曹曉瑞

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)概念、與圓有關(guān)的位置關(guān)系及圓中的計(jì)算問(wèn)題等知識(shí)，但當(dāng)時(shí)并沒(méi)有對(duì)相關(guān)定理進(jìn)行嚴(yán)格的證明，學(xué)生缺乏對(duì)知識(shí)過(guò)程的理解，更不能很好的領(lǐng)悟知識(shí)產(chǎn)生的背景及發(fā)生發(fā)展過(guò)程。為此，人教A版高中數(shù)學(xué)選修系列4-1將“幾何證明選講”單列作為一個(gè)專題進(jìn)行研究，其中就包括圓的相關(guān)知識(shí)的研究學(xué)習(xí)，可見(jiàn)其重要性。

進(jìn)入高中，學(xué)生的思維水平和理解能力有了很大的提升，因次，有必要通過(guò)這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)將我們?cè)诔踔须A段沒(méi)有深入弄明白的問(wèn)題和不知道來(lái)龍去脈的問(wèn)題加以解決，進(jìn)一步提升自己提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

參照新課標(biāo)大綱，筆者認(rèn)為人教A版高中數(shù)學(xué)選修系列4-1模塊知識(shí)具有以下幾點(diǎn)顯著特征：注重證明，強(qiáng)調(diào)過(guò)程，突出思想，加強(qiáng)探究。這是結(jié)合高中階段學(xué)生的特點(diǎn)和接受能力，讓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性成為提高同學(xué)們邏輯推理技能、以及思維能力的有效途徑，為學(xué)生解決以后的學(xué)習(xí)和生活中的問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，從而提高自己提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。同時(shí)也領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想方法，跟隨書(shū)中的觀察，思考，探究等，大膽探究問(wèn)題，拓展了自己的知識(shí)和視野。

了解了這些特點(diǎn)，那么本教材的教學(xué)方法就有了一個(gè)思路。我們不妨從初高中知識(shí)的聯(lián)系入手，結(jié)合大綱要求，讓學(xué)生學(xué)好本專題。為此，從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律抓起，把握初、高中知識(shí)聯(lián)系，方能提高課堂效率。因次，使學(xué)生很快的熟悉本部分知識(shí)，重拾以前的理論，讓他們覺(jué)得似曾相識(shí)，而又不乏興趣，是本專題學(xué)好的前提和關(guān)鍵。

為此，我們有必要研究一下初高中關(guān)于這一部分知識(shí)的聯(lián)系，好做到有的放矢。我們以華師大版初中教材為例來(lái)討論一下這個(gè)問(wèn)題。華師大版教材把圓這一部分放在了九年級(jí)下冊(cè)第28章，結(jié)構(gòu)如下：28.1圓的認(rèn)識(shí)；28.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系；28.3圓中的計(jì)算問(wèn)題。中考考綱對(duì)此部分的要求是1、理解圓的有關(guān)概念和性質(zhì)。2、掌握點(diǎn)和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系及其性質(zhì)。3、掌握弧長(zhǎng)、扇形面積計(jì)算公式。

而高中人教A版教材把圓的知識(shí)作為一個(gè)專題單獨(dú)列了出來(lái)，放在了選修4-1。共分為五節(jié)來(lái)安排的：一，圓周角定理；二，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理；三，圓的切線的性質(zhì)及判定定理；四，弦切角的性質(zhì)；五，與圓有關(guān)的比例線段。高考考綱對(duì)此部分的要求是1、會(huì)證明并應(yīng)用圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.2、會(huì)證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理.

對(duì)比中高招考綱，對(duì)與圓相關(guān)知識(shí)的考察不難發(fā)現(xiàn)初中對(duì)本部分的介紹重在對(duì)相關(guān)概念名詞的介紹和了解，而高中則是對(duì)這些知識(shí)的深入探究，更注重知識(shí)的來(lái)龍去脈和聯(lián)系性、應(yīng)用性。當(dāng)然，有了初中對(duì)圓的相關(guān)知識(shí)的了解，高中對(duì)圓的相關(guān)性質(zhì)的學(xué)習(xí)才有了一個(gè)基礎(chǔ)。因此，初高中知識(shí)是一脈相承的，教學(xué)時(shí)應(yīng)注重聯(lián)系，強(qiáng)化應(yīng)用，這樣學(xué)生才可能容易接受，從而掌握牢固。

因此，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，尊重教材的設(shè)計(jì)思路，把握好初高中知識(shí)的聯(lián)系，深刻領(lǐng)會(huì)知識(shí)間的銜接是設(shè)計(jì)好一節(jié)課，上好一節(jié)課的前提和基礎(chǔ)。為此，筆者把自己的一些想法和理解用一節(jié)課的設(shè)計(jì)來(lái)做一展示，下面就是人教A版高中數(shù)學(xué)選修系列4-1《弦切角的性質(zhì)》這一節(jié)課的設(shè)計(jì)，希望能和各位同仁做一交流，。

一、課前預(yù)習(xí)設(shè)計(jì)

（一）教材自學(xué) 自學(xué)課本選修4-1 P32—P34內(nèi)容

1.提問(wèn)：什么樣的角是圓周角？（聯(lián)系初中所學(xué)知識(shí)，喚起學(xué)生對(duì)知識(shí)的親切感和興趣，并為下面學(xué)習(xí)弦切角做好鋪墊?。?/p>

2.圓周角∠CAB，讓射線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)圓周角，當(dāng)AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至與圓相切時(shí)，停止旋轉(zhuǎn)，得∠BAE.（圖7-132）

思考：這時(shí)∠BAE還是圓周角嗎？為什么？歸納總結(jié)出弦切角的特點(diǎn)：

（1）頂點(diǎn)在圓周上； （2）一邊與圓相交； （3）一邊與圓相切.

（二）目標(biāo)提取

1.你認(rèn)為本節(jié)課我們主要應(yīng)完成哪些任務(wù)？

2.能否做一個(gè)簡(jiǎn)單概括？（結(jié)合預(yù)習(xí)，在初中知識(shí)的基礎(chǔ)上我們還有哪些知識(shí)沒(méi)有弄明白？展示目標(biāo)）

（1）理解弦切角的概念；

（2）掌握弦切角定理及推論，并會(huì)運(yùn)用它們解決有關(guān)問(wèn)題；

（3）理解化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法以及完全歸納的證明方法.

（注：學(xué)習(xí)目標(biāo)的展示應(yīng)簡(jiǎn)潔，以知識(shí)目標(biāo)為主，其他的目標(biāo)應(yīng)落實(shí)到教學(xué)過(guò)程中。另外，目標(biāo)應(yīng)作為預(yù)習(xí)的一個(gè)風(fēng)向標(biāo)，學(xué)生通過(guò)預(yù)習(xí)不僅要了解本節(jié)要學(xué)習(xí)什么以及需要那些知識(shí)準(zhǔn)備。更重要的是通過(guò)預(yù)習(xí)弄清楚了自己的需求，也就有了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)了。）

（三）明確重、難點(diǎn)

你認(rèn)為哪些知識(shí)是本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)？（不同的學(xué)生可能有不同的難點(diǎn)，在教學(xué)中可分層次教學(xué)，有的放矢）

重點(diǎn)：弦切角定理及其應(yīng)用

難點(diǎn)：弦切角定理的證明

二、課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）定向、誘導(dǎo)

1. 弦切角定義：

頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.

2.判斷下列各圖形中的角是不是弦切角，并說(shuō)明理由： （圖7-133）

由此發(fā)現(xiàn)，弦切角可分為三類：

（1）圓心在角的外部； （2）圓心在角的一邊上； （3）圓心在角的內(nèi)部.

3、那么弦切角都有哪些性質(zhì)呢？（提出問(wèn)題學(xué)生思考）

（二）自學(xué)、探究

1.當(dāng)弦切角一邊通過(guò)圓心時(shí)，（如圖7-135）

（1）弦切角∠CAB是多少度？為什么？

（2）∠CAB所夾弧所對(duì)的圓周角∠D是多少度？為什么？

（3）此時(shí)，弦切角與它所夾弧所對(duì)的圓周角有什么關(guān)系？

觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)，此時(shí)弦切角與其所夾弧所對(duì)的圓周角都是直角.

2.以A為端點(diǎn).旋轉(zhuǎn)AC邊，使弦切角增大或減小，觀察它與所夾弧所對(duì)圓周角之間的關(guān)系，猜想：弦切角是否等于它所夾的弧對(duì)的圓周角.（圖7-134）

（三）討論、解疑

1.回憶聯(lián)想，成果展示：

（1）圓周角定理的證明采用了什么方法？

（2）既然弦切角可由圓周角演變而來(lái)，那么上述猜想是否可用類似的方法來(lái)證明呢？

2.前面證明了特殊情況，下面考慮圓心在弦切角的外部和內(nèi)部?jī)煞N情況.討論：怎樣將一般情況的證明轉(zhuǎn)化為特殊情況。如7-136（1），圓心O在∠CAB外，作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ，則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠AP.

如圖7-136（2），圓心O在∠CAB內(nèi)，作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ，

則∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC. 你能寫(xiě)出完整的證明過(guò)程嗎？

（注：學(xué)生討論、給出觀點(diǎn)、達(dá)成一致，最終寫(xiě)出完整過(guò)程并展示。）

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角.

3.看書(shū)并思考：課本上關(guān)于定理的證明與我們現(xiàn)在的證明方法有何異同？

（四）反饋、總結(jié)

1.課本 例1（學(xué)生自學(xué)，需要時(shí)教師點(diǎn)撥）

2.思路點(diǎn)撥：思路一：要證∠BAC=∠CAD，可證這兩角所在的直角三角形相似，于是連結(jié)BC，得Rt△ACB，只需證∠ACD=∠B.（圖7-139）

證明：（學(xué)生自己完成證明）

思路二：連結(jié)OC，由切線性質(zhì)，可得OC∥AD，于是有∠1=∠3，又由于∠1=∠2，可證得結(jié)論.（圖7-140）

思路三：過(guò)C作CF⊥AB，交⊙O于F，連結(jié)AF.由垂徑定理可知∠1=∠3，又根據(jù)弦切角定理有∠2=∠1，于是∠2=∠3，進(jìn)而可證明結(jié)論成立.（圖7-141）

3.小結(jié)

①知識(shí)收獲

②方法收獲

③思維收獲

總結(jié)：① 在證明弦切角定理時(shí)，我們是從特殊情況入手，通過(guò)猜想、分析、證明和歸納，從而證明了弦切角定理.通過(guò)弦切角概念的引入和定理的證明過(guò)程，逐步學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)觀察問(wèn)題，進(jìn)而理解從一般到特殊，從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律.（讓學(xué)生通過(guò)回顧，總結(jié)，得出如7-144的結(jié)構(gòu)圖）

②學(xué)習(xí)了分類討論的思想和完全歸納的證明方法.在這里一定要注意為什么要對(duì)弦切角進(jìn)行分類和如何進(jìn)行分類. ③弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角.

（注：小結(jié)可讓學(xué)生暢談收獲，與他人共分享，從學(xué)習(xí)中獲得成就和樂(lè)趣。）

三、課后鞏固設(shè)計(jì)

（一）練習(xí)

必做：1.課本P34 1

2.如圖7-142，AB為⊙O的直徑，直線EF切⊙O于C，若∠BAC=56°，則∠ECA= 度. （口答）

3.AB切⊙O于A點(diǎn)，圓周被AC所分成的優(yōu)弧與劣弧之比為3∶1，則夾劣弧的弦切角∠BAC= .

選作：創(chuàng)設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

（二）作業(yè)

必做：課本 P34 2

選作：如圖7-138，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若AB=AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等？為什么？分析，由于AB和AC分別是兩個(gè)弦切角∠DAB和∠EAC所夾的弧，而AB和AC.連結(jié)B，C，易證∠B=∠C.于是得到∠DAB=∠EAC.（通過(guò)此題你能得出什么結(jié)論呢？）

推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等.

（三）課后筆記及糾錯(cuò)

（注：練習(xí)和作業(yè)的設(shè)計(jì)應(yīng)因材施教，針對(duì)不同的學(xué)生應(yīng)有不同的要求，必要時(shí)可以分層次備選適量的題。）

這節(jié)課筆者在A、B兩個(gè)層次的班級(jí)進(jìn)行了教學(xué)，從教學(xué)效果上來(lái)看，學(xué)生反應(yīng)都不錯(cuò)，課堂氣氛活躍、和諧，不同的學(xué)生在自己已有的基礎(chǔ)上都有不同程度的收獲，學(xué)有所獲。而且，學(xué)生的學(xué)是主動(dòng)的有目的的，一節(jié)課下來(lái)收獲不小，成就感油然而生。

值得一提的是，本節(jié)課從初高中知識(shí)的聯(lián)系入手，讓學(xué)生能循序漸進(jìn)，充分參與，學(xué)有所用，使學(xué)生真正成為課堂的主人，這是值得肯定和堅(jiān)持的，可見(jiàn)，把握知識(shí)聯(lián)系方能備出一節(jié)好課，從而提高課堂效率。筆者認(rèn)為這也是我們每個(gè)老師今后課堂教學(xué)應(yīng)該注意和完善的一個(gè)方向。

說(shuō)明：設(shè)計(jì)中括弧中的黑體字部分是筆者的所思所做，在學(xué)生的學(xué)案中是不出現(xiàn)的。

參考文獻(xiàn)：

[1]人教A版數(shù)學(xué)選修4-1幾何證明選講

[2]華東師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)