☉江蘇省如皋經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)初中 謝培培

初中數(shù)學(xué)教學(xué)不但要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，更要注重學(xué)生思維素質(zhì)的發(fā)展.其中，學(xué)生的發(fā)散性思維更是數(shù)學(xué)思維靈活性的基本體現(xiàn)，那么如何圍繞學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)來建構(gòu)我們的初中課堂呢？下面，筆者就以“同旁內(nèi)角”的概念教學(xué)為例，探討一下自己在教學(xué)中的實(shí)踐和操作.

客觀地講，同旁內(nèi)角是一個(gè)很簡(jiǎn)單的概念，但是學(xué)生在實(shí)際問題中很難找準(zhǔn)同旁內(nèi)角，原因何在？筆者認(rèn)為這主要是七年級(jí)的學(xué)生才剛剛系統(tǒng)化地接觸幾何，他們的幾何直觀能力還在逐漸的培養(yǎng)過程中，而且初次接觸某些新的概念，學(xué)生的思維總是束手束腳.這也表明我們發(fā)展學(xué)生發(fā)散性思維的必要性，同時(shí)這一課題也可以成為學(xué)生發(fā)展發(fā)散性思維的一個(gè)重要素材，我們還可以通過對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)和啟發(fā)，引導(dǎo)他們采用不完全歸納的方法總結(jié)同旁內(nèi)角的尋找方法.以下是筆者教學(xué)過程的基本設(shè)計(jì).

一、總結(jié)概念，明確內(nèi)涵

提出問題：如圖1所示的情境中，有兩條直線AB和CD，它們被同一條直線EF所截，形成了若干個(gè)角，請(qǐng)辨析∠1與∠2；∠3與∠4分別存在哪些共同的特點(diǎn)？

學(xué)生觀察圖形，并結(jié)合自己的思考在小組內(nèi)部進(jìn)行交流，最終匯總出如下結(jié)論：上述兩組角有以下三個(gè)特點(diǎn)：都存在兩個(gè)頂點(diǎn)；都出現(xiàn)在兩條直線之間；都出現(xiàn)第三條直線的同一側(cè).

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)：我們將滿足上述條件，且能搭建成一個(gè)“U”字形圖形的兩個(gè)內(nèi)角叫做“同旁內(nèi)角”.

圖1

二、理解概念，延展認(rèn)識(shí)

在學(xué)生已經(jīng)對(duì)概念形成初步認(rèn)識(shí)之后，教師提供問題，引導(dǎo)學(xué)生在應(yīng)用中理解概念.

例1 如圖2所示的圖形中，請(qǐng)確認(rèn)一共存在幾對(duì)同旁內(nèi)角？

學(xué)生分析這個(gè)問題時(shí)的唯一工具是同旁內(nèi)角的概念，教師也在學(xué)生的思考中有意識(shí)地引導(dǎo)他們對(duì)概念進(jìn)行剖析，“同旁內(nèi)角”這個(gè)概念的核心應(yīng)該落在“同旁”和“內(nèi)”這兩個(gè)詞，其中“同旁”要求角要落在截線的同一側(cè)，“內(nèi)”意味著兩個(gè)角應(yīng)該在兩條直線之間.在具體處理過程中，學(xué)生在圖上要準(zhǔn)確把握兩條直線和那條截線，最終他們明確了以下三種情形：（1）AB、DE兩直線被BD所截；（2）AB、DE兩直線被BE所截；（3）△BDE的任意兩條邊都被它的第三條邊所截.

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生給出了這個(gè)問題的最終答案：共有五對(duì)同旁內(nèi)角，它們分別是：∠CBD和∠D；∠DBE和∠D；∠ABE和∠E；∠DBE和∠E；∠D和∠E.

圖2

三、繪制輔助線，化解難點(diǎn)

在學(xué)生通過例1對(duì)概念形成一定認(rèn)識(shí)之后，教師再為他們提供難度稍大的問題，引導(dǎo)他們展開探索.

例2 請(qǐng)找出一個(gè)三角形和四邊形中分別存在多少對(duì)同旁內(nèi)角？

圖3

這是一個(gè)純文字的問題，學(xué)生初次接觸這個(gè)問題大多會(huì)感到無處著手，因?yàn)樗麄儾艅倓傞_始學(xué)習(xí)幾何，對(duì)幾何問題的處理思路還不夠熟悉.在小學(xué)階段，他們也接觸過一些幾何問題，但是基本都是題目自帶圖形，學(xué)生按圖索驥即可.而在初中階段，很多問題的處理需要學(xué)生自己構(gòu)建圖形，這一點(diǎn)在學(xué)生以后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來處理問題時(shí)體現(xiàn)得尤為明顯.為此，我們指導(dǎo)學(xué)生自己繪制圖形，但是一般的三角形和四邊形都是由線段拼湊而成，而我們的同旁內(nèi)角則是通過直線定義的，為此我們可以指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建輔助線，將陌生的數(shù)學(xué)問題以更加形象的方式展示出來.我們指導(dǎo)學(xué)生延長(zhǎng)三角形和四邊形各邊所在直線，如圖3所示，然后學(xué)生即可精準(zhǔn)把握三角形中的同旁內(nèi)角存在三對(duì)，四邊形中的同旁內(nèi)角存在四對(duì).

四、在類比中歸納，提煉經(jīng)驗(yàn)

分析過三角形和四邊形中同旁內(nèi)角的存在情況，我們指導(dǎo)學(xué)生探求n邊形（n≥3）中所對(duì)應(yīng)的同旁內(nèi)角有多少對(duì)？

學(xué)生從三角形和四邊形的結(jié)論入手，再列舉出五邊形、六邊形等等，并最終確認(rèn)兩個(gè)相鄰的內(nèi)角都是一對(duì)同旁內(nèi)角，這時(shí)學(xué)生給出結(jié)論：n邊形（n≥3）中存在n對(duì)同旁內(nèi)角.

教師在此基礎(chǔ)上肯定學(xué)生的結(jié)論，并幫助學(xué)生明確這里采用了不完全歸納法.

1.構(gòu)造變式，訓(xùn)練發(fā)散性思維

從三角形和四邊形到n邊形（n≥3），學(xué)生對(duì)同旁內(nèi)角已經(jīng)有了較為深刻的認(rèn)識(shí)，這時(shí)教師提供變式.

例3 現(xiàn)有一n邊形（n≥4），如果連接一條對(duì)角線之后，這個(gè)圖形一共存在多少對(duì)同旁內(nèi)角？

有了之前問題的鋪墊，學(xué)生已經(jīng)普遍明確n邊形中存在n對(duì)同旁內(nèi)角，在此基礎(chǔ)上，我們?cè)谄渲醒a(bǔ)上一條對(duì)角線，然后安排學(xué)生運(yùn)用不完全歸納的方法進(jìn)行探索和研究.學(xué)生畫出如圖4所示的情形，然后開始分析，增加了一條對(duì)角線之后，這個(gè)圖形即增加了四個(gè)角，這四個(gè)角本身就存在兩對(duì)同旁內(nèi)角，同時(shí)每一個(gè)角還與原圖形中的已有內(nèi)角構(gòu)成一對(duì)同旁內(nèi)角，因此最后的答案應(yīng)該是（n+6）對(duì).

圖4

這個(gè)問題是在原有問題上的延展和變形，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到數(shù)學(xué)問題的多變性和靈活性，學(xué)生的發(fā)散性思維能因此得到訓(xùn)練.

五、舉一反三，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

發(fā)散性思維有助于學(xué)生掙脫原有思維體系的束縛，該思維能力也必將促使學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.為了實(shí)現(xiàn)這一目的，筆者設(shè)計(jì)了以下問題，引導(dǎo)學(xué)生展開分析和探索.

例4 現(xiàn)有一個(gè)n邊形，如果從其內(nèi)部的一點(diǎn)向各個(gè)頂點(diǎn)引出連線，請(qǐng)問這個(gè)圖形有多少對(duì)同旁內(nèi)角？（考慮本題的難度，姑且不討論這里所選擇的點(diǎn)和圖中多個(gè)點(diǎn)共線的情況.）

學(xué)生自己繪制出如圖5所示的圖形，其中圖中的I點(diǎn)是原n邊形內(nèi)的一點(diǎn).學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)從I點(diǎn)向各個(gè)頂點(diǎn)引出的連線將把n邊形劃分為n個(gè)三角形、n個(gè)四邊形、n個(gè)五邊形等等，當(dāng)然還有一個(gè)n邊形，他們?cè)谟懻撝忻鞔_可以先將這些圖形中總的同旁內(nèi)角對(duì)數(shù)加起來，然后將重疊的減掉，即為最終結(jié)果.當(dāng)然，我們還可以繼續(xù)提問：如果是從n邊形的外部一點(diǎn)向著各個(gè)頂點(diǎn)來連線，結(jié)論又如何呢？進(jìn)一步地思考，讓學(xué)生得到更加充分的訓(xùn)練.

綜上所述，在指導(dǎo)學(xué)生研究同旁內(nèi)角時(shí)，幫助他們掌握概念是基礎(chǔ)性目標(biāo)，訓(xùn)練他們靈活而充滿變通的思維則是核心任務(wù).在上述教學(xué)過程中，我們靈活創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生自己繪制圖形，并通過圖形的觀察和研究，最終形成結(jié)論，這樣的教學(xué)有助于學(xué)生發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)，也有助于他們創(chuàng)新意識(shí)的提升.

圖5