倪志敏

摘 要：同一數(shù)學(xué)實驗，借“問”促進學(xué)生衍生深淺不同的“理性”認(rèn)識；不同數(shù)學(xué)實驗，探“原”促進學(xué)生生發(fā)厚薄不同的“理性”思考；給力數(shù)學(xué)實驗，整“合”促進學(xué)生萌生表質(zhì)不同的“理性”批判。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實驗；思維；理性；比較

數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)需要觀察，也需要實驗?！睌?shù)學(xué)實驗作為一種數(shù)學(xué)探索活動，筆者粗淺地認(rèn)為，它有時是蘊含“理性思考”的動手操作，或是融入“猜想驗證”的紙筆演算，抑或是兩者兼有之。但無論選取哪一類數(shù)學(xué)實驗方式，都是為了獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗?zāi)硞€數(shù)學(xué)猜想，或解決某類數(shù)學(xué)問題。在這些活動中，我們都應(yīng)該讓學(xué)生不僅動手，也要動腦，“促進學(xué)生思維的發(fā)展和理性精神的養(yǎng)成”（鄭毓信）。

一、同一數(shù)學(xué)實驗，借“問”促進學(xué)生衍生深淺不同的“理性”認(rèn)識

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)同一知識體系內(nèi)的知識編排都體現(xiàn)了“螺旋上升”這一特點。如在一年級與六年級，教材中都安排了“認(rèn)識圓柱”這一知識點。無獨有偶，在校內(nèi)公開課《有趣的拼搭》和《認(rèn)識圓柱和圓錐》這兩節(jié)課中都安排了同一數(shù)學(xué)實驗——“滾一滾”。

【案例點擊1】：《有趣的拼搭》

師：我們用小黑板作為滑面，將各種形狀的積木拿好，先放在滑梯上方，然后松手讓它們滑下來?？纯茨隳馨l(fā)現(xiàn)什么？

（學(xué)生分小組進行數(shù)學(xué)實驗，滾一滾這些積木。）

生1：球、圓柱體滾下來了，而且滾得很快。

生2：正方體和長方體的積木不容易滾。

（教師將圓柱的底面放在滑梯上。）

師：現(xiàn)在圓柱體怎么不滾了呢？

生：底面是平的，放在滑梯上不容易滾下去。

師：圓柱體上有平面也有曲面。把平面放在滑梯上，它就不容易滾；把曲面放在滑梯上，它就滾得快。

【案例點擊2】：《認(rèn)識圓柱和圓錐》

出示一端粗一端細(xì)的粉筆、一個圓柱。

（學(xué)生分組進行數(shù)學(xué)實驗，滾一滾這些物體。）

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：圓柱沿直線滾，粉筆滾時會打彎。

師：那么，粉筆是圓柱嗎？

生：粉筆不是圓柱。因為它的上下底面雖然都是圓，但不完全相同。一頭粗一頭細(xì)。

師（強調(diào)）：圓柱從上到下一樣粗。

【比較思考】——問到深處理更濃

案例1中的“問”抓住圓柱有時滾得快，有時卻不易滾的實驗現(xiàn)象，讓學(xué)生認(rèn)識平面與曲面的不同特征，直指其數(shù)學(xué)本質(zhì)，即面的特征。有了一年級學(xué)生對圓柱特征的初步認(rèn)識，因此，六年級學(xué)生通常對圓柱“上、下兩個底面是完全相同的兩個圓”“有一個曲面”這兩點比較關(guān)注，而對圓柱“從上到下一樣粗”容易疏忽。案例2中的“問”抓住圓柱和粉筆都有曲面，但滾出來的形狀不同，直指圓柱實質(zhì)也是一個直柱體，從而溝通各種直柱體的內(nèi)在聯(lián)系，這種認(rèn)知結(jié)構(gòu)對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會產(chǎn)生積極作用。

在相同的數(shù)學(xué)實驗“滾一滾”中，兩位教者沒有滿足于只讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“滾”的結(jié)果上的差異，而是“問”到底，講究精深，使問題具有挑戰(zhàn)性，直指數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生能夠想得深，讓相同的數(shù)學(xué)實驗衍生出深淺不同的理性認(rèn)識。

二、不同數(shù)學(xué)實驗，探“原”促進學(xué)生生發(fā)厚薄不同的“理性”思考

《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，從而使學(xué)生形成自己對數(shù)學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)策略。在校內(nèi)公開課中，一位教師教學(xué)《3的倍數(shù)特征》時，借助計數(shù)器進行分層實驗，層次分明，分為五步：第一步，在百數(shù)表里圈出3的倍數(shù)，初步看到3的倍數(shù)分散在表的各行各列；第二步，通過檢驗，3的倍數(shù)的特征不表現(xiàn)在數(shù)的各位上；第三步，通過提供不同的數(shù)珠，分組實驗比較，發(fā)現(xiàn)如果每個數(shù)所用數(shù)珠的個數(shù)是3的倍數(shù)，那這個數(shù)才是3的倍數(shù)；第四步，把數(shù)珠個數(shù)轉(zhuǎn)化為各位上的數(shù)的和，初步發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征；第五步，通過反例證實3的倍數(shù)的特征。

評課中，多數(shù)教師認(rèn)為，五步教學(xué)活動是連貫的，步步深入，逐漸接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容；五步教學(xué)活動也是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模粌H研究了正例，也研究了反例，便于學(xué)生利用結(jié)論進行判斷；五步教學(xué)活動更是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的，借助形象直觀，及時進行抽象與歸納，能夠有效地突破難點。

倍數(shù)和因數(shù)這一概念源于整除。整除就是“分一分”。3的倍數(shù)就是這個數(shù)是否可以3個3個地分，最后沒有余數(shù)。基于這樣的思考，筆者對于《3的倍數(shù)的特征》的教學(xué)進行了一些嘗試：

1. 分一分小棒。

（1）出示：3根、6根、9根小棒，讓學(xué)生分一分后得出結(jié)論：3、6、9是3的倍數(shù)。

再出示：3捆（10根為一捆）、6捆、9捆小棒，讓學(xué)生分一分。3捆6根、6捆9根等，讓學(xué)生接著分一分。

（2）再出示：3大捆（100根為一捆）、6大捆、9大捆小棒圖，讓學(xué)生分一分。再讓學(xué)生分一分3大捆9捆6根小棒圖。

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么？（一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)）

2. 畫一畫小棒圖。

（1） 出示1大捆2捆3根小棒圖（圖1）。

師：這是多少？（123）分一分，這個數(shù)是否是3的倍數(shù)？

1大捆中的99根小棒是3的倍數(shù)，因此百位還剩1根小棒；2捆可以分為2個一捆，每捆中的9根也是3的倍數(shù)，因此2捆中各剩下1根小棒，也就是十位還剩2根小棒?，F(xiàn)在要判斷123是否是3的倍數(shù)，只要看哪部分？

生：看余下的根數(shù)，即1+2+3。

（2）出示2大捆3捆9根小棒圖，讓學(xué)生畫一畫。

3. 分一分?jǐn)?shù)。

出示2142、3475，讓學(xué)生分組研究這兩個數(shù)是否是3的倍數(shù)（圖2）。

師：由此，判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，需要通過整個數(shù)除以3來判斷嗎？

生：只要看各位上的數(shù)除以3以后余下的數(shù)的和是不是3的倍數(shù)就可以了。

師：那個位上的數(shù)除以3余下的數(shù)與原來數(shù)位上的數(shù)有什么關(guān)系？（它們是相同的）

師（歸納）：一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

【比較思考】——兩相權(quán)衡取其理

首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院方運加老師曾說：講授數(shù)學(xué)知識應(yīng)強調(diào)通過邏輯鏈條以及由淺入深的認(rèn)知路徑，將數(shù)學(xué)新知識揭示給學(xué)生，這樣才符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點，才能發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的智慧作用。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)實驗也應(yīng)如此。與教材中安排的數(shù)珠實驗相比，這樣實驗，不僅教學(xué)“知其然”，而且教學(xué)“知其所以然”，具有一定的難度，它挑戰(zhàn)了學(xué)生的思維，也將學(xué)生的思維由“薄”變“厚”。這種從根本處探尋，尋到思維原點的實驗，無疑給學(xué)生打開了一扇窗，讓學(xué)生不僅看到了現(xiàn)象，更理解了本質(zhì)。

三、給力數(shù)學(xué)實驗，整“合”促進學(xué)生萌生表質(zhì)不同的“理性”批判

1. 想象豐富數(shù)學(xué)實驗

全國著名特級教師劉松在第23屆“現(xiàn)代與經(jīng)典”教學(xué)活動中執(zhí)教《玩轉(zhuǎn)三角形》后，介紹設(shè)計這節(jié)課的原因——源自一節(jié)實踐活動課：學(xué)生將長方形硬紙板的長粘在小棒上，然后不停地旋轉(zhuǎn)，教師原本希望孩子能說出“我能看見以長方形的長為軸，旋轉(zhuǎn)一周，能形成一個圓柱”，豈料，學(xué)生竟說“老師，我什么也看不見”。

成人無須實驗就能得到的結(jié)論，為什么孩子百般疑惑也得不到？因為成人對于這一結(jié)論的獲得是借助的想象，而孩子只能憑借觀察，觀察實驗的結(jié)果，真的是“看見的，并不一定是真的”。因此，筆者認(rèn)為，與其動手實驗，倒不如讓學(xué)生掩卷閉眼進行想象，進行長時間的思考后，還可以借助多媒體技術(shù)進行直觀演示或觀察生活中的旋轉(zhuǎn)門圖片進行驗證。

2. 推理論證支撐數(shù)學(xué)實驗

教學(xué)《平行線》時，對于“平行線間的垂直線段長度相等”這一知識點的教學(xué)，多數(shù)教師是這樣做的：先讓學(xué)生畫出幾條平行線間的垂直線段后，再讓學(xué)生用尺子量一量這幾條垂直線段的長度，通過實驗驗證得出結(jié)論——兩條平行線間的垂直線段長度相等。

對此，筆者認(rèn)為，用數(shù)學(xué)實驗的方法量“平行線間的垂直線段的長度相等”，因?qū)W生畫圖不規(guī)范或尺子的問題，一定會存在誤差，并且平行線間的垂直線段有無數(shù)條，又豈是一把尺子能量得完的？筆者認(rèn)為，這里的實驗驗證只是“淺嘗輒止”，缺少推理論證的支撐。教者可在學(xué)生量出幾條垂直線段的長度后，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)任何兩條垂直線段和這兩條平行線圍成的都是一個長方形。只要我們確認(rèn)“長方形的對邊是相等的”，我們就能同時確認(rèn)“兩條平行線間的所有垂直線段的長度都相等”。

【比較思考】——舍“動”得“靜”方顯理

鄭毓信教授在《為學(xué)生思維發(fā)展而教》的報告中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是“認(rèn)真地想，靜靜地聽，輕輕地說”，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是思維的課堂、安靜的課堂、開放的課堂。數(shù)學(xué)實驗這一探索活動，引導(dǎo)學(xué)生進入“做數(shù)學(xué)”的境界，激發(fā)學(xué)生動手和探索的興趣。但它并不是一把解決問題的萬能鑰匙。因為，并不是每節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)內(nèi)容都可以用實驗的形式進行組織的。我們除了可以合理地選擇課題，還需要與其他思維方式整合運用。包含實驗的數(shù)學(xué)課堂，往往是熱鬧的“動手”，但我們必須要將單純地“動手”向“動腦”發(fā)展，用“靜靜地思”架設(shè)它們之間的橋梁，用想象、論證推理或豐富或支撐起數(shù)學(xué)實驗，方能顯現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性之美。

鄭毓信教授在報告中說：數(shù)學(xué)的核心是理性精神。無論課程教學(xué)怎么改革，數(shù)學(xué)教育都要牢牢抓住數(shù)學(xué)的基本問題。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要“揀精剔肥”，科學(xué)地選擇數(shù)學(xué)實驗，合理地安排數(shù)學(xué)實驗，有效地進行數(shù)學(xué)實驗，方能促進學(xué)生的思維發(fā)展和理性精神的養(yǎng)成。