倪芳華

【摘要】數(shù)學(xué)概念是整個數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)方法的載體、基礎(chǔ)知識的起點及邏輯推理的依據(jù)，是正確、合理、迅速運(yùn)算的保證。對它的理解和掌握，直接關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和發(fā)展。針對小學(xué)生的心理發(fā)展特點，采用動作表征、形象表征、符號表征、言語表征等多元外部表征，幫助學(xué)生從多角度深入理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，建立真正反映概念本質(zhì)的內(nèi)在表征，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升概念教學(xué)的實效性。

【關(guān)鍵詞】多元表征；數(shù)學(xué)概念；理解

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的概念，根據(jù)小學(xué)生的接受能力，表現(xiàn)形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。平時教學(xué)中，教師往往存在著重趣味，輕實效；重內(nèi)涵，輕外延；重抽象，輕表象；重結(jié)論，輕過程；重實物，輕語言；重建立，輕運(yùn)用的現(xiàn)象。如何遵循小學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，提高概念教學(xué)的有效性是很值得我們研究的問題。筆者結(jié)合最近聽的《因數(shù)和倍數(shù)》和《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）》兩節(jié)教學(xué)展示課，談?wù)勅绾芜\(yùn)用多元表征來豐富對數(shù)學(xué)概念的理解和認(rèn)識。

一、借助動作表征引入概念，激發(fā)學(xué)生主動思維

小學(xué)生的思維以直觀形象思維為主。概念教學(xué)時，教師應(yīng)選擇動態(tài)的直觀材料，通過操作演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、感知隱藏在動作或?qū)嵨镏械臄?shù)學(xué)概念，幫助學(xué)生形成概念的直觀表象。也就是我們通常所說的運(yùn)用動作表征引入概念。所謂動作表征，是指通過動作反應(yīng)對知識進(jìn)行表征，有些數(shù)學(xué)概念的定義就是通過動作的描述來表征的。

如劉老師在教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）》的課始，出示學(xué)生熟悉的分蛋糕情境圖，并進(jìn)行動畫演示，讓學(xué)生回憶怎樣分公平？分得結(jié)果怎樣？得出把一個蛋糕平均分成2份，每份是這個蛋糕的二分之一，喚起學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，為新知的有效構(gòu)建做了很好的鋪墊。緊接著出示一盤桃，要求均分給2只小猴，問題是每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？教學(xué)時，劉老師先展示“預(yù)學(xué)單”，呈現(xiàn)課前學(xué)生分的三種結(jié)果，鼓勵學(xué)生大膽闡述自己的觀點，在學(xué)生疑難處、意見分歧處，教師再借助課件演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察理解，及時加以點撥引導(dǎo)：把這6個桃用一個圈圈起來，看作一個整體，平均分成2份，就用一條虛線從中間隔開，我們就說把一盤桃平均分成2份，每份是這盤桃的1/2。這既滿足了不同學(xué)生的差異需求，又激發(fā)了學(xué)生參與課堂的興趣，有助于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)力的可持續(xù)發(fā)展。“預(yù)學(xué)單”既是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的操作單，也是展開學(xué)習(xí)過程的重要工具。在教師的巧妙引領(lǐng)下，學(xué)生實現(xiàn)了從“一個物體的幾分之一”到“一個整體的幾分之一”的順利遷移。徐老師在教學(xué)《因數(shù)和倍數(shù)》時，首先出示題目：用12個同樣大的正方形拼成一個長方形，每排擺幾個，擺了幾排？要求學(xué)生用乘法算式表示自己的擺法或想法，在學(xué)生匯報的同時教師用課件呈現(xiàn)不同的長方形和乘法算式，幫助學(xué)生直觀感知并建立因數(shù)和倍數(shù)的概念。通過組織的操作活動，使學(xué)生明白因數(shù)和倍數(shù)表示的是一個數(shù)與另一個數(shù)的關(guān)系，它們是兩個相互依存的概念，不能單獨(dú)存在。這樣既挖掘了數(shù)學(xué)本質(zhì)，又建立了數(shù)學(xué)模型。

古希臘哲學(xué)家亞里士多德認(rèn)為：“思維從問題、驚訝開始?！毙率谡n的導(dǎo)入是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)最佳狀態(tài)的方式，是教與學(xué)的起點，是課堂教學(xué)的一個有機(jī)組成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)活動前一個不可缺少的啟動環(huán)節(jié)。兩位老師的新知引入可謂真實、有趣、有味、有效。

二、探究多元表征的實施路徑，豐富數(shù)學(xué)概念認(rèn)識

隨著認(rèn)知心理學(xué)的發(fā)展，概念教學(xué)有了新的變化，從單一表征到多元表征，從突出強(qiáng)調(diào)概念本質(zhì)到與尋求意義并重。不同的表征形式是為了對概念或者問題進(jìn)行不同的解釋，即從不同的角度不同的視角闡述其本質(zhì)。為此，教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，積極引導(dǎo)他們經(jīng)歷動作表征、情境表征、符號表征、圖像表征、體驗表征的過程，并在綜合表征中內(nèi)化概念，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵，促使他們深刻地理解和掌握概念。

1.充分感知，豐富表象

感知直觀素材，建立表象，雖然只是對事物的表面現(xiàn)象與外部特征的認(rèn)識，即獲得感性認(rèn)識，但是對學(xué)生掌握概念來說是極其重要的。因為學(xué)生的感性認(rèn)識越豐富，表象越清晰，想象也就越生動，理解和掌握概念就越容易。

但豐富的感知不是單一的或者是數(shù)量上的重復(fù)，而是要通過多種途徑與方法為學(xué)生提供更為豐富而直觀的感性材料，讓學(xué)生可以通過不同方位、不同形式、不同感官體驗在記憶中建立起較為具體而準(zhǔn)確的表象。同時，利用學(xué)生的表象，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思維。如劉老師在教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）》例題1后，追問：這里6個、4個、8個桃的總個數(shù)不同，每份的個數(shù)也不同，卻都可以用1/2來表示？如果是分10個桃、48個桃、100個桃，甚至更多的桃，還是這樣分，你有什么想說的？教師呈現(xiàn)了一組總數(shù)不同，均分的份數(shù)相同的6盤桃的圖片，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、思考、交流，而后隱去桃子，換成其他物體，最后出示這樣一個圖標(biāo)，指出這個整體可以是一盤桃，也可以是生活中其他物體組成的整體，只要把它平均分成兩份，每份都是這個整體的1/2。在比較辨析中，學(xué)生厘清了“部分與整體之間的關(guān)系”，獲得了對“一個整體的幾分之一”的深度理解，從具體走向綜合，把握了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。

2.數(shù)形結(jié)合，理解概念

數(shù)形結(jié)合指的是借助于直觀形象模型理解抽象的數(shù)學(xué)概念以及抽象的數(shù)量關(guān)系，它是“數(shù)形結(jié)合”思想方法的雛形。通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

如徐老師在引入因數(shù)和倍數(shù)的概念時，用12個同樣的小正方形，擺出三種不同的長方形，得出三道不一樣的乘法算式。 由形到數(shù)，再由數(shù)到形，學(xué)生自主體驗其中倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系，為因數(shù)和倍數(shù)概念的理解打下了堅實的基礎(chǔ)，數(shù)形結(jié)合的思想得到了較好地體現(xiàn)。在練習(xí)時徐老師出示了這樣一道題：

教師做到了圖示與意義巧妙結(jié)合，通過動手操作、用腦想象、用眼觀察、用口表述和用耳傾聽等一系列學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生在頭腦中迅速激活并強(qiáng)化關(guān)于外在感知對象的表象，通過數(shù)形結(jié)合更好地理解了12因數(shù)特征。

3.關(guān)注表達(dá)，促進(jìn)理解

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，一般應(yīng)逐步由實物的直觀向圖形的直觀過渡，然后由圖形的直觀逐步到語言的直觀，即用形象的語言描述來代替實物和圖形的演示。用語言表述概念經(jīng)歷“用自己的自然語言表達(dá)概念——用數(shù)學(xué)語言表述所學(xué)概念——用自己的個性化科學(xué)的語言表達(dá)”這樣一個螺旋上升的過程。

數(shù)學(xué)語言包括符號語言、文字語言和圖示語言。學(xué)生總是通過相對具體的語言符號來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的。為此，在概念學(xué)習(xí)中，強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念，準(zhǔn)確清晰地表述數(shù)學(xué)概念，靈活地使用數(shù)學(xué)概念，有利于他們掌握數(shù)學(xué)知識，感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)的美妙。教學(xué)《因數(shù)和倍數(shù)》時，因數(shù)和倍數(shù)是全新的概念，需要教師的“傳授、講解”，需要學(xué)生的適當(dāng)“記憶”——重復(fù)、仿照。徐老師根據(jù)4×3=12算式，幫助學(xué)生初步建立了因數(shù)和倍數(shù)概念后，提供了這樣一個語言模式：（ ）和（ ）是（ ）的因數(shù)，（ ）是（ ）的倍數(shù)，（ ）也是（ ）的倍數(shù)。要求學(xué)生仿照上題說出6×2=12和12×1=12中哪個數(shù)是哪個數(shù)的倍數(shù)，哪個數(shù)是哪個數(shù)的因數(shù)這樣將操作、思考、表達(dá)融為一體，既能培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力，又能發(fā)展學(xué)生的思維。數(shù)學(xué)表達(dá)就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷外化并進(jìn)行實踐應(yīng)用的過程。而理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵就是要求學(xué)生能把事物的本質(zhì)屬性揭示出來，并用簡潔、明了的合乎邏輯的語言進(jìn)行表達(dá)。

4.經(jīng)歷過程，建立模型

小學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念需要經(jīng)歷“感知素材——建立表象——抽象概念——概念具體化”的認(rèn)知過程。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要為孩子們提供充分的觀察、分析、思考、歸納等機(jī)會，讓他們積極參與到建模、比較、操作、同化、變式等數(shù)學(xué)活動中來，親身經(jīng)歷概念的產(chǎn)生、形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，從具體、感性的認(rèn)識逐步過渡到抽象、理性的認(rèn)識，讓概念的“形象”清晰起來，讓概念的本質(zhì)屬性凸顯出來。

如劉老師執(zhí)教的《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）》，教學(xué)時，她結(jié)合具體情境，通過問題驅(qū)動，借助直觀操作活動，讓學(xué)生在觀察、比較、感受、體驗、歸納中理解一個整體的幾分之一的含義。通過兩次比較辨析，讓學(xué)生在變與不變中把握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性，即變總數(shù)，桃子總量變，分法不變；變份數(shù)，桃子總量不變，分法變，從而引導(dǎo)學(xué)生在比較中抽象概括、感悟變與不變的思想。再通過變式練習(xí)、新舊知識對比以及課尾的拓展延伸題，幫助學(xué)生打通了“感性到理性”“經(jīng)驗到邏輯”“已知到未知”的通道，在頭腦中建立起知識的網(wǎng)絡(luò)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；促進(jìn)分?jǐn)?shù)概念的生成：把一個物體（把一些物體看作一個整體），平均分成（ ）份 ，每份就是這個物體（整體）的1/（ ）。這樣，幫助學(xué)生實現(xiàn)了“實物操作——圖像操作——符號操作”的三次轉(zhuǎn)化與提升，充分運(yùn)用多元表征對信息本質(zhì)進(jìn)行合理的外顯化及豐富化，有效引領(lǐng)學(xué)生對知識學(xué)習(xí)的意義建構(gòu)，促使學(xué)生對概念的理解，并獲得成功的體驗，讓學(xué)生在“再發(fā)現(xiàn)”中學(xué)會“再創(chuàng)造”。

三、發(fā)揮多元表征學(xué)習(xí)魅力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生作為認(rèn)知主體主動構(gòu)建的過程，如何幫助學(xué)生把握概念的內(nèi)涵和外延，多元表征在數(shù)學(xué)課堂中的運(yùn)用，是促進(jìn)新知識的生成，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提高解決問題能力的有效途徑。因為，多元表征可以多層次抽象數(shù)學(xué)概念，多視角歸納數(shù)學(xué)概念，多維度建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)內(nèi)在表征和數(shù)學(xué)思維過程可視可感，有著獨(dú)特的魅力。

如劉老師教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）》時，放手讓孩子們自主探究：“12個桃可以平均分成幾份？每份各是它的幾分之一？”在擺一擺、畫一畫、填一填、說一說的過程中，教師相機(jī)呈現(xiàn)不同的圖形和分?jǐn)?shù)，隨后出示核心問題：“都是12個桃，表示每一份的分?jǐn)?shù)為什么不同？”劉老師通過組織學(xué)生觀察、操作、舉例、解釋等直觀途徑，采用聽思結(jié)合、學(xué)思結(jié)合、手腦結(jié)合、說學(xué)結(jié)合等方式，讓學(xué)生經(jīng)歷了創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的過程，使抽象的概念變得可感而可視、親切而活潑。教師巧妙引導(dǎo)學(xué)生將圖形表征轉(zhuǎn)譯成言語表征和符號表征的過程，抓住了數(shù)學(xué)表征內(nèi)在的多元聯(lián)系，促使學(xué)生進(jìn)一步體會分?jǐn)?shù)與平均分的份數(shù)有關(guān)，平均分的份數(shù)不同，表示其中一份的分?jǐn)?shù)也就不同，有效促進(jìn)了學(xué)生對分?jǐn)?shù)本質(zhì)屬性的理解和掌握，在遷移、變式中實現(xiàn)了由“單個物體的幾分之一”到“一個整體的幾分之一”概念的轉(zhuǎn)化和成長，從而使學(xué)生建立了穩(wěn)定且清晰的知識結(jié)構(gòu)，積累了豐富的數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗，發(fā)展了學(xué)生的思維能力。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)既要引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象，形成概念，又要讓學(xué)生由抽象到具體，運(yùn)用概念。教師必須認(rèn)真鉆研教材，掌握小學(xué)數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)，摸清概念發(fā)展的脈絡(luò)，并依據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)生的心理特點，采用恰當(dāng)?shù)谋碚鞣绞絻?yōu)化概念教學(xué)的過程，使得概念教學(xué)扎實有效。同時，還要幫助和引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用多元表征走近生活，走近數(shù)學(xué)，學(xué)“有趣”的數(shù)學(xué)，學(xué)“生活中”的數(shù)學(xué)，學(xué)“有價值”的數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。數(shù)學(xué)概念表征的研究，還在路上……