李織蘭 蔣曉云 楊起群 姚衛(wèi)姍 劉丹

【摘要】本文結(jié)合教學(xué)片段論述教師在教學(xué)“認(rèn)識(shí)圓周率”一課時(shí)，利用“我們用測量的方法能得出圓周率的準(zhǔn)確值嗎？”這一問題讓學(xué)生展開思考，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圓周率的獲得過程；從古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》提出“周三徑一”的說法，到劉徽“割圓求周”，再到祖沖之“刻苦求精”求出圓周率，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷一次“數(shù)學(xué)文化之旅”；提出數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生品味數(shù)學(xué)“悠久歷史”帶來的自豪感，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)家鍥而不舍的探索精神，感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，做到讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“學(xué)知識(shí)、育德行、增智慧”。

【關(guān)鍵詞】圓周率 教學(xué)片段 數(shù)學(xué)文化

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）01A-0077-03

桂林師范高等?？茖W(xué)校2014級(jí)農(nóng)村小學(xué)全科公費(fèi)師范畢業(yè)生劉丹在“桂林市農(nóng)村小學(xué)全科教師專業(yè)發(fā)展論壇”的教研活動(dòng)中展示人教版“圓的周長”一課。參加活動(dòng)的教師被劉老師新穎的教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)藝術(shù)和課堂教學(xué)中表現(xiàn)出來的濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息深深吸引。這節(jié)課的“認(rèn)識(shí)圓周率”的教學(xué)片段，恰當(dāng)?shù)赜脭?shù)學(xué)史料、趣事，反映數(shù)學(xué)方法的突破，對(duì)學(xué)生進(jìn)行理性教育、德育教育，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神，讓學(xué)生在“歷史的故事”中學(xué)知識(shí)、育德行、增智慧。

劉老師在學(xué)生通過簡單實(shí)驗(yàn)初步體驗(yàn)了圓周率和利用圓周率計(jì)算圓的周長之后安排了這個(gè)教學(xué)片段，教學(xué)片段以圓周率的探索過程為主線，以體現(xiàn)圓周率的文化價(jià)值為主格調(diào)，為學(xué)生打開了一扇探索數(shù)學(xué)文化發(fā)展史的窗戶，為學(xué)生進(jìn)一步理解圓周率的意義及在中學(xué)的相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中留下一片想象的空間。這個(gè)片段集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的形成過程，是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過程，也是學(xué)生領(lǐng)悟思想方法的過程，更是學(xué)生豐富情感體驗(yàn)、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過程。

一、以導(dǎo)質(zhì)疑、以疑促學(xué)

師：在計(jì)算圓的周長的時(shí)候需要用到圓周率。說到圓周率，我們都知道它是圓的周長和直徑之間固定的倍數(shù)關(guān)系，也是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，這么復(fù)雜的一個(gè)數(shù)，它是怎么來的呢？

生：測量得出來的。

師：我們用測量的方法能得出圓周率的準(zhǔn)確值嗎？

生1：能，我們測量的所有的圓，它的周長都是它直徑的3倍多一些。

生2：不能，我們小組的實(shí)驗(yàn)報(bào)告表中每一次的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都不一樣，而且3倍多一些，多的部分也不一樣。

生1：也許是你們的實(shí)驗(yàn)有誤差。

師：你們的意思是這個(gè)倍數(shù)的精確程度取決于我們測量的誤差大小。如果測量時(shí)很精確，圓的周長都是它直徑的3.14倍嗎？

生1：是的。

師：老師用先進(jìn)的測量工具盡量精確地測量了2個(gè)圓的周長和直徑，得出的“圓周率”的結(jié)果不完全一樣，而且沒有一個(gè)剛好是3.14（教師呈現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表一所示）。

師：看來用測量的方法是無法得到圓周率的。

師：人類對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)是一個(gè)過程，是在實(shí)踐基礎(chǔ)上從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)、又從理性認(rèn)識(shí)到實(shí)踐的無限發(fā)展的過程。其實(shí)，數(shù)學(xué)對(duì)人類文明最大的貢獻(xiàn)是理性精神。理性精神是一種“推演的精神”“邏輯的精神”，是一種求真、求美的精神。我國古代數(shù)學(xué)家用“理性”的方法研究圓周率至少有兩千多年的歷史。下面我們來讀一讀課文中的“你知道嗎？”（如圖1所示），讓我們穿越時(shí)空，經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)文化之旅。

[評(píng)析]

朱熹曾說：“讀書無疑者，須教其有疑；有疑者，須教無疑，到這里才是長進(jìn)?！苯處熤挥凶寣W(xué)生對(duì)已知的“圓周率是一個(gè)固定不變的數(shù)”產(chǎn)生懷疑，他們才會(huì)去關(guān)注人們得出圓周率的過程。教師想要發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的教育功能，就應(yīng)積極培育學(xué)生的“求真”精神，讓學(xué)生形成理性思維、學(xué)會(huì)理性方法、感悟理性的力量。

學(xué)起于思，思源于疑。教師以導(dǎo)質(zhì)疑、以疑促學(xué)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生讀書、思索、答問的積極性，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng)。

二、數(shù)學(xué)文化之旅

（一）數(shù)學(xué)文化喚起篇：周三徑一

師：故事記載了在2000多年前我們的祖先通過輪子轉(zhuǎn)一圈的長度，觀察到圓的周長和其直徑之間有一定的聯(lián)系。數(shù)學(xué)家通過測量、計(jì)算得出圓的周長總是它的直徑的3倍左右。我國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》提出“周三徑一”的說法。魏晉時(shí)期的劉徽于公元263年給《九章算術(shù)》作注時(shí)發(fā)現(xiàn)“周三徑一”只是圓內(nèi)接正六邊形的周長和該圓的直徑的比值。大家想去了解一下嗎？

師（播放課件）：大家觀察這幅圖（如圖2所示），看一看其中都有哪些圖形。

生：有圓、正六邊形，還有6個(gè)等邊三角形。

師：我國古代數(shù)學(xué)家就在圓內(nèi)作一個(gè)正六邊形來代替圓，用正六邊形的周長除以圓的直徑得出圓周率的近似值。

師：正六邊形的周長和圓的直徑的比值是多少？

生：等邊三角形的邊長等于圓的半徑，正六邊形的邊長與圓的半徑一樣長，正六邊形的周長和圓的直徑的比值是3。

師：對(duì)，我們看大屏幕。圓的半徑與正六邊形的邊長一樣長，也就是說，用正六邊形的周長代替圓的周長，求出圓周率π的近似值為3。這就是古人提出的“周三徑一”。

[評(píng)析]

“魏晉時(shí)期的劉徽于公元263年給《九章算術(shù)》作注時(shí)，發(fā)現(xiàn)‘周三徑一只是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值。大家想去了解一下嗎？”教師的這句話喚起學(xué)生強(qiáng)烈的用數(shù)學(xué)的方法探究“周三徑一”的欲望。

每一名學(xué)生都能在課堂上冷靜思考，用數(shù)學(xué)思維去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)思考的內(nèi)在美，正是在這樣一種“潤物無聲”的對(duì)話和思辨過程中悄悄滋潤著學(xué)生的心靈，化作學(xué)生思考的力量源泉。

（二）數(shù)學(xué)文化彰顯篇：割圓求周

片段一

師：比較圓和正六邊形的周長，你看出了“用正六邊形的周長代替圓的周長”有什么問題？

生：用正六邊形的周長代替圓的周長誤差太大。

師：古人后來又提出了“周三徑一有余”的說法，但究竟余多少？

師（出示圖3）：魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽提出了“割圓求周”的方法：把圓周分成六等分、十二等分、二十四等分……這樣繼續(xù)分割下去，所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長。

師：比較一下，正十二邊形的周長和正六邊形的周長相比，誰更接近圓的周長？

生：正十二邊形的周長更接近圓的周長。

師：如果把圓繼續(xù)分，分成正二十四邊形、正四十八邊形……想一想，如果我們這樣一直分下去，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

生：分的份數(shù)越多，正多邊形的周長就越接近圓的周長。

師：那么，正多邊形的周長和直徑的比值就越來越接近？

生：圓周率！

師：請(qǐng)一位同學(xué)讀一讀劉徽的關(guān)于“割圓術(shù)”的這段話。

生：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。

師：誰來解釋一下這段話？

生：分得越細(xì)、正多邊形邊數(shù)越多，多邊形的周長與圓的周長就越接近。

生：分到不能再分的時(shí)候，多邊形的周長與圓的周長就沒有差別了。

師：正多邊形的邊數(shù)到2萬時(shí)，還能再“細(xì)”分嗎？

生：能。

師：那什么時(shí)候不能再分？

生：無窮多條邊的時(shí)候。

師：“割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！蔽覀兛梢越忉尀椤罢噙呅蔚倪厰?shù)達(dá)到‘無窮多時(shí)，正多邊形的周長就是圓的周長”。

[評(píng)析]

通過這樣的教學(xué)過程，學(xué)生不僅深刻地感受了“割圓術(shù)”的精妙，而且在無形中形成了極限思想。

片段二

師：劉徽首創(chuàng)的“割圓術(shù)”是中國古代極限觀念的體現(xiàn)。劉徽一生都為數(shù)學(xué)刻苦探求、學(xué)而不厭，給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富。

（教師用多媒體展示：劉徽用“割圓術(shù)”求圓的周長和直徑的比值，計(jì)算到正一百九十二邊形，得出這個(gè)正多邊形的周長和圓的直徑的比的近似值是3.14，即π≈3.14。如表二所示）

師：我們常用π≈3.14計(jì)算圓的周長，也稱圓周率的近似值3.14為“徽率”。

[評(píng)析]

劉徽對(duì)世界數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是他的“割圓術(shù)”方法與無限細(xì)分逐步逼近的極限思想。他首創(chuàng)的方法，不僅為200年后祖沖之對(duì)圓周率的計(jì)算提供了思想方法和理論依據(jù)，還對(duì)中國古代數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了很大的影響。學(xué)生通過對(duì)“割圓術(shù)”的了解，在感嘆中國數(shù)學(xué)文化博大精深的同時(shí)，也感受到數(shù)學(xué)極限思想的奇妙。

（三）數(shù)學(xué)文化震撼篇：刻苦求精

片段一

師（多媒體展示）：假設(shè)一顆人造衛(wèi)星繞著圓形軌道飛行，這個(gè)圓形軌道的直徑是13428008米。衛(wèi)星飛行一圈是多少米？

生：我用π≈3.14計(jì)算，衛(wèi)星飛行一圈是42163945.12米。

生：我用π≈3計(jì)算，衛(wèi)星飛行一圈是40284024米。

師：實(shí)際上，衛(wèi)星飛行一圈約42185330.57米，用π≈3.14計(jì)算，運(yùn)算結(jié)果與實(shí)際相差21385.45米，用π≈3計(jì)算，運(yùn)算結(jié)果與實(shí)際相差1901306.57米。

生：可能是圓周率的近似值π≈3.14不夠精確。

生：圓很大時(shí)，用圓的內(nèi)接正一百九十二邊形的周長代替圓的周長還是不夠精確。

師：在無需精確結(jié)果估算圓的周長時(shí)，可用直徑乘以3，即π≈3，計(jì)算簡潔快速，“周三徑一”的價(jià)值不言而喻；計(jì)算日常生活中的車輪周長、圓桌周長等時(shí)可取圓周率π≈3.14；但在計(jì)算衛(wèi)星的軌道周長時(shí)，就會(huì)“失之毫厘，謬以千里”。

[評(píng)析]

教師在學(xué)生完成練習(xí)題之后，呈現(xiàn)對(duì)比性問題啟發(fā)學(xué)生思考：估算圓形的周長，直徑乘3，簡潔快速；計(jì)算衛(wèi)星的軌道，圓周率取整數(shù)3和3.14，周長相差約190萬米，“失之毫厘，謬以千里”，圓周率精確度的作用凸顯無遺?，F(xiàn)實(shí)的情境、鮮明的對(duì)比，學(xué)生真切地感受到研究圓周率的獨(dú)特價(jià)值。

片段二

師：數(shù)學(xué)家祖沖之，他也是天文學(xué)家，他也認(rèn)為π≈3.14還不夠精確。于是，他在家中做了一個(gè)直徑為一丈大的圓，1丈≈3.333米。同學(xué)們，（教師邊走邊比劃直徑為一丈的圓）你能想象這個(gè)圓的大小嗎？

生：能！

師：在這樣一個(gè)大圓里，祖沖之在劉徽的基礎(chǔ)上繼續(xù)“割圓”，分成正三百四十八邊形、正七百六十八邊形……當(dāng)分出正兩萬四千五百七十六邊形時(shí)，這個(gè)正多邊形每條邊的長度大約是0.4毫米。同學(xué)們請(qǐng)?jiān)诔咦由险艺?，?.4毫米有多長。

（學(xué)生的驚訝聲、贊嘆此起彼伏）

師：這時(shí)，多邊形和圓會(huì)怎么樣？

生：非常接近！

師：求出的正多邊形的周長和圓的直徑的比值與圓周率就會(huì)怎樣？

生：非常接近！

[評(píng)析]

“直徑為一丈的大圓的內(nèi)接正兩萬四千五百七十六邊形的邊長不足0.4毫米”的直觀感受，使學(xué)生的情感得以洗禮、心靈受到震撼。

片段三

師：祖沖之在劉徽開創(chuàng)的方法的基礎(chǔ)上，首次將“圓周率”精算到小數(shù)點(diǎn)后第七位，即π在3.1415926和3.1415927之間，他提出的“祖率”對(duì)數(shù)學(xué)的研究有重大貢獻(xiàn)。直到16世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西才打破了這一紀(jì)錄。

師：請(qǐng)同學(xué)們大聲讀出課文中介紹的祖沖之的研究成果。

生：約1500年前，中國有一位偉大的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之，他計(jì)算的圓周率在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個(gè)把圓周率的值精確到7位小數(shù)的人。這一成就比國外大約要早1000年。

[評(píng)析]

祖沖之研究的“圓周率”結(jié)果極大地震撼了學(xué)生的心靈，豐富了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感體驗(yàn)。