☉山東省泰安市泰山學(xué)院附屬中學(xué) 賈貞鋒

當(dāng)前不少版本的初中數(shù)學(xué)教材上關(guān)于“與三角形有關(guān)的角”的教學(xué)都安排了多個(gè)課時(shí)，并且第1課時(shí)都是安排三角形的內(nèi)角和的教學(xué)，第2課時(shí)安排直角三角形兩銳角互余，并由此拓展得出三角形外角的性質(zhì).根據(jù)教學(xué)實(shí)際，一般后續(xù)還會(huì)安排2節(jié)課開展與三角形的角相關(guān)的習(xí)題教學(xué).最近我們?cè)谘辛?xí)全國(guó)著名特級(jí)教師李庾南老師相關(guān)著作、文獻(xiàn)資料時(shí)發(fā)現(xiàn)，李老師及其團(tuán)隊(duì)倡導(dǎo)的“三學(xué)”（即學(xué)材再建構(gòu)、學(xué)法三結(jié)合、學(xué)程重生成）對(duì)一線教師的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與組織有著直接的指導(dǎo)價(jià)值.本文課例就是以“三學(xué)”為指導(dǎo)，整合教材，對(duì)三角形的角的教學(xué)進(jìn)行教材重組，實(shí)施的“與三角形有關(guān)的角”單元教學(xué)的起始課.

一、“與三角形有關(guān)的角”單元教學(xué)起始課

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）復(fù)習(xí)引入

引導(dǎo)語(yǔ)：前面我們剛學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)概念，與三角形有關(guān)的重要線段，我們也知道了三角形中兩個(gè)重要元素：邊和角.本節(jié)課開始，我們就來(lái)學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的角.

問(wèn)題1：三角形共有幾個(gè)內(nèi)角？這些內(nèi)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

預(yù)設(shè)：3個(gè)內(nèi)角，它們的和為180度.接下來(lái)安排學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)活動(dòng).

活動(dòng)：在小學(xué)同學(xué)們就知道了三角形內(nèi)角和為180度，你們也通過(guò)剪拼的方法進(jìn)行了驗(yàn)證，請(qǐng)大家拿出課前準(zhǔn)備的三角形紙板，小組合作再做一次剪拼三角形內(nèi)角和為180度的實(shí)驗(yàn)吧！

教學(xué)組織：學(xué)生剪拼之后，安排一個(gè)小組派一個(gè)代表上臺(tái)演示（如圖1到圖2），大家確認(rèn)三角形內(nèi)角和為180度之后，進(jìn)入內(nèi)角和定理的證明環(huán)節(jié).

圖1

圖2

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）證明定理與成果擴(kuò)大

過(guò)渡：同學(xué)們剛剛回顧了小學(xué)里如何用拼圖法驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180度，作為一種實(shí)驗(yàn)確認(rèn)是可以的，但數(shù)學(xué)的特點(diǎn)在于不滿足于實(shí)驗(yàn)確認(rèn)和直觀感知，需要走向一般進(jìn)行推理證明.接下來(lái)大家畫出三角形，寫出已知求證，嘗試證明吧，建議同學(xué)們先獨(dú)立思考、證明，再在小組內(nèi)交流各自的證明方法，最后我們?cè)偬暨x小組代表分別上臺(tái)進(jìn)行全班交流.考慮到課堂時(shí)間有限，我們?cè)谡n上只安排學(xué)生展示如下兩種典型的證明方法（如圖3，圖4）.

圖3

圖4

證明之后，教師板書三角形內(nèi)角和定理及符號(hào)表示，并提醒學(xué)生三角形內(nèi)角和定理揭示了三個(gè)內(nèi)角之間的一個(gè)等量關(guān)系，只要知道兩個(gè)角的度數(shù)，就可以求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)一步安排學(xué)生舉例，小組之間分別舉例求度數(shù).

問(wèn)題2：同學(xué)們手頭的直角三角板，大家研究一下，它們的角有什么數(shù)量關(guān)系？

預(yù)設(shè)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.這里注意到直角三角板是比較特殊的三角形，但只要是一般直角三角形，都可以利用三角形內(nèi)角和推出兩個(gè)銳角的互余關(guān)系.教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生辨析從特殊走向一般的數(shù)學(xué)思想.

問(wèn)題3：上面研究了直角三角形兩個(gè)銳角互余的情況，對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的學(xué)習(xí)與研究，我們常常在原命題研究之后，還可進(jìn)一步逆過(guò)來(lái)想，即思考它的逆命題.那么當(dāng)一個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角具有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，它是直角三角形呢？

預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會(huì)有不同的理解，比如：

三角形中兩個(gè)內(nèi)角互余時(shí)，第三個(gè)內(nèi)角為直角；

三角形中兩個(gè)內(nèi)角的和恰等于第三個(gè)內(nèi)角時(shí)，該三角形為直角三角形；

三角形中兩個(gè)內(nèi)角的差恰等于第三個(gè)內(nèi)角時(shí)，該三角形為直角三角形.

當(dāng)學(xué)生給出這些命題之后，教師需要追問(wèn)如何證明，引導(dǎo)他們利用新學(xué)的三角形內(nèi)角和性質(zhì)進(jìn)行證明.

問(wèn)題4：同學(xué)在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，用到了圖4這樣的基本圖形，這里涉及到三角形的外角，如∠ACF，由三角形一邊的延長(zhǎng)線與三角形一邊形成的角，稱為三角形的外角.大家想想，三角形的一個(gè)外角與內(nèi)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

預(yù)設(shè)：一個(gè)外角與相鄰的內(nèi)角是互補(bǔ)的關(guān)系；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.這里學(xué)生發(fā)現(xiàn)之后，教師通過(guò)簡(jiǎn)要的追問(wèn)，讓學(xué)生說(shuō)出證明思路即可，不過(guò)多展開細(xì)節(jié)，因?yàn)楸菊n教學(xué)內(nèi)容較多，教師只需及時(shí)把學(xué)生的發(fā)現(xiàn)整理到板書相關(guān)位置即可.

以上的問(wèn)題3、問(wèn)題4可以看成是對(duì)三角形內(nèi)角和定理的成果擴(kuò)大.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）例題教學(xué)

過(guò)渡：前面大家的探究成果很豐富，也舉例進(jìn)行了一些練習(xí)，下面老師也帶來(lái)一個(gè)題組，幫助同學(xué)們鞏固新知.

例題：如圖5，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°.

圖5

（1）求∠C的度數(shù).

（2）設(shè)點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，連接AD，當(dāng)AD為△ABC高時(shí)，你能求出圖形哪些角的度數(shù)？

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，再畫另一條高CE，設(shè)它們交于點(diǎn)O，求∠AOC的度數(shù).

（4）將前面所探究的兩條高改成兩條角平分線AD，CE，此時(shí)還能求∠AOC的度數(shù)嗎？

教學(xué)組織：這一組題通過(guò)PPT漸次呈現(xiàn)，前一問(wèn)學(xué)生解出之后安排學(xué)生講解思路，教師引導(dǎo)學(xué)生參與評(píng)析，然后再呈現(xiàn)下一問(wèn)題.其中第（4）問(wèn)可以根據(jù)課堂教學(xué)時(shí)間相機(jī)呈現(xiàn)，如果時(shí)間偏緊，學(xué)生在解答前面的問(wèn)題時(shí)用時(shí)較多，則第（4）問(wèn)留作課后挑戰(zhàn).

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）小結(jié)提升

課堂小結(jié)時(shí)，把黑板上一些知識(shí)內(nèi)容用框架線完善起來(lái)（圖6為板書示意圖）.

注意，板書中提到的“三角形的外角和為360°”在前面教學(xué)中沒有涉及，這是安排在全課小結(jié)的一個(gè)精心設(shè)計(jì).

圖6

引出板書中三角形外角和為定值的探究問(wèn)題，安排學(xué)生思考三角形的外角和為多少度？如何證明？最后形成完善的知識(shí)框架體系（在板書中補(bǔ)出“三角形的外角和為360°”）.

我們以PPT給出著名數(shù)學(xué)家陳省身先生的一段話：“人們常說(shuō)，三角形內(nèi)角和等于180°，但是，這是不對(duì)的！”

老教授對(duì)這句話作了精辟的解釋：說(shuō)“三角形內(nèi)角和為180°不對(duì)，不是說(shuō)這個(gè)事實(shí)不對(duì)，而是說(shuō)這種看問(wèn)題的方法不對(duì)，應(yīng)該說(shuō)“三角形外角和是360°”！

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

（一）深刻理解教學(xué)內(nèi)容，明辨學(xué)段要求，精準(zhǔn)設(shè)定教學(xué)目標(biāo)

三角形相關(guān)的角在小學(xué)階段就學(xué)過(guò)，并且學(xué)生已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和為180度，這些都不能簡(jiǎn)單的在初中課堂上重復(fù)、空轉(zhuǎn)，應(yīng)當(dāng)快速通過(guò)，基于深刻理解教學(xué)內(nèi)容的高度，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到實(shí)驗(yàn)、操作、直觀獲得的經(jīng)驗(yàn)和結(jié)果，還需要進(jìn)行推理證明，這也是數(shù)學(xué)的特點(diǎn).基于以上認(rèn)識(shí)，我們確定了本課的教學(xué)目標(biāo)就是證明三角形內(nèi)角和定理，并由三角形內(nèi)角和性質(zhì)出發(fā)，推理直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)；掌握三角形外角性質(zhì)與外角和為360度的性質(zhì).而考慮到教學(xué)時(shí)間的限制，例習(xí)題的教學(xué)不是本課的主要任務(wù)，所以我們只安排了一個(gè)題組進(jìn)行訓(xùn)練，在后續(xù)教學(xué)中再進(jìn)行相關(guān)的例習(xí)題訓(xùn)練.

（二）精心預(yù)設(shè)課堂小結(jié)，構(gòu)建知識(shí)框架，相機(jī)變式拓展提升

不少老師的課堂小結(jié)以“今天我們學(xué)到了什么，掌握了什么知識(shí)或方法，你有什么經(jīng)驗(yàn)與同學(xué)們分享？”之類的套話來(lái)小結(jié).我們從這節(jié)課例的構(gòu)思中發(fā)現(xiàn)，可以在小結(jié)階段對(duì)本課所學(xué)的知識(shí)、性質(zhì)或定理進(jìn)行框架式的構(gòu)建，完善、充實(shí)相關(guān)內(nèi)容，讓學(xué)生通過(guò)課堂小結(jié)知曉本課所學(xué)知識(shí)的大致框架、脈絡(luò)，并且根據(jù)學(xué)情進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣固嵘?比如，課堂最后，我們通過(guò)數(shù)學(xué)家陳省身先生的名言引出了外角和的性質(zhì).這種性質(zhì)將對(duì)應(yīng)著后續(xù)學(xué)生會(huì)學(xué)到的任意多邊形的外角和為定值（一個(gè)周角）.

三、寫在后面

簡(jiǎn)單的內(nèi)容如何教得深刻、教出新意，是值得我們認(rèn)真思考的，我們關(guān)于三角形的相關(guān)角教學(xué)起始課只是一次積極的嘗試，期待老師們圍繞相關(guān)課題開展同課異構(gòu)，豐富這個(gè)課題的課例研究.