維與學習思維之間架設橋梁。因此，教師要致力于暴露數(shù)學思維的過程，不僅要暴露數(shù)學家的思維過程，還要充分暴露師生的思維過程，這是數(shù)學活動成功進行的體現(xiàn)，是體現(xiàn)教師主導作用與學生主體地位的保證，是形成良好教學結(jié)構(gòu)的基礎。暴露思維過程對于教師的教學和學生的學習意義重大，充分暴露思維過程能夠讓學生的數(shù)學學習更有效，使教師的教學更具針對性。很多時候，教師的教學低效甚至無效的原因就是對于學生認知上的誤區(qū)和盲點認識不足。

從思維結(jié)構(gòu)形成和發(fā)展來看，充分暴露數(shù)學思維的過程，能有效促使學生思維結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展。不同的思維形式作用于思維過程的不同階段（環(huán)節(jié)），若長期片面強調(diào)某些思維環(huán)節(jié)，將致使思維結(jié)構(gòu)發(fā)展不均衡，易造成思維結(jié)構(gòu)的缺陷。充分暴露數(shù)學思維過程，不掩蓋數(shù)學思維的每個階段（環(huán)節(jié)），是促使學生形成良好思維結(jié)構(gòu)的保證。因此，長期堅持暴露數(shù)學思維過程，突出數(shù)學思維中的基本單元，必然能幫助學生沖破具體思維程式的束縛，形成分析問題和解決問題的能力。

七、基于學生已有的生活經(jīng)驗展開教學

學生的數(shù)學學習有兩個基礎：知識和經(jīng)驗。長期以來，教師在分析學生的數(shù)學學習基礎時往往只關注學生已經(jīng)學過哪些相關的知識，而忽視了知識之外學生還具有哪些相關的生活經(jīng)驗。生活經(jīng)驗是學生數(shù)學學習的重要資源，尊重和承認“生活經(jīng)驗是兒童數(shù)學學習的重要資源”，可以有效地幫助教師改變自己的教學方式，從而促進學生學習方式的轉(zhuǎn)變。如果教師對學生已有的生活經(jīng)驗不能正確地加以分析，就很難準確地把握學生的學習起點，教學也很可能會回到“灌輸”的老路上去。

學生的生活經(jīng)驗是指學生在生活中通過親身經(jīng)歷、體驗而獲得的對事物的認識和反映 ，具有自然性、生成性、發(fā)展性等特點。生活經(jīng)驗，如果按照對學生數(shù)學學習的作用來分類，大致可以分為以下三類。

第一類：可以直接促進學生數(shù)學學習的生活經(jīng)驗。這樣的生活經(jīng)驗有很多，例如在學習“長方體和正方體”“錢幣的認識”等知識的時候，學生便有不少生活經(jīng)驗可以直接促進他們的數(shù)學學習。教師應當充分挖掘和利用，很好地把握住學生認知的起點。

第二類：可以通過類比來促進學生數(shù)學學習的生活經(jīng)驗。這樣的生活經(jīng)驗，從表面上看似乎不能與數(shù)學知識的學習構(gòu)成什么直接聯(lián)系，但卻可以通過類比來促進學生的數(shù)學學習，因為它可以使抽象的知識變得更形象，更易于理解。比如：教學 “循環(huán)小數(shù)”時，可以通過激活學生在日常生活中積累的日升日落、白天黑夜周而復始的經(jīng)驗來幫助他們理解“循環(huán)小數(shù)”中“循環(huán)”的含義。

第三類：可能對學生的數(shù)學學習產(chǎn)生負面影響的生活經(jīng)驗。生活經(jīng)驗的豐富性也必然導致有些生活經(jīng)驗會對學生的數(shù)學學習產(chǎn)生負面影響，甚至有些經(jīng)驗本身便是錯誤的。比如在學習“質(zhì)量單位”的時候，日常生活中關于“質(zhì)量”的生活經(jīng)驗（指產(chǎn)品或工作的優(yōu)劣程度）會對學生的學習產(chǎn)生一些“干擾”。因為無論是正確的還是錯誤的經(jīng)驗，它往往都是根深蒂固的，想強制性地加以取代必然會影響學生主體性和創(chuàng)造性的發(fā)揮，教師應當引導學生在不斷的矛盾沖突中逐步確立正確的認識。

學生的數(shù)學學習與生活經(jīng)驗是緊密相連的，他們的學習過程就是一個經(jīng)驗的激活、利用、調(diào)整、提升的過程，是“自己對生活現(xiàn)象的解讀”，是“建立在經(jīng)驗基礎上的一個主動建構(gòu)的過程”。學生的數(shù)學學習活動與其說是“學習數(shù)學”，倒不如說是生活經(jīng)驗的“數(shù)學化”。學生從現(xiàn)實出發(fā)，經(jīng)過反思，達到“數(shù)學化”。在這一過程中，“數(shù)學現(xiàn)實”是十分重要的。對于學生來說，“數(shù)學現(xiàn)實”也許就是他們的“生活經(jīng)驗”。一方面，豐富的生活經(jīng)驗是學生學習數(shù)學的前提、基礎和重要資源，是保證數(shù)學學習質(zhì)量的重要條件；另一方面，有效的數(shù)學學習也能促進經(jīng)驗的應用、提煉和積累，數(shù)學學習的過程其實就是經(jīng)驗積累的過程，就是一種“經(jīng)歷”和“體驗”，“經(jīng)驗”就是“置身情境中去感受、去體驗”！

支持兒童成長不僅僅是一種理念，更是一種方法和策略，需要落實在數(shù)學教學的點滴細節(jié)當中，“關注每一個、關注每一天、關注第一步、關注第一次”。數(shù)學教學如何才能更有效地支持兒童成長？教師是關鍵。教師如何做好兒童數(shù)學學習的支持者？首先，要關注兒童特質(zhì)，要把研究兒童作為數(shù)學教學研究的第一課題，準確把握兒童的認知規(guī)律才能使得高品質(zhì)的教學、學習成為可能。其次，要研究學科本質(zhì)，“教什么永遠都比怎么教更重要”，教師對教學內(nèi)容的精準把握，能引領學生走向更深刻、更豐富的境界。第三，要講究支持的策略，例如支持前的觀察、介入的尺度、等待的平衡、適宜的支持力度、直接支持、間接支持等。

（責編 金 鈴）