摘 要:二次函數(shù)不僅是初中階段函數(shù)的升華,更是初中到高中數(shù)學(xué)知識(shí)銜接的一個(gè)重要橋梁。近些年的中考?jí)狠S題幾乎全是以拋物線為載體的。對(duì)初中生而言,函數(shù),尤其是二次函數(shù)是難點(diǎn)。這篇文章,總結(jié)了二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)類問題的幾種類型,利用“數(shù)形結(jié)合”這把金鑰匙帶領(lǐng)學(xué)生把圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系挖掘出來,運(yùn)用形的特征來探索數(shù)的規(guī)律。
關(guān)鍵詞:等腰三角形;平行四邊形;相似三角形
二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)類壓軸題綜合性強(qiáng),數(shù)形兼?zhèn)?、解題方法多樣化、充滿思辨性,知識(shí)高度融合,著重考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力,研究問題分析問題解決問題的能力及調(diào)用數(shù)學(xué)模型和套路的整合能力,要求學(xué)生運(yùn)用各種知識(shí)解題,思維需有廣度和深度,且能用靈活的方法解題.以二次函數(shù)為背景的動(dòng)點(diǎn)類問題通常有以下幾種類型。
一、設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)法結(jié)合鉛垂高求面積最大值
例1:如圖1,拋物線解析式為D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn),作DE垂直x軸于點(diǎn)E,交線段AM于點(diǎn)F,求線段DF長(zhǎng)度的最大值,并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)。
思路:易求A和M的坐標(biāo)分別為(-3,0)(0,1),直線AM的解析式為y=x+1.由題意設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為,DF==,根據(jù)二次函數(shù)最值的求法來求線段DF的最大值。
例2:如圖2,二次函數(shù)y=-x2+3x-2的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸的交點(diǎn)是C。過點(diǎn)C作CE//x軸,與二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)E,點(diǎn)H是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)H作HF//y軸,交線段BC于點(diǎn)F,試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),?CHF與?HFE的面積之和最大,求點(diǎn)H的坐標(biāo)及最大面積。
思路:?CHF與?HFE的底都是HF,高之和是CE=3
所以?CHF與?HFE的面積之和
要想求面積最大值,只需求HF最大值,接下來思路同例1。
二、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題
如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三種情況。如果△ABC的∠A(的余弦值)確定,∠A的兩邊AB和AC可用含x的式子表示,就用幾何法。
①下左圖,如果AB=AC,直接列方程;②如下中圖,如果BA=BC,那么;③如下右圖,如果CA=CB,那么。代數(shù)法一般也分三步:羅列三邊長(zhǎng),分類列方程,解方程并檢驗(yàn)。
若三角形的三個(gè)角都不確定,但三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可用含x的式子表示,可根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,三邊長(zhǎng)(的平方)就可以羅列出來。
例3:如圖3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm。如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),它們的速度均為1cm/s。連結(jié)PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0 解:①如下左圖,當(dāng)AP=AQ時(shí),5-t=t。解得。 ②如下中圖,當(dāng)PA=PQ時(shí),·解得。 ③如下右圖,當(dāng)QA=QP時(shí),·解得。 三、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題 1.已知A、B、C三點(diǎn),以A、B、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形有幾個(gè),怎么畫? 2.在坐標(biāo)平面內(nèi),如何理解平行四邊形ABCD的對(duì)邊AB與DC平行且相等? 如上左圖,過△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線,三條直線兩兩相交,產(chǎn)生三個(gè)點(diǎn)D。 如上右圖,已知A(0,3),B(-2,0),C(3,1),如果四邊形ABCD是平行四邊形,怎樣求點(diǎn)D的坐標(biāo)呢? 點(diǎn)B先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位與點(diǎn)A重合,因?yàn)锽A與CD平行且相等,所以點(diǎn)C(3,1)先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)D(5,4)。 例4:如圖4,二次函數(shù)y=-x2+x+2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,若點(diǎn)E為拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)F為x軸上任意一點(diǎn),當(dāng)以B,C,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),寫出滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)。 思路:①若BC為平行四邊形的一邊,且頂點(diǎn)是CBFE的順序,則CB∥EF,因?yàn)镕的縱坐標(biāo)為0,所以可以從縱坐標(biāo)的角度,B(4,0),C(0,2)從B到C上移2個(gè)單位,那么F到E也要上移2個(gè)單位,從而E的縱坐標(biāo)是2,將y=2代入二次函數(shù)解析式得E的坐標(biāo)為(3,2)。 若BC為平行四邊形的一邊,且頂點(diǎn)是CBEF的順序,則CB∥FE,從B到C上移2個(gè)單位,那么E到F也要上移2個(gè)單位,從而E的縱坐標(biāo)是-2,將y=-2代入二次函數(shù)解析式得E的坐標(biāo)為(,-2)或(,-2)。 ②若BC為平行四邊形的一條對(duì)角線,則CE∥BF,∴yE=yC=2,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,2)。 綜上所述:滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,2)、(,-2)、(,-2)。 四、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 最常用的解題理論,一般分三步:尋找一組等角,分兩種情況列比例方程,解方程并檢驗(yàn)。如果已知∠A=∠D,探求△ABC與△DEF相似,只需把夾∠A和∠D的兩邊表示出,按照對(duì)應(yīng)邊成比例,分和兩種情況列方程。 例5:如圖2,二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B與y軸的交點(diǎn)是C。若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn),是否存在D,使以B,C,D為頂點(diǎn)的三角形與?ABC相似,若存在,求點(diǎn)D的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由。 思路:∠BAC<135°,如果點(diǎn)D在C的下方,那么∠BCD=135°,所以點(diǎn)D必定在C點(diǎn)的上方。經(jīng)分析,°,要想△ABC與△BCD相似,則有或兩種情況,算出CD=1或CD=8,從而D(0,-1)或D(0,6)。 通過以上分析可以看出解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)類問題通常需要以下四種方法:①數(shù)形結(jié)合法,也就是需將題中的條件與圖形或圖象聯(lián)系起來。②構(gòu)造法,即利用作輔助線或者建立模型來解決問題。③分類討論法,在題目的相關(guān)信息或條件不夠具體明確時(shí),應(yīng)分多種情況求解。④轉(zhuǎn)化法,即遇到不好解決的難點(diǎn)時(shí),通過其它等價(jià)的量,轉(zhuǎn)為已知的或易于解決的問題來解題。這些方法需要學(xué)生具備扎實(shí)、熟練的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,還要綜合靈活運(yùn)用,不能生搬硬套。教師應(yīng)重點(diǎn)講解經(jīng)典題型,對(duì)經(jīng)典題型進(jìn)行多角度分析,使學(xué)生掌握二次函數(shù)的精髓,舉一反三,做到講解一道題,學(xué)生會(huì)一類題,這樣才能事半功倍。 作者簡(jiǎn)介:胡靜靜(1990—),女,山東菏澤人,研究生,畢業(yè)于南京師范大學(xué),二級(jí)教師,主要研究方向:基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。