周 達 馮娉婷 劉 浩

(北京師范大學中國基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100875)

一、研究背景

繼20世紀60年代“新數(shù)運動”和20世紀70年代“回到基礎(chǔ)”之后，1980年美國數(shù)學教師聯(lián)合會向第四屆國際數(shù)學教育大會提交了一份綱領(lǐng)性報告《關(guān)于行動的議程——關(guān)于80年代中學數(shù)學的建議》。這份文件明確指出：“問題解決是80年代學校數(shù)學的核心”(第一條)，“數(shù)學課程應(yīng)當圍繞問題解決來組織”“數(shù)學教師應(yīng)當創(chuàng)造一種使問題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境”“在問題解決方面的成績?nèi)绾危瑢⑹呛饬繑?shù)學教育成敗的有效標準”。由此，在世界各國掀起了以數(shù)學問題解決為中心的一系列數(shù)學教育改革和研究的熱潮，至今仍是研究最熱的主題之一[1-2]。

在2012年的PISA測試中，我國上海學生在基于計算機的問題解決能力方面的表現(xiàn)，絕對排名居于參加測試的44個國家和地區(qū)中的第六名，而相對排名則居于倒數(shù)第二名，這也引起了全球教育學者的廣泛關(guān)注。因此，探尋培養(yǎng)學生問題解決能力的策略勢在必行[3]。

著名學者Schoenfeld(2008)對數(shù)學問題解決的相關(guān)研究在Lester(1994)的基礎(chǔ)上做了進一步的文獻分析，研究發(fā)現(xiàn)關(guān)于數(shù)學問題解決的認知因素在近20年的時間里，已經(jīng)得到了廣泛的關(guān)注，然而影響學生數(shù)學問題解決的非認知因素雖然也得到了一定程度的關(guān)注，但是研究并不多[4]。在此背景下，本文采用質(zhì)性研究的基本范式，探討影響學生數(shù)學問題解決的非認知因素，為一線數(shù)學教師有效改進教學實踐提供一手的參考資料。

二、數(shù)據(jù)線索

2016年10月份，中國基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心“區(qū)域項目組”對我國中部Z市五年級學生(完成四年級課程的五年級學生)進行了大樣本的數(shù)學監(jiān)測。在此基礎(chǔ)上，研究者以大樣本調(diào)查數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，從中發(fā)現(xiàn)了一所典型學校，學校的具體信息如表1所示?；诒?的信息可以發(fā)現(xiàn)，M小學的學生平均家庭社會經(jīng)濟地位(SES)與T區(qū)的學生平均家庭社會經(jīng)濟地位基本相當，但是M小學的學生在非常規(guī)性數(shù)學問題解決、常規(guī)性數(shù)學問題解決方面的表現(xiàn)均更好。這引起了研究者的興趣，在控制SES的前提下，為什么M小學的學生在常規(guī)性數(shù)學問題解決與非常規(guī)性數(shù)學問題解決方面的表現(xiàn)更好？為了進一步了解該校學生數(shù)學問題解決的相關(guān)影響因素，研究者進行了為期1天的實地調(diào)研。

表1 典型學校的基本信息

三、研究方法

1.研究思路

采用質(zhì)性研究的基本范式，在自然情境下采用課堂觀察和訪談的方式，通過與研究對象互動對其行為和意義建構(gòu)獲得解釋性理解，并使用歸納法分析資料，尋找影響學生數(shù)學問題解決的相關(guān)因素。

由于學生所處的社會環(huán)境，決定了影響其數(shù)學問題解決的相關(guān)因素，本研究主要聚焦學生層面、教師層面和學校層面的因素。

2.抽樣

采用目的抽樣的方法選取了M小學五年級的6名學生進行訪談，選取該校五年級唯一的數(shù)學教師進行訪談，同時也對該校五年級的數(shù)學課堂進行了聽課，以從多方面了解M小學的五年級學生為什么在數(shù)學問題解決能力方面的表現(xiàn)更好。

學生樣本選?。?名學生(學生1與學生2，記為S1組；學生3與學生4，記為S2組；學生5與學生6，記為S3組)，具體指標如表2所示。

教師樣本選?。何迥昙壍臄?shù)學教師(M小學五年級只有1個班，所以該年級只有1名數(shù)學教師，記為T)。

3.資料收集

收集資料的方法采用的是課堂觀察和半開放式訪談的方式展開。根據(jù)華東師范大學楊光偉博士論文中所涉及的影響學生數(shù)學問題解決的相關(guān)因素，研究者設(shè)計了課堂觀察表和訪談提綱。研究者旁聽了1節(jié)數(shù)學課，教師訪談時長大約1 h，學生訪談時長大約2 h。通過對所獲得的原始資料進行分析并歸納，這些資料能夠在一定程度上反映影響學生數(shù)學問題解決的相關(guān)因素。

在學生訪談的過程中，主要側(cè)重了解學生層面哪些因素會對學生數(shù)學問題解決的能力產(chǎn)生影響，同時了解教師層面哪些因素是學生感知到的影響其數(shù)學問題解決能力的關(guān)鍵因素。

在教師訪談的過程中，主要側(cè)重了解教師層面的因素，教師認為重要的因素與學生所感知的因素是否一致，以增強研究的真實性與客觀性；同時，通過教師了解學校層面哪些因素會對學生數(shù)學問題解決的能力產(chǎn)生影響。

在課堂觀察中，主要是想驗證學生層面的因素、教師層面的因素是否真實反映在課堂當中。

4.資料分析

資料分析主要采用基于真實情境分析的方法，盡可能真實地再現(xiàn)當事人看問題的觀點，從被訪者的角度將影響學生數(shù)學問題解決的相關(guān)因素進行描述和分析。在對研究結(jié)果進行呈現(xiàn)時基于情境，并盡量使用研究者的語言進行闡述。

四、結(jié)果與分析

1.良好的學校環(huán)境是學生進行數(shù)學問題解決的前提

教師T認為，良好的學校環(huán)境是學生能夠得以安心學習的前提，如果沒有這個作為前提，學生在所有方面的表現(xiàn)都不會好。教師T說：“一所校園，如果沒有良好的學校環(huán)境，學生將無法在這里安心學習。我們學校具有一定的天然優(yōu)勢(該校是一所大學的附屬小學)，學校的管理非常人性化，家校溝通頻繁，師生關(guān)系、家校關(guān)系都比較和諧。比如學校會定期請一些家長給各個年級的學生開展講座，等等?！辈坏貌徽f學校與家庭之間的有效溝通、良好的師生關(guān)系等，無不體現(xiàn)著良好的學校文化氛圍，這給學生數(shù)學問題解決的良好發(fā)展提供了較好的基礎(chǔ)。

2.豐富的業(yè)余數(shù)學活動對學生數(shù)學問題解決能力的提升具有促進作用

教師T認為豐富的業(yè)余數(shù)學活動，不僅激發(fā)了學生的學習興趣，同時提升了學生數(shù)學問題解決的能力。教師T說：“低年級的學生主要是剪紙、數(shù)學手工等；高年級的學生，是繪制數(shù)學手抄報(每學期至少2次)。其中，數(shù)學剪紙和手工，主要是鼓勵學生自己通過剪紙的方式，剪出數(shù)學圖形，自由組合圖形，形成一幅具有數(shù)學意義的圖畫并加以解釋；數(shù)學手抄報則是讓高年級學生通過手抄報這一媒介，將所學知識歸納總結(jié)，提出應(yīng)用于實際生活中解決問題的數(shù)學實例。除了這些內(nèi)容之外，學校還著力營造了‘書香校園’活動，雖然這一活動主要是鼓勵學生閱讀課外讀物，但是對提高學生的數(shù)學問題理解能力、增強學生的綜合素質(zhì)也有著很大的幫助。”學校開展的這些數(shù)學活動，其本身就是一個更具開放性的數(shù)學問題解決情境，通過活動讓學生有意識地把知識運用到解決問題的過程中去；教師則通過讓學生采用自己喜歡的方式來學習數(shù)學，使得枯燥無味的數(shù)學學習變得更加生動、有趣，激發(fā)了學生數(shù)學學習的自信心，同時也讓學生體會到數(shù)學學習的過程充滿樂趣。此外，學校其他的活動，雖然沒有與數(shù)學問題解決直接相關(guān)，但是對于學生解決文字型的數(shù)學問題具有一定的啟發(fā)作用，促使學生對數(shù)學問題的理解能力有潛移默化的提升，這一點，在學生的訪談中也得到了有效驗證。

3.一套好的教材對學生數(shù)學問題解決能力的培養(yǎng)具有重要意義

在對教師T進行訪談的時候，教師T認為一套好的教材對學生數(shù)學問題解決能力的培養(yǎng)具有重要的作用。教師T說：“學校目前使用北師大版教材已有10多年的歷史，可以說是新課程改革之后，我們接觸到的一套比較好的數(shù)學教材，該教材的設(shè)計具有一定的啟發(fā)性，能夠促進學生的數(shù)學思考和問題解決。我們一直以來都是在尊重教材的基礎(chǔ)上進行教學，以教材為基礎(chǔ)，注重對學生綜合思維能力的培養(yǎng)，組織多種課外活動，同時引導孩子們解決生活中的問題。”由于說得比較抽象，無法判斷教師所說的內(nèi)容是否真正發(fā)生，所以在此基礎(chǔ)上進行了進一步追問：教材的啟發(fā)性在哪里？教材是怎么促進學生的數(shù)學思考和問題解決的，能舉個例子嗎？以確保訪談的真實性?；趯處煹脑L談可以發(fā)現(xiàn)，一套好的教材對學生的數(shù)學思考以及學生的數(shù)學問題解決能力具有一定的啟發(fā)作用。此外，在與教導主任的交談中，她講道：“我校一位數(shù)學教師要承擔兩個年級的數(shù)學課程，教師沒有更多的時間和精力來進行備課，因此具有引導性的數(shù)學教材能在一定程度上引領(lǐng)學生們的數(shù)學發(fā)展?！边@也從側(cè)面再次印證了好的數(shù)學教材對于學生數(shù)學問題解決能力發(fā)展的重要性。

4.畫圖、舉例子是教師進行數(shù)學問題解決教學的主要方式

學生們認為數(shù)學教師在進行問題解決的教學過程中，經(jīng)常會采用舉例子和畫圖的方式以幫助學生進行數(shù)學問題的求解。比如S1組的學生說：“在學習‘相遇問題’的時候，老師就會采用畫圖的方式來幫助我們解決問題”“在解決復(fù)雜問題時，老師總是先畫圖簡化問題，再列算式計算”。S2組的學生也說：“老師經(jīng)常舉一些生活上的例子，來幫助我們思考。比如在計算長方體體積的時候，老師就會提前把家里用過的藥盒拿過來，用藥盒來幫助我們認識長方體的長、寬、高，以進一步幫助我們理解并求解長方體的體積?！边@一點，在教師訪談中，也得到了有效驗證。

5.善于討論、勤于反思是學生進行數(shù)學問題解決的關(guān)鍵

學生們普遍反映，在數(shù)學問題解決的課堂當中，教師經(jīng)常組織學生進行小組討論，解決完問題后，數(shù)學教師經(jīng)常提醒學生要善于反思，使得問題解決的策略更加清晰。所有的學生都表示：“在學習完一個內(nèi)容之后，老師會給我們布置一項有趣的數(shù)學任務(wù)，并讓我們以小組討論的方式來尋找解決問題的方案，在進行小組交流和匯報時，如果我們有不足的地方，老師也會讓其他的同學進行補充，這樣我們解決問題的方案也會更加完善?！痹跀?shù)學課堂中，這樣的情形得到了有效驗證，正是學生之間的相互交流與討論，使得學生的數(shù)學學習真正發(fā)生。此外，S2組的學生也表示：“在解決完數(shù)學問題之后，老師會引導我們進行反思，比如多讀幾遍題目，然后再看看計算的過程，這雖然看上去沒什么，但是有時候我們還真能發(fā)現(xiàn)一些問題?！倍鳶3組的學生表示：“我一般做得比較慢，還沒來得及反思，同學們就已經(jīng)開始交流了，所以我就聽他們的想法?！睆倪@兩組學生的回答中，我們也可以發(fā)現(xiàn)學生之間存在著差異，當然我們期待教師關(guān)注差異，但是在課堂觀察中，我發(fā)現(xiàn)該班級共有學生70人，這也給教師關(guān)注差異帶來了一定的挑戰(zhàn)。

6.較強的自信心是學生數(shù)學問題解決時的內(nèi)在動力

五年級的學生對自己解決數(shù)學問題的水平都持有肯定的態(tài)度，他們普遍認為自己解決數(shù)學問題的水平還可以。即使對S3組的學生來說，雖然有時候會馬虎，但是解決數(shù)學問題的水平還是不錯的。對自己在考試中是否會取得比較好的成績，學生們雖然持有不同的觀點，但是都能夠體現(xiàn)出學生仍然具有很強的自信心。其中，S1和S2組的學生認為：“平時的數(shù)學題目我基本都可以做正確，所以能夠取得好成績。”而S3組的兩位學生認為：“在平時的數(shù)學考試中，成績一般不理想，主要是因為解決問題的方法和老師講的方法不同，因為按照老師的方法來解決問題，我老是犯錯，所以就用自己的方法來解決，但是寫得并不完整，經(jīng)常會因為這些而扣分”“我一般都能列對算式，但是經(jīng)常因為計算錯誤、沒寫單位、沒寫‘答’等細節(jié)扣分”。在解決日常生活與數(shù)學有關(guān)的實際問題上，所有的學生都具有很強的自信心。S1組學生提到，學了面積的相關(guān)知識，就可以度量自己的屋子有多少平方米(訪談前學生剛剛上完一節(jié)涉及面積等內(nèi)容的數(shù)學課)；S2組學生想到，學習了方位之后，平常能夠判斷自己所處的位置，能夠熟練運用方位詞認路；S3組的學生把日常生活中用到數(shù)學來解決問題的例子描述得更為生動、具體，但是解決問題較為簡單。S3組的學生說：“有一次，我和小伙伴們玩游戲然后去買道具，最后阿姨需要找給我5角錢，但是阿姨說沒有零錢，所以我想了想就再給她5角錢，然后阿姨給我1元錢，最后就把這個事情解決掉了?！边@也從一定程度上反映出，數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系會增強學生數(shù)學問題解決的自信心。

7.較強的毅力是學生數(shù)學問題解決的必備品質(zhì)

五年級的學生在解決數(shù)學問題遇到困難時，都具有很強的毅力或意志品質(zhì)，他們不會輕易放棄，而是盡可能通過各種途徑尋找解決問題的方法。例如，S1組的學生說：“在遇到不會的數(shù)學問題時，會先嘗試著用不同的方法去做。如果解決不了問題，會和同學、老師交流或者是詢問父母?！盨2組的學生說：“我們會先自己嘗試著做題目。如果做不出來會翻看課本中相關(guān)的知識點，尋找解題線索，如仍解不出來就會詢問家長或老師?！盨3組的學生表示：“我一般是去看看解析，比如上作業(yè)幫搜一搜。如果實在不行就去問問同學，要么就是等著老師來講?！睆娜悓W生的描述中我們可以發(fā)現(xiàn)，S1組和S2組的學生在面對困難時，首先會嘗試著自己解決問題，而S3組的學生，則直接依賴于外力的幫助，但是不管怎樣他們都不會直接放棄，只是所選擇的策略不同而已。要說哪種策略更適合學生，可能目前還沒有更多的證據(jù)作為支撐。

總之，良好的學校文化氛圍、激發(fā)學生興趣的數(shù)學活動、一本優(yōu)秀的數(shù)學教材、有效的教學策略、學生自身的學習方式、內(nèi)在動力以及優(yōu)秀的學習品質(zhì)等，都對學生數(shù)學問題解決能力的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用。

五、教學建議

基于上述的訪談結(jié)果，筆者針對當前學校數(shù)學教育中數(shù)學問題解決能力的培養(yǎng)提出以下幾點建議：

1.學校應(yīng)該創(chuàng)設(shè)良好的學習氛圍

良好的校園文化環(huán)境不僅體現(xiàn)為客觀的物質(zhì)條件，更體現(xiàn)為人與人之間的情感交流，它是學生健康發(fā)展的基石。良好的親子關(guān)系、同伴關(guān)系、師生關(guān)系以及家校關(guān)系等，為學生數(shù)學問題解決能力的發(fā)展提供了良好的情感基礎(chǔ)。M小學正是具備這樣的學校文化環(huán)境，才能夠在眾多學校中脫穎而出，成為一所典型學校。

2.教師、學校應(yīng)該給予學生更多的參與數(shù)學趣味活動的機會

具有啟發(fā)性、趣味性的數(shù)學活動，如撰寫數(shù)學日記、制作數(shù)學手工藝品等，不僅能夠激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，而且能讓學生在完成任務(wù)的過程中體會到數(shù)學之美，為學生的數(shù)學問題解決奠定良好的情感基礎(chǔ)。

3.教師應(yīng)該充分利用優(yōu)秀的教材資源

北師大版小學數(shù)學教材最主要的特色是通過“情境+問題串”的編排模式，體現(xiàn)新課程改革的基本理念。通過該模式展開數(shù)學問題，不僅激發(fā)了學生的數(shù)學思考，而且通過問題串的方式，引導學生逐步解決數(shù)學問題。在解決數(shù)學問題的過程中首先夯實數(shù)學基礎(chǔ)知識，進而推動學生數(shù)學問題解決能力、批判性思考能力的提升。

4.教師應(yīng)該改善數(shù)學問題解決的教學方式

在教學的過程中，教師應(yīng)該采取多樣化的教學策略，促進學生數(shù)學問題解決能力的發(fā)展。比如采用畫圖的方式，引發(fā)學生的數(shù)學思考；采用舉例子的方式，使數(shù)學知識的應(yīng)用更加貼近現(xiàn)實生活，讓學生體會到現(xiàn)實問題與數(shù)學問題息息相關(guān)；采用列方程的方式，幫助學生抽象數(shù)學問題，讓學生從解決數(shù)學問題的描述方式過渡到利用數(shù)學的方式解決數(shù)學問題。除此之外，教師還應(yīng)該在數(shù)學的課堂教學當中，多組織學生進行小組交流、匯報，拓展學生解決數(shù)學問題的思路。只有教師的教學理念、教學方式發(fā)生改變，學生的學習方式才能有所改變，進而提高學生解決數(shù)學問題的能力。

5.教師應(yīng)該采取措施提高學生數(shù)學問題解決的自信心和毅力

教師在教學的過程中應(yīng)該采用不同的方式，比如鼓勵學生表達自己解決數(shù)學問題的不同想法等，給予學生更多表達自我的機會，促進學生的數(shù)學發(fā)展。除此之外，教師還應(yīng)該尊重學生的個體差異，對不同學生的學習過程加以指導。也許學生解決數(shù)學問題的方式不同，有的學生使用的方法可能很簡便，有的學生使用的方法可能較為復(fù)雜，但是最終都能夠?qū)栴}解決，這種情況下教師應(yīng)當究其背后的原因，包容并鼓勵解決問題方法的多元化。最后，學生在解決數(shù)學問題遇到困難時，教師應(yīng)該適時地給予學生更多的支持與幫助。