馬花

【摘要】發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)。借助加工素材、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)和深度對(duì)話，可以喚醒教材的思維可能，激活思維的內(nèi)在動(dòng)力和引領(lǐng)思維的縱深發(fā)展，讓思維真正生成。教師可以讓學(xué)生通過(guò)畫下來(lái)、動(dòng)手做、說(shuō)出來(lái)等方式，讓思維可視化成為學(xué)生思維生長(zhǎng)的助推器，促進(jìn)學(xué)生思維有條理、更靈活和系統(tǒng)化。

【關(guān)鍵詞】思維可視化；畫圖；操作；表達(dá)

古人云：“人過(guò)留名，雁過(guò)留聲。”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師能否讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“思過(guò)留痕”呢？即學(xué)生在課堂上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)及對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決方法進(jìn)行有效表達(dá)，可以文字表達(dá)（數(shù)學(xué)情境描述）、圖示表達(dá)（思維圖示或數(shù)學(xué)圖形）、式子表達(dá)（公式、算式、方程式、函數(shù)式等），這樣就可以留下思考的痕跡。這樣既利于學(xué)生自我反思、自我評(píng)價(jià)、自我改進(jìn)和自我提升，也利于學(xué)生與其他同學(xué)的交流共享和思維碰撞，更利于教師及時(shí)采取有效措施進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)。實(shí)踐證明，“思維可視化”是可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的有效策略，也是教師進(jìn)行因材施教的有效方法。

一、讓思維真正生成——思維可視化的基本前提

如果沒(méi)有思維的生成，何談思維的可視化？數(shù)學(xué)是思維的體操，也是思維的產(chǎn)物，但數(shù)學(xué)一旦以思維產(chǎn)物的形式固化下來(lái)，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的對(duì)象時(shí)，它的存在，卻未必一定能引發(fā)學(xué)生的思維。傳統(tǒng)的填鴨式教學(xué)模式和機(jī)械訓(xùn)練模式急功近利，直奔結(jié)果而忽略過(guò)程，教師傳輸知識(shí)的過(guò)程就是生塞硬灌，學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中就是生吞硬咽，這樣不但違背了大腦的認(rèn)知規(guī)律，而且還使學(xué)生產(chǎn)生了強(qiáng)烈的厭學(xué)情緒。

1.加工素材，喚醒教材的思維可能

我們都知道好的數(shù)學(xué)素材一定具有引發(fā)思維的可能性。那如何將可能性轉(zhuǎn)換為現(xiàn)實(shí)，從而引發(fā)學(xué)生的有效思維呢？我們需要對(duì)素材進(jìn)行精準(zhǔn)加工，以適應(yīng)兒童心理規(guī)律與年齡特點(diǎn)。

例如，蘇教版三下《年、月、日》一課中，平年、閏年的知識(shí)是本節(jié)課教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，如果教師僅僅出示幾個(gè)年份，讓學(xué)生算一算，然后告知平年和閏年的概念，從而視為數(shù)學(xué)上的一種認(rèn)為規(guī)定，那么，其所內(nèi)涵的思維空間便會(huì)被壓縮。稍作調(diào)整，我們不妨給學(xué)生呈現(xiàn)如下學(xué)習(xí)素材：電腦軟件“萬(wàn)年歷”的演示，直觀、形象令學(xué)生信服；課后閱讀“小知識(shí)”作為補(bǔ)充，讓學(xué)生明白為什么會(huì)出現(xiàn)每4年里有3個(gè)平年，1個(gè)閏年。這樣一方面可以開(kāi)拓學(xué)生的眼界，激發(fā)學(xué)生課下進(jìn)一步探究的欲望，另一方面也喚醒了素材的思維可能，讓素材真正成為思維的引擎。

2.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，激活思維的內(nèi)在動(dòng)力

好的數(shù)學(xué)問(wèn)題能引發(fā)學(xué)生的思維。這些問(wèn)題應(yīng)具有更大的思維空間，能引發(fā)學(xué)生的思維沖突，激活思維的內(nèi)在動(dòng)力。

例如，蘇教版教材二下《三位數(shù)加法》之后，特地安排了“加法估算”這一內(nèi)容。在教學(xué)中，教師不應(yīng)把估算方法直接告訴學(xué)生，而應(yīng)利用學(xué)生已有知識(shí)，提出新的問(wèn)題：“估計(jì)一下，買一部電話機(jī)和一個(gè)電飯煲，大約需要多少元？”“任意選購(gòu)兩件商品，估計(jì)大約需要多少元？”等實(shí)際問(wèn)題。此時(shí)，倘若教師能夠引導(dǎo)學(xué)生邊思考、邊體會(huì)，他們或許會(huì)在解題過(guò)程中自覺(jué)地想到估算。

又如，蘇教版教材三上《整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的口算和估算》教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)了小猴兄弟倆買水果的情境。

師：從這幅圖中你知道了哪些信息？

生：西瓜每箱48元，哈密瓜每箱62元，它倆帶了200元。

師：200元買4箱西瓜夠不夠呢？你需要先知道什么？

生：我需要知道4箱西瓜多少元？列式是48×4。

師：你能不計(jì)算出48×4的準(zhǔn)確結(jié)果就解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

生：是不是可以用估算的辦法？（眾生思考）

師：可以試試看呀，把你準(zhǔn)備怎么估算的思考過(guò)程寫在作業(yè)紙上……

估算是解決實(shí)際問(wèn)題的常用算法。為凸顯它的應(yīng)用價(jià)值，教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)可以估算的購(gòu)物情境，在“帶200元買4箱西瓜夠不夠”問(wèn)題的引領(lǐng)下，學(xué)生依據(jù)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考，卻發(fā)現(xiàn)還不會(huì)筆算“48×4”，只會(huì)口算“50×4”。在這樣的認(rèn)知沖突之下，教師不失時(shí)機(jī)地提出“你能不算出準(zhǔn)確結(jié)果就能解決問(wèn)題嗎”的目標(biāo)驅(qū)動(dòng)，由此，學(xué)生產(chǎn)生估算需要，順理成章地進(jìn)入到估算情境中，這樣思維也在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下得以充分激發(fā)與展開(kāi)。

3.深度對(duì)話，引領(lǐng)思維的縱深發(fā)展

沒(méi)有思維的碰撞就沒(méi)有思維的迸射，沒(méi)有對(duì)話就沒(méi)有思維的砥礪。讓學(xué)生由自己獨(dú)立思考，形成自己的見(jiàn)解后，如何引導(dǎo)學(xué)生在分享與交流中建構(gòu)意義，是推動(dòng)學(xué)生思維向縱深發(fā)展的重要路徑。

生3：我舉個(gè)例子，8個(gè)人里的3個(gè)人，加上8個(gè)人里的2個(gè)人，得到8個(gè)人里的5個(gè)人。

……

此時(shí)，教師不必急于出面，而應(yīng)將問(wèn)題重新拋給學(xué)生——“剛才幾位同學(xué)的發(fā)言，你印象最深的是什么？”引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)對(duì)話，或在比較中發(fā)現(xiàn)差異，或在協(xié)商中尋求共識(shí)。其實(shí)，真正的思維正是在這樣有深度、開(kāi)放的對(duì)話過(guò)程中得以展開(kāi)和深化的。

二、創(chuàng)新教學(xué)路徑——讓數(shù)學(xué)思維看得見(jiàn)

在教學(xué)中讓學(xué)生思維能夠看得見(jiàn)，就是支持學(xué)生實(shí)現(xiàn)自主探究式學(xué)習(xí)的一種非常有效的學(xué)習(xí)策略，運(yùn)用這種策略就可以幫助學(xué)生在完成知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的心智水平，即實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展。我們需要調(diào)動(dòng)學(xué)生的多重感官，參與到思維的產(chǎn)出、發(fā)展與表達(dá)過(guò)程中來(lái)。在運(yùn)用思維可視化建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程中，用直觀的圖形、符號(hào)展現(xiàn)思維的條理性，在動(dòng)手實(shí)踐中展現(xiàn)思維的靈活性，在語(yǔ)言表達(dá)中展現(xiàn)思維的系統(tǒng)性。

1.畫下來(lái)，讓思維條理性展現(xiàn)

思維是人腦對(duì)客觀事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律間接的、概括的反映。它是人類所具有的高級(jí)認(rèn)識(shí)活動(dòng)，是對(duì)新輸入信息與腦內(nèi)儲(chǔ)存知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行一系列復(fù)雜的心智操作過(guò)程。實(shí)踐證明，化抽象為直觀，即把直觀的數(shù)學(xué)畫出可視化的直觀圖，為學(xué)生的思維提供一個(gè)形象化的支撐，將內(nèi)隱的難以言傳的數(shù)學(xué)思維過(guò)程和方法個(gè)性化地呈現(xiàn)出來(lái)。

例如，蘇教版四下《解決問(wèn)題的策略》，有這樣的一題：一個(gè)長(zhǎng)方形菜地長(zhǎng)40米，寬 25米，現(xiàn)因擴(kuò)建，長(zhǎng)和寬同時(shí)增加5米，增加的面積是多少平方米？教師引導(dǎo)學(xué)生用直觀圖把題意畫出來(lái)。

有了直觀圖的依托，學(xué)生很容易想到用大面積減去小面積的方法求出增加的面積這種常規(guī)解法——[40+5×（25+5）] -40×25。如果教學(xué)到此結(jié)束，顯然是不夠的，習(xí)題的作用并沒(méi)有得到充分開(kāi)發(fā)。這時(shí)教師可以拋出一個(gè)問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化學(xué)生的思維路徑：這道題除了用大面積減去小面積的方法解決，還可以用怎樣的方法呢？能不能想辦法直接求出增加的面積呢？于是就有了以下不同的方法：

生1：把增加部分的面積分成了①、②、③三塊，如下圖：

生2：把增加部分的面積分成了①、②兩塊，如下圖：

生3受直觀圖的啟發(fā)，直接把分成的①、②兩塊拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，如下圖：

小小的示意圖為學(xué)生的思維打開(kāi)了一條綠色通道，一方面外化并反映出學(xué)生不同的思維方法、路徑和水平，另一方面給教師了解學(xué)生現(xiàn)狀，進(jìn)而改進(jìn)教學(xué)方式做出有針對(duì)性的引導(dǎo)提供了可靠的技術(shù)保障。

2.動(dòng)手“做”，讓思維靈活展現(xiàn)

數(shù)學(xué)思維不是孤立的，它往往伴隨著具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)展開(kāi)。由于小學(xué)生的思維水平正處在具體運(yùn)算階段，所以在教學(xué)時(shí)，教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手“做”數(shù)學(xué)，在操作、演示、實(shí)踐過(guò)程中，“觀察”學(xué)生的思維路徑與現(xiàn)狀，靈活調(diào)整自己的教學(xué)，從而更好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

在教學(xué)蘇教版一下《100以內(nèi)數(shù)的加法》時(shí)，我給學(xué)生準(zhǔn)備了15根小棒，要求學(xué)生用小棒表示出35。很顯然，這個(gè)操作具有一定的難度，學(xué)生的第一個(gè)反應(yīng)就是小棒不夠，怎么能擺呢？但很快就有一些反應(yīng)較快的學(xué)生想出了辦法：

生1：可以將幾個(gè)人的小棒放在一起擺出3個(gè)一捆的是30，5個(gè)一根的是5，加起來(lái)就是35。

生2：可以將一支鉛筆當(dāng)作10，只需要擺3根鉛筆，然后再拿5根小棒，就擺出了35。

接下來(lái)便有更多的想法呈現(xiàn)出來(lái)。此時(shí)他們的思維顯然已經(jīng)超越了一年級(jí)學(xué)生的應(yīng)有水平，學(xué)生不知不覺(jué)學(xué)會(huì)了替換思維，這樸素的方法蘊(yùn)含著對(duì)應(yīng)和假設(shè)的思維萌芽，教師順勢(shì)可以組織學(xué)生進(jìn)行比較，在溝通、對(duì)比中尋找最好的表達(dá)方式，并在互相學(xué)習(xí)的過(guò)程中提升自己的理解、認(rèn)識(shí)與思維水平，為下一步數(shù)學(xué)探究打開(kāi)了廣闊的空間。

3.說(shuō)出來(lái)——讓思維系統(tǒng)化展現(xiàn)

語(yǔ)言是思維的外殼，借助語(yǔ)言我們可以讓思維展現(xiàn)出來(lái)。但在教學(xué)中，教師應(yīng)該要克制自己說(shuō)的欲望，盡可能給學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多表達(dá)的機(jī)會(huì)，這樣學(xué)生能夠在對(duì)話、溝通、質(zhì)疑和討論中展現(xiàn)、發(fā)展和提升思維。

在蘇教版二下中，學(xué)生認(rèn)識(shí)鐘面的時(shí)間是一個(gè)難點(diǎn)，很容易認(rèn)錯(cuò)。尤其是接近整時(shí)或者超過(guò)整時(shí)一點(diǎn)的，錯(cuò)誤率極高。如寫出下圖鐘面上的時(shí)間，學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)如下錯(cuò)誤結(jié)果：10：11、9：11、10：55、11：10、11：55。分析原因，11：10、11：55是沒(méi)分清時(shí)針和分針導(dǎo)致的錯(cuò)誤，而10：11、9：11、10：55則是沒(méi)弄懂時(shí)針和分針行走的規(guī)律導(dǎo)致的錯(cuò)誤。仔細(xì)分析這些錯(cuò)誤，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)相應(yīng)的思考過(guò)程：先找鐘面上較短的時(shí)針，時(shí)針走過(guò)幾，就是幾時(shí)多；再找鐘面上較長(zhǎng)的分針，指向幾，走了幾×5分鐘，因此，鐘面上的時(shí)間是幾時(shí)幾分。上面的鐘面比較特殊，時(shí)針不容易判斷時(shí)，我們就先觀察分針有沒(méi)有走過(guò)12。沒(méi)有走過(guò)，那說(shuō)明時(shí)針還沒(méi)有到整時(shí)；如果走過(guò)了12，那說(shuō)明時(shí)針走過(guò)了整時(shí)。

學(xué)生像這樣進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，并經(jīng)常說(shuō)一說(shuō)主要思維過(guò)程，就會(huì)發(fā)現(xiàn)和避免以上出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤。透過(guò)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)，我們不難發(fā)現(xiàn)，每一種表達(dá)的背后，都隱含著某一種思路。這些，都給教師觸摸學(xué)生的思維軌跡創(chuàng)造了極佳的條件。

由此可見(jiàn)，思維可視化作為學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)的助推器和重要學(xué)習(xí)策略，可以有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的條理性、靈活性和系統(tǒng)化，不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，避免和減少各種數(shù)學(xué)作業(yè)錯(cuò)誤，提高數(shù)學(xué)成績(jī)。思維可視化作為教師了解學(xué)生、讀懂學(xué)生和研究學(xué)生并進(jìn)行因材施教的重要教學(xué)策略，具有豐富的教育意蘊(yùn)和實(shí)踐價(jià)值，值得一線數(shù)學(xué)教師深入探討和研究。

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