曹廣福

摘 要：本文以國(guó)內(nèi)外兩本經(jīng)典教材為例，闡述了非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)教材以及課堂教學(xué)應(yīng)該注意的一些問(wèn)題，指出非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的微積分教學(xué)同樣需要體現(xiàn)其思想性，探討了如何在數(shù)學(xué)的理論性與實(shí)用性之間找到平衡。文章認(rèn)為，將數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中是必要的。

關(guān)鍵詞：微積分；課堂教學(xué)；數(shù)學(xué)思想

一、引言

微積分是大學(xué)里很多專(zhuān)業(yè)的必修課。國(guó)內(nèi)使用最多的微積分教材是同濟(jì)大學(xué)主編的《高等數(shù)學(xué)》[1]，該教材經(jīng)過(guò)若干次修訂，在內(nèi)容的深度與廣度方面都有所加強(qiáng)。該教材與西方教材存在著顯著的差別。以Steward的《微積分》[2]

為例，這套教材之所以獲得巨大成功，以致占領(lǐng)了北美大學(xué)微積分教材70%以上的市場(chǎng)，與該教材通俗易懂且具有濃郁的應(yīng)用色彩不無(wú)關(guān)系。然而，作為一本取得巨大成功的教材，為什么國(guó)內(nèi)很少采用它作為大學(xué)本科非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的微積分教材？它有什么值得我們借鑒的地方？我國(guó)微積分教材以及微積分教學(xué)有什么可改進(jìn)之處？這正是本文要探討的問(wèn)題。

二、教什么樣的數(shù)學(xué)

很多教師認(rèn)為，對(duì)于非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生而言，會(huì)計(jì)算導(dǎo)數(shù)與積分、能簡(jiǎn)單地應(yīng)用它們解決問(wèn)題就夠了，這種觀點(diǎn)深刻地反映在微積分課堂教學(xué)中。非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生該學(xué)什么樣的數(shù)學(xué)？教師該教什么樣的數(shù)學(xué)？或者準(zhǔn)確點(diǎn)說(shuō)，學(xué)生該如何學(xué)數(shù)學(xué)？教師該如何教數(shù)學(xué)？這涉及我們需要培養(yǎng)什么樣的大學(xué)生的問(wèn)題。

數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，這個(gè)基礎(chǔ)不僅反映在學(xué)生將來(lái)能將課堂上學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)依樣畫(huà)葫蘆地運(yùn)用到工作中，更重要的是能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法解決問(wèn)題。對(duì)于創(chuàng)新型人才而言，最重要的能力不是掌握已經(jīng)被人熟知的數(shù)學(xué)應(yīng)用方法，而是發(fā)現(xiàn)未知的運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的方法。從這個(gè)意義上說(shuō)，掌握數(shù)學(xué)的思想方法比掌握數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用更重要，前者屬于更高境界的數(shù)學(xué)。從這個(gè)意義上來(lái)看，Steward的《微積分》并不是無(wú)可挑剔，該書(shū)對(duì)于數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用的介紹可謂酣暢淋漓，但或許出于淺顯易懂的緣故，對(duì)于微積分內(nèi)在的思想與方法論的闡釋則稍嫌欠缺。該教材的內(nèi)容對(duì)于大多數(shù)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)大學(xué)生也許夠了，但對(duì)于相當(dāng)一部分希望將來(lái)在科學(xué)研究上有所造就的學(xué)生來(lái)說(shuō)顯然有些膚淺。該教材的另一個(gè)弱點(diǎn)是內(nèi)容過(guò)于龐雜，很難在現(xiàn)有的課時(shí)內(nèi)完成全部?jī)?nèi)容的教學(xué)。上述兩個(gè)原因或許正是我國(guó)大學(xué)很少采用該教材的原因，但瑕不掩瑜，它的確是一本難得的優(yōu)秀的微積分教材。

我們需要教什么樣的數(shù)學(xué)？這個(gè)問(wèn)題并不難回答，簡(jiǎn)而言之：教有用的數(shù)學(xué)！問(wèn)題在于什么是有用的數(shù)學(xué)？知識(shí)本身無(wú)所謂有用與無(wú)用。學(xué)習(xí)者會(huì)用，知識(shí)對(duì)于他就是有用的；學(xué)習(xí)者不會(huì)用，知識(shí)對(duì)于他就是無(wú)用的。

有人認(rèn)為，能解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)就是有用的數(shù)學(xué)。能解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)固然是有用的，但這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是有用數(shù)學(xué)的全部，甚至不是數(shù)學(xué)最重要的部分。數(shù)學(xué)是一門(mén)思維科學(xué)，它不僅與自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)密切相關(guān)，同時(shí)還屬于哲學(xué)范疇。換句話說(shuō)，她教給我們的是一種思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法。

大自然的神秘面紗遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有為人類(lèi)所完全揭開(kāi)。數(shù)學(xué)方法無(wú)疑是了解大自然必不可少的重要手段。沒(méi)有數(shù)學(xué)，人類(lèi)將無(wú)法真正了解大自然。面對(duì)神秘莫測(cè)的大自然，不僅現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，即使是已有的數(shù)學(xué)工具，我們也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有弄清楚到底哪些有用，哪些沒(méi)有用。特別是最近一個(gè)世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)、自然科學(xué)發(fā)展是如此迅速，已經(jīng)使科學(xué)家們沒(méi)有能力同時(shí)兼顧數(shù)學(xué)與自然科學(xué)，也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)已經(jīng)逐漸遠(yuǎn)離了自然科學(xué)而獨(dú)立發(fā)展了。正因?yàn)槿绱?，人們并不清楚現(xiàn)代數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之間到底有什么關(guān)系，換句話說(shuō)，如今的數(shù)學(xué)對(duì)于自然科學(xué)到底有沒(méi)有用。

歷史上，數(shù)學(xué)與自然科學(xué)殊途同歸的例子并不罕見(jiàn)，泛函分析的發(fā)展與量子力學(xué)的發(fā)展就是典型的例證。

出現(xiàn)這種有趣的現(xiàn)象并不奇怪，因?yàn)閿?shù)學(xué)與自然科學(xué)在方法論上是相通的。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)的“有用”體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是科學(xué)的思維方法；二是自然科學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。從某種意義上說(shuō)，前者更重要，因?yàn)榭茖W(xué)的思維方法是了解未知的鑰匙。

教材內(nèi)容增加什么、減少什么并不是最重要的，重要的是老師在課堂上做什么。遺憾的是，雖然我們有督導(dǎo)過(guò)程、有學(xué)生評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)，但實(shí)際的教學(xué)過(guò)程是否體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思想性似乎無(wú)人關(guān)注，也難以量化。很多時(shí)候，我們的教學(xué)改革與教學(xué)過(guò)程猶如兩列互不干擾的并行火車(chē)。

當(dāng)我們走進(jìn)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂，再回顧20年前的數(shù)學(xué)課堂，不僅發(fā)現(xiàn)實(shí)質(zhì)性變化不大，甚至有種今不如昔的感慨。大部分課堂教學(xué)仍然過(guò)于注重?cái)?shù)學(xué)技巧與細(xì)節(jié)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)藏著的數(shù)學(xué)思想往往視而不見(jiàn)或忽略不計(jì)。這些技巧與細(xì)節(jié)對(duì)于提高學(xué)生的解題能力的確發(fā)揮了重要作用，問(wèn)題是，這些技巧有用嗎？它對(duì)于學(xué)生日后的工作與生活很重要嗎？如果這些東西對(duì)他們?nèi)蘸蟮墓ぷ髋c生活無(wú)足輕重，他們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)這些東西呢？

因此，如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)一點(diǎn)真正可以學(xué)以致用的東西，才是有意義和有價(jià)值的。

微積分作為數(shù)學(xué)史上最偉大的發(fā)明創(chuàng)造，距今已有900年的歷史。與現(xiàn)代很多數(shù)學(xué)不同的是，微積分的產(chǎn)生與自然科學(xué)直接相關(guān)。眾所周知，微積分源于四類(lèi)基本問(wèn)題：面積問(wèn)題、速度與路程問(wèn)題、光學(xué)與切線問(wèn)題、最大最小值問(wèn)題。教師在課堂上雖然也會(huì)提及這些問(wèn)題，但關(guān)注的重點(diǎn)卻不是解決這些問(wèn)題的思想方法，而是數(shù)學(xué)概念與原理本身，或者說(shuō)過(guò)于關(guān)注解題的技巧，教了很多無(wú)用的技巧，學(xué)生“滿腹經(jīng)綸”，卻沒(méi)有將滿腹的知識(shí)轉(zhuǎn)化成內(nèi)在的能力，面對(duì)工作中出現(xiàn)的各種實(shí)際問(wèn)題束手無(wú)策，更不用說(shuō)創(chuàng)新了。

可見(jiàn)，教育的關(guān)鍵在于教師怎么理解教材，如何恰當(dāng)?shù)厥褂媒滩?。教學(xué)不應(yīng)只是傳授知識(shí)，更應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生思維能力和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。而數(shù)學(xué)思維能力及運(yùn)用能力的培養(yǎng)則依賴(lài)于對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，這種興趣來(lái)自哪里？既來(lái)自對(duì)數(shù)學(xué)的了解，更來(lái)自數(shù)學(xué)的審美能力。

數(shù)學(xué)的美概括起來(lái)大致有這樣幾個(gè)方面：

（1）簡(jiǎn)單性；（2）對(duì)稱(chēng)性；（3）奇異性；（4）統(tǒng)

一性；（5）抽象性；（6）哲理性；（7）趣味性。

數(shù)學(xué)之美如同數(shù)學(xué)思想一樣被隱含在書(shū)本中，學(xué)生從教材里是很難看到的，老師的任務(wù)就是要挖掘掩藏在書(shū)本知識(shí)背后的思想與美麗并展現(xiàn)給學(xué)生。一個(gè)精彩的課堂，其結(jié)構(gòu)、形式以及教師的機(jī)智都可以散發(fā)出數(shù)學(xué)美的光芒。當(dāng)學(xué)生離開(kāi)學(xué)校，不再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育留給他的應(yīng)該是：學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的頭腦去思考問(wèn)題，會(huì)鑒賞數(shù)學(xué)之美，具備數(shù)學(xué)的思維方法以及自主自發(fā)地在工作乃至生活中運(yùn)用。只有這樣，學(xué)生才算是真正學(xué)到了有用的數(shù)學(xué)。

回到微積分教學(xué)。微積分是大學(xué)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)最重要的數(shù)學(xué)課程，教學(xué)課時(shí)多，涉及面廣。目前理工科微積分教學(xué)忽略了兩個(gè)問(wèn)題：一是忽略了與中學(xué)階段所學(xué)知識(shí)的銜接，二是忽略了知識(shí)的實(shí)際背景。還是讓我們從函數(shù)談起。

現(xiàn)在高中階段學(xué)生就開(kāi)始學(xué)函數(shù)概念、微積分基礎(chǔ)知識(shí)，但學(xué)得有點(diǎn)不倫不類(lèi)。如果是在過(guò)去絕大多數(shù)中學(xué)生沒(méi)有機(jī)會(huì)上大學(xué)的情況下，讓中學(xué)生們了解一點(diǎn)微積分思想是可以理解的，可如今的中學(xué)生相當(dāng)一部分都要進(jìn)入大學(xué)，換句話說(shuō)，還得重學(xué)微積分。以目前中學(xué)教材及教師的實(shí)際情況而論，中學(xué)生真的能理解并掌握微積分所蘊(yùn)含的深刻思想嗎？

大學(xué)的微積分教學(xué)注意到這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有？翻開(kāi)微積分教材，你會(huì)看到和幾十年前相比基本沒(méi)什么變化。函數(shù)是微積分的基本研究對(duì)象，要講微積分自然少不了函數(shù)。問(wèn)題是該如何處理它們？我覺(jué)得函數(shù)需要介紹，但不宜像以往那樣將過(guò)多的精力放在各種函數(shù)性質(zhì)的詳細(xì)闡述上，因?yàn)橹袑W(xué)階段對(duì)各種初等函數(shù)已經(jīng)有過(guò)比較詳細(xì)的介紹。有些人認(rèn)為函數(shù)部分可以一帶而過(guò)，我不這么看。其一，學(xué)生在中學(xué)階段學(xué)的函數(shù)同樣不成體系，很多重要概念并沒(méi)有介紹。其二，學(xué)生除了知道抽象的函數(shù)概念，大概誰(shuí)也說(shuō)不清函數(shù)到底可以用來(lái)干什么，大學(xué)老師無(wú)異于在幫中學(xué)教師炒夾生飯。筆者認(rèn)為，函數(shù)理論的介紹不能是中學(xué)內(nèi)容的重復(fù)，而應(yīng)該是其補(bǔ)充與深化。

學(xué)生對(duì)初等函數(shù)早已熟悉，教師倘若再糾纏于細(xì)節(jié)性問(wèn)題，學(xué)生肯定會(huì)覺(jué)得乏味，但初等函數(shù)是微積分研究的最重要對(duì)象，所有的計(jì)算都是針對(duì)初等函數(shù)進(jìn)行的，忽略過(guò)去顯然是不妥的。問(wèn)題在于怎么講？建立模型的目的有兩個(gè)：一是利用模型解釋現(xiàn)實(shí)世界中的某種現(xiàn)象，二是利用模型對(duì)被研究的對(duì)象作預(yù)測(cè)。由此可見(jiàn)建立數(shù)學(xué)模型的重要性。那么，如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型呢？通常有以下幾步：

（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)淖宰兞亢鸵蜃兞俊＿@是十分關(guān)鍵的一步，既要考慮到模型能反映客觀現(xiàn)實(shí)，又要考慮到數(shù)學(xué)處理的方便。換句話說(shuō)，我們需要作一些折中。因變量的確定是比較簡(jiǎn)單的，往往根據(jù)我們要解決的問(wèn)題即可確定。但自變量的確定就不那么簡(jiǎn)單了，應(yīng)將影響某種現(xiàn)象的最本質(zhì)的因素確定為自變量。也就是說(shuō)，這樣的量足以左右某種現(xiàn)象的變化。

（2）建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。建立函數(shù)關(guān)系有兩種辦法：一是根據(jù)某種現(xiàn)象的規(guī)律來(lái)建立，如天體的運(yùn)動(dòng)遵循牛頓定律，經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)的各種現(xiàn)象通常遵循經(jīng)濟(jì)規(guī)律等。二是采集數(shù)據(jù)再作數(shù)據(jù)處理，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。通過(guò)將數(shù)據(jù)描點(diǎn)，就可以得到函數(shù)的圖像表示，比如一些統(tǒng)計(jì)圖表就是這樣得到的。

（3）利用數(shù)學(xué)知識(shí)或工具對(duì)模型作分析，給出該數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答。微積分就是要告訴我們?nèi)绾畏治鲞@些數(shù)學(xué)模型。

（4）根據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答，作出實(shí)際問(wèn)題的客觀解釋。如果一個(gè)模型不僅能解釋某種客觀現(xiàn)象，還能對(duì)這種客觀現(xiàn)象的未來(lái)作出比較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，這就是一個(gè)非常成功的模型了。

在介紹數(shù)學(xué)模型后，可以側(cè)重介紹各種初等函數(shù)通常在什么樣的實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)。如果從這樣的角度來(lái)講述函數(shù)，不僅可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了中學(xué)階段學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)概念，更重要的是學(xué)生能夠知道函數(shù)不僅僅是抽象的符號(hào)與演算。

三、微積分教材及教學(xué)可以做哪些改進(jìn)

中美教材相比各有千秋。我國(guó)的微積分教材理論性偏強(qiáng)，美國(guó)的教材實(shí)用性偏強(qiáng)。數(shù)學(xué)教育歷來(lái)有兩種不同的觀點(diǎn)：一種觀點(diǎn)是提倡數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)自身的理論，可以不必過(guò)多考慮應(yīng)用性。持這種觀點(diǎn)者的理論依據(jù)是：數(shù)學(xué)作為一門(mén)思維科學(xué)，它的教育功能是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，具有相當(dāng)廣泛的普適性。另一種觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)的實(shí)用性，尤其對(duì)于非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生更應(yīng)如此。這種觀點(diǎn)的依據(jù)是：非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了用數(shù)學(xué)，他們只要知道怎么應(yīng)用數(shù)學(xué)就夠了。這兩種觀點(diǎn)都有失偏頗。就微積分而言，它產(chǎn)生于自然科學(xué)，然而處理問(wèn)題的方式又是純數(shù)學(xué)化的，單純地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)理論或數(shù)學(xué)應(yīng)用都是片面的，應(yīng)該在尊重歷史的基礎(chǔ)上兩者兼顧。此外，數(shù)學(xué)的理論性與思想性是不同的概念，理論化程度高不表示思想性高。所以，微積分教材可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：

（1）強(qiáng)化思想性。微積分的思想不僅對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題具有舉足輕重的意義（如在應(yīng)力分析中，往往局部地用切平面取代目標(biāo)曲面），它對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的影響也是深遠(yuǎn)的。例如，局部“以直代曲”的思想不僅對(duì)于微分幾何、拓?fù)洚a(chǎn)生了重大影響（如切叢的概念、向量叢的概念都與此有關(guān)），也影響了代數(shù)（如李群的李代數(shù)、導(dǎo)子等）。教材與教師的課堂教學(xué)應(yīng)該充分展示微積分的這一精髓。

微分與積分的辯證思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的眾多分支中，也許是這種思想理論性較強(qiáng)的緣故，微積分教材通常避而不談。函數(shù)的連續(xù)性也蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想，特別是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，一般的高等數(shù)學(xué)教材只介紹結(jié)論，不講證明。筆者不主張?jiān)敿?xì)講解這些定理的證明，但閉區(qū)間所反映出的重要思想應(yīng)該對(duì)學(xué)生有所交代，況且這一思想并不難理解。

（2）適當(dāng)強(qiáng)化應(yīng)用性。在這個(gè)方面，Steward的《微積分》是一個(gè)很好的范本。這或許是它獲得成功的一個(gè)主要因素，它從一個(gè)方面說(shuō)明應(yīng)用性是多么受歡迎。強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性，并不意味著弱化教材的思想性，而是微積分思想在自然科學(xué)與社會(huì)實(shí)際問(wèn)題中的延伸。如果能借鑒Steward編寫(xiě)方式，適當(dāng)將微積分在自然科學(xué)中的各種應(yīng)用貫穿于教材的始終，不僅可以增加教材的趣味性與可讀性，也可以為讀者運(yùn)用微積分提供一些范例與練習(xí)的機(jī)會(huì)。

（3）強(qiáng)化現(xiàn)代化技術(shù)的運(yùn)用。微積分涉及許多計(jì)算，適當(dāng)介紹一些數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)機(jī)械化方法不無(wú)益處。例如，在運(yùn)用連續(xù)函數(shù)介值定理求方程根時(shí)，完全可以引入機(jī)械化方法，因?yàn)榍蠓匠谈^(guò)程本身就是一個(gè)程式化過(guò)程。又如，牛頓切線法也是一個(gè)程式化過(guò)程，通過(guò)這兩種求根方法的機(jī)械化過(guò)程，還可以直觀比較二分法與牛頓切線法運(yùn)用于具有凹凸性的單調(diào)函數(shù)時(shí)的優(yōu)劣。

在微積分教學(xué)中，最困難的計(jì)算非積分莫屬，然而借助數(shù)學(xué)軟件計(jì)算積分已經(jīng)不是難事。所以，微積分教材完全沒(méi)有必要在積分計(jì)算環(huán)節(jié)花費(fèi)太多的篇幅，教師的課堂教學(xué)似乎也沒(méi)有必要過(guò)分強(qiáng)調(diào)積分技巧的訓(xùn)練，適當(dāng)介紹基本的積分方法就可以了。

四、學(xué)生是否需要掌握嚴(yán)格的極限語(yǔ)言

很多微積分教材都不介紹極限的δ-ε語(yǔ)言，這可能緣于該語(yǔ)言有些抽象，比較難以掌握。很多數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生在學(xué)完δ-ε語(yǔ)言后也是一知半解，直至多年后才理解其真正的內(nèi)涵。國(guó)內(nèi)外要求較高的微積分教材（如同濟(jì)大學(xué)編寫(xiě)的《高等數(shù)學(xué)》）有所介紹，但僅限于初步

了解。

那么，作為非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生有沒(méi)有必要了解甚至掌握極限的δ-ε語(yǔ)言？要說(shuō)清楚這個(gè)問(wèn)題，首先需要弄清楚極限的δ-ε語(yǔ)言在微積分中發(fā)揮的作用。的確，直觀的極限概念并不難理解，學(xué)生不學(xué)習(xí)極限的δ-ε語(yǔ)言對(duì)于計(jì)算導(dǎo)數(shù)、積分并不會(huì)帶來(lái)太大的影響，也不妨礙對(duì)微積分概念的理解。然而，直觀的極限描述并非嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，它無(wú)法參與數(shù)學(xué)論證， δ-ε語(yǔ)言是微積分的基本語(yǔ)言，說(shuō)一個(gè)不懂δ-ε語(yǔ)言的人懂微積分是不可想象的。當(dāng)年牛頓之所以遭到貝克萊大主教的質(zhì)疑并引發(fā)歷史上著名的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，正是因?yàn)槲⒎e分缺少一個(gè)嚴(yán)格的科學(xué)語(yǔ)言，人們以形式邏輯來(lái)理解微積分從而導(dǎo)致危機(jī)的產(chǎn)生，直到柯西將極限概念嚴(yán)格化，也就是用今天所說(shuō)的δ-ε語(yǔ)言定義極限，才使得爭(zhēng)論煙消云散。由此可見(jiàn)δ-ε語(yǔ)言對(duì)于微積分的重要性。

δ-ε語(yǔ)言的確有一定的抽象性，但不能因?yàn)槌橄缶捅芏徽劇Ｊ聦?shí)上，只要方式得當(dāng)，學(xué)生并非不能掌握δ-ε語(yǔ)言。這種語(yǔ)言的基本思想即使在日常生活中也是常見(jiàn)的，它現(xiàn)實(shí)的模型就是在一定精度范圍內(nèi)的誤差估計(jì)。例如要制造一個(gè)給定體積的球形產(chǎn)品，使得體積誤差不能超過(guò)一定的范圍，工人如何判斷誤差有沒(méi)有超過(guò)給定的精度？顯然是通過(guò)卡尺測(cè)量球的直徑，只要直徑的誤差在適當(dāng)范圍內(nèi)，就能保證體積的誤差在給定的誤差范圍內(nèi)。如果從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)逐步引入δ-ε語(yǔ)言，而不是簡(jiǎn)單地給出一連串的數(shù)值檢驗(yàn)，學(xué)生是不難理解這種特殊的語(yǔ)言的。即使是一個(gè)基礎(chǔ)一般的普通學(xué)生，也不難理解生活中的這類(lèi)誤差估計(jì)，問(wèn)題在于當(dāng)教師從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)概括抽象出嚴(yán)格的δ-ε語(yǔ)言時(shí)，學(xué)生往往很難逾越從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)的抽象障礙。但只要從實(shí)際的問(wèn)題情景出發(fā)，讓學(xué)生逐步感知、概括，最終是不難抽象出δ-ε語(yǔ)言的。不過(guò)作為非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生，確實(shí)沒(méi)有必要作過(guò)多的極限證明，掌握δ-ε語(yǔ)言的本質(zhì)就足夠。

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革絕不僅僅是內(nèi)容體系、難易程度的改革，而是要通過(guò)這種改革提高學(xué)生的數(shù)學(xué)眼界與素養(yǎng)。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，將數(shù)學(xué)建模思想、數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中是必要的。

參考文獻(xiàn)：

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[2] James Steward.微積分[M].北京：高等教育出版社，2004.

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