季沈玲

[摘 要] 學(xué)習(xí)者自身必須具備一定的認(rèn)知才能從物質(zhì)的、文化的、感知的世界中對(duì)某些特征進(jìn)行辨認(rèn)和察覺，數(shù)學(xué)教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生在各種知識(shí)點(diǎn)之間進(jìn)行觀察、比較和分析并因此達(dá)成對(duì)知識(shí)的深刻理解與感悟.

[關(guān)鍵詞] 無理方程；比較；感悟

教師在無理方程的教學(xué)中如果能夠引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行分析、推理和判斷，就能夠幫助學(xué)生將新知識(shí)與原有知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行更好的融合，使得學(xué)生能夠在自己發(fā)現(xiàn)知識(shí)規(guī)律的過程中進(jìn)一步提高思維能力. 不同方程、方程的不同解法、式與方程之間的比較歸納能使學(xué)生牢固掌握知識(shí)的同時(shí)獲得更多的感悟和反思.

教學(xué)片段

1. 引導(dǎo)學(xué)生在方程左右兩邊的比較中感悟“列方程”的實(shí)質(zhì)

在問題情境中引出無理方程及無理方程的概念是本課教學(xué)的一個(gè)主要目標(biāo).

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境問題.

問題：已知一根細(xì)鐵絲長(zhǎng)為30厘米，將其彎折成一個(gè)直角三角形并使其直角邊長(zhǎng)為5厘米，應(yīng)如何彎折呢？

師：題中所說的如何彎折表達(dá)的是什么意思？

生：求邊長(zhǎng).

師：解題中需要引進(jìn)未知數(shù)嗎？如果設(shè)另一直角邊是x厘米，那么方程應(yīng)該怎樣列呢？

生：由勾股定理可得：52+x2=（30-5-x）2，即52+x2=（25-x）2 ①.

師：還有其他的方式可以表達(dá)斜邊嗎？

師：那大家能列出跟①式不一樣的方程嗎？

師：大家有沒有想過方程②左右兩邊指的是什么呢？這一方程的列出對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有什么意義呢？

生：不同的表達(dá)方式表示的都是直角三角形的斜邊.

師：大家可以歸納列方程的實(shí)質(zhì)嗎？

生：用兩種不同的方式對(duì)問題中的同一個(gè)量進(jìn)行表達(dá)并在兩種不同表達(dá)方式中間加上“=”就能得到方程.

師：上述題目還可以從其他角度來考慮嗎？

2. 引導(dǎo)學(xué)生在列方程的過程中感悟無理方程的基本特征

上面我們討論出的三個(gè)方程中包含了有理方程和無理方程，對(duì)這三個(gè)方程進(jìn)行進(jìn)一步的比較能夠得出無理方程的概念并令學(xué)生印象深刻.

環(huán)節(jié)2：在比較中得出無理方程的本質(zhì)特征與概念.

師：大家覺得上述三個(gè)方程中最引人注意的是哪個(gè)呢？

生：②或③.

師：為什么？

生：含有根式且根式下的內(nèi)容是包含未知數(shù)的代數(shù)式，以前沒學(xué)過.

實(shí)踐證明，學(xué)生沒有接觸過的形式能很好地吸引住他們，因此，教師可以把握學(xué)生的這一心理特點(diǎn)并將無理方程、初等代數(shù)方程的概念及時(shí)拋出，隨后再安排一定的練習(xí)幫助學(xué)生在比較中鞏固概念的理解和掌握.

判斷：下述方程中有關(guān)于x的無理方程嗎？

3. 引導(dǎo)學(xué)生在一題多解的比較中感悟解題原理與思路

環(huán)節(jié)3：觀察、比較方程并探尋解法.

師：大家再觀察一下上述我們討論出的三個(gè)方程，②和③之間有沒有聯(lián)系呢？

生：它們是一樣的.

師：說完整了就是方程③經(jīng)過等價(jià)變形是可以轉(zhuǎn)化成方程②的，那大家再看看方程①和方程②呢？

生：方程②可以通過方程①的兩邊開方而得到.

師：也就是說如果a2=b2，就有a=b，大家覺得對(duì)嗎？

生：不對(duì)，如果a2=b2，則有a=b或a= -b，所以說方程①可以把方程②的兩邊平方來得到.

師：也就是說如果a=b，則有a2=b2，這樣說對(duì)嗎？

生：對(duì).

師（同時(shí)板書）：解無理方程就是將方程兩邊平方將其轉(zhuǎn)化成有理方程再求解.

4. 引導(dǎo)學(xué)生在變式比較中感悟驗(yàn)根的必要

環(huán)節(jié)4：實(shí)踐比較.

在學(xué)生自主解題之時(shí)設(shè)問：例2中兩個(gè)方程并不相同，但其根卻是一樣的，為什么呢？

學(xué)生很快在觀察與比較中感悟到方程的非同解變形會(huì)使方程根的范圍擴(kuò)大，所以此時(shí)就需要驗(yàn)根了.

5. 引導(dǎo)學(xué)生在一般和特殊的比較中感悟“通法”和“巧法”

解無理方程通常會(huì)用的“平方法”在教學(xué)中應(yīng)得到一定量的練習(xí)和鞏固，但教師在實(shí)際教學(xué)中也應(yīng)警惕學(xué)生因?yàn)椤捌椒椒ā钡倪\(yùn)用而形成思維定式.

環(huán)節(jié)5：自主練習(xí)與比較.

上述三個(gè)方程中的前兩個(gè)只需要一般的解法——平方法就可以解決，只是第（2）小題的解決不能把“2”的平方給疏忽掉，但（3）這個(gè)特殊的無理方程運(yùn)用簡(jiǎn)單平方的解法卻是比較盲目的，這三個(gè)方程的解決能夠幫助學(xué)生鞏固方法的同時(shí)克服思維定式所引起的負(fù)遷移.

6. 引導(dǎo)學(xué)生在分式方程和無理方程的比較中感悟化歸思想

環(huán)節(jié)6：類比分析化歸思想.

師生總結(jié)，得出結(jié)論：

7. 引導(dǎo)學(xué)生在“方程”和“式”的比較中感悟知識(shí)內(nèi)在關(guān)聯(lián)

環(huán)節(jié)7：比較中得出方程的知識(shí)結(jié)構(gòu).

教學(xué)反思

1. 感受比較法在教學(xué)中的價(jià)值

教育家馬登（F. Marton）曾經(jīng)發(fā)表過學(xué)習(xí)就是鑒別的著名觀點(diǎn)，鑒別又必須建立在比較的基礎(chǔ)之上，學(xué)習(xí)者自身必須具備一定的認(rèn)知才能從物質(zhì)的、文化的、感知的世界中對(duì)某些特征進(jìn)行辨認(rèn)和察覺，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自然也少不了“比較”這一方法運(yùn)用.

本節(jié)課中無理方程的概念形成、解法、驗(yàn)根等諸多內(nèi)容的研究都是在比較法的運(yùn)用下形成的，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下觀察、比較、思考、判斷并自主得出結(jié)論. 比如，分式方程與無理方程的解法比較中得出共同的思想方法.

2. 教師應(yīng)善于運(yùn)用比較教學(xué)

比較法的應(yīng)用首先還得建立在材料之間是否具備一定的可比性，并且這種可比性是否能夠?yàn)閷W(xué)習(xí)者所發(fā)現(xiàn)，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中首先要選擇內(nèi)容或形式上具有一定聯(lián)系的材料，不管這種聯(lián)系是相似的，還是相關(guān)的. 發(fā)現(xiàn)材料之間的聯(lián)系從某種程度上說是比較關(guān)鍵的環(huán)節(jié). 數(shù)學(xué)內(nèi)容之間存在緊密聯(lián)系是數(shù)學(xué)這門學(xué)科最重要的一個(gè)特征. 比如，數(shù)、式、方程、函數(shù)、不等式這些代數(shù)知識(shí)之間就存在著很明顯的脈絡(luò)關(guān)系，其中函數(shù)概念在式、方程、不等式、數(shù)列這些中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容中就起到了很好的紐帶作用；再比如，三角形這一最基本的幾何圖形的研究方法和基本性質(zhì)在后續(xù)四邊形、多邊形的解題中都會(huì)得到應(yīng)用，后續(xù)很多內(nèi)容的研究都必須建立在三角形這一基本圖形的化歸中解決. 因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)善于在比較中發(fā)現(xiàn)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，在比較中將事物的不同點(diǎn)進(jìn)行揭示和區(qū)分并得出其各自所具備的特殊性質(zhì)或特征. 比如，有理方程與無理方程就是通過比較得出不同特征后而獲得的. 因此，教師在實(shí)際教學(xué)中既要研究各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系以達(dá)成知識(shí)點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)還應(yīng)對(duì)其不同進(jìn)行研究以獲得各知識(shí)點(diǎn)的不同之處.

是否善于比較還在于是否能夠?qū)ふ页霰容^合適的角度進(jìn)行比較，不管是探尋對(duì)象之間的共同特征，還是探尋對(duì)象之間的差異或規(guī)律，或許探尋的目的各有不同，但這都需要選擇一定的視角才能更好地觀察、比較、分析和概括. 比如，教師在概念教學(xué)中就應(yīng)該對(duì)一組對(duì)象進(jìn)行觀察、比較并發(fā)現(xiàn)這些對(duì)象所具備的共同特征，繼而歸納概括得出；再比如，教師在解題教學(xué)中就應(yīng)該對(duì)例題或習(xí)題進(jìn)行比較并引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)不斷與之前的解題進(jìn)行比較，并逐步得出它們?cè)谝话憬忸}步驟、解題的原理方法上的相同點(diǎn)，同時(shí)對(duì)它們之間本質(zhì)上的差異、不同的解法進(jìn)行各種比較和探尋.

例如，教師在本課例題教學(xué)中為了思想方法的析出選擇了分式方程和無理方程解題思想的比較；為了無理方程解法與“多解歸一”本質(zhì)的析出則選擇了“一題多解”解題策略進(jìn)行比較和概括；為了無理方程增根產(chǎn)生原因的析出選擇了“異題”“同解”的比較，等等.

3. 在比較中獲得感悟

教師在這樣一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的比較過程中應(yīng)合理啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，使學(xué)生在這樣一個(gè)思維過程中激發(fā)出學(xué)習(xí)的興趣，提升思維的積極主動(dòng)性并對(duì)所學(xué)知識(shí)形成深刻的理解與感悟.