摘 要：《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是繼人教A版必修二“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”之后又一二次曲線的實(shí)例，也是運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的又一次實(shí)際演練，同時(shí)還是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)以及雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)，它的學(xué)習(xí)方法將會(huì)對(duì)這一章起到導(dǎo)向和引領(lǐng)的作用，因此作者在教學(xué)中應(yīng)用到了視頻動(dòng)畫文件、幾何畫板軟件、PPT演示文稿等信息技術(shù)，生動(dòng)地展示了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的生成過(guò)程，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)探究興趣。

關(guān)鍵詞：橢圓；定義；標(biāo)準(zhǔn)方程；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2017-12-03

作者簡(jiǎn)介：程統(tǒng)卓（1989—），男，甘肅莊浪人，二級(jí)教師，本科，研究方向：高中數(shù)學(xué)課程與教學(xué)。

一、課程內(nèi)容分析

（1）新課程標(biāo)準(zhǔn)和考試大綱對(duì)本課程內(nèi)容的要求為：了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程；理解數(shù)形結(jié)合的思想。

（2）本課內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位：《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是繼必修二“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”之后又一二次曲線的實(shí)例，也是運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的又一次實(shí)際演練，同時(shí)它還是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)以及雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)，它的學(xué)習(xí)方法將會(huì)對(duì)這一章起到導(dǎo)向和引領(lǐng)的作用。

二、教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：理解橢圓的定義；掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；會(huì)根據(jù)條件寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；能用標(biāo)準(zhǔn)方程判定所研究的圖形是否為橢圓。

（2）過(guò)程與方法：通過(guò)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法；在相互交流、合作探究的學(xué)習(xí)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生合理表述、科學(xué)探究、規(guī)范總結(jié)的思維習(xí)慣，提高學(xué)生的推理能力和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力。

（3）情感、態(tài)度和價(jià)值觀：通過(guò)合作探究、相互交流，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的趣味性和嚴(yán)謹(jǐn)性；通過(guò)作圖感受探索的樂(lè)趣與成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)生的求知欲和自信心，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，讓學(xué)生逐步體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和科學(xué)價(jià)值。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與應(yīng)用。

四、教法與學(xué)法

教學(xué)方法：從實(shí)踐到理論，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生獲得橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，并在例題和練習(xí)配套下進(jìn)行知識(shí)的應(yīng)用。

學(xué)法指導(dǎo)：①提供探究、思考的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生多思考、多總結(jié)；②提供表達(dá)、交流的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生敢想敢說(shuō)，設(shè)置問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生勤思考、勤交流。

五、教學(xué)過(guò)程

1.情景引入

師：“同學(xué)們平時(shí)看新聞嗎？估計(jì)學(xué)習(xí)忙，看得少，老師看新聞的時(shí)候留心搜集了一段視頻，我們一起來(lái)看看。”（播放“嫦娥三號(hào)”環(huán)月變軌的視頻）

師：“‘嫦娥三號(hào)的運(yùn)行軌道是橢圓軌道，‘橢圓在我們生活中常見嗎？老師搜集了一些照片，一起看看。（PPT演示橢圓圖片）那么，接下來(lái)我們一起來(lái)研究橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程?！?/p>

2.講授新課

（1）親手體驗(yàn)：（用工具畫橢圓）取一條定長(zhǎng)且沒有彈性的細(xì)繩，在圖紙上任取兩點(diǎn)，將繩子的兩端拉開一段距離，分別固定在圖紙的兩點(diǎn)處，套上筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，看看筆尖畫出的軌跡是什么曲線。教師提示同學(xué)們畫橢圓，會(huì)出現(xiàn)以下三種實(shí)驗(yàn)情況：①繩長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間的距離；②繩長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)間的距離 ；③繩長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)間的距離。（引導(dǎo)分析每一種情況）

問(wèn)題1：對(duì)于第一種情況，形成的圖形是橢圓，在畫圖過(guò)程中哪些是不變的，哪些是變的？（兩定點(diǎn)的距離不變，繩長(zhǎng)不變，筆尖在動(dòng)）

問(wèn)題2：橢圓的定義該怎么下？（引導(dǎo)學(xué)生歸納出橢圓的定義）

（2）橢圓的定義：平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。記焦距為2c，常數(shù)為2a。

問(wèn)題3：你能否將橢圓定義的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言？

（3）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

問(wèn)題4：橢圓的方程怎么推導(dǎo)？可以類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程。（建系—設(shè)點(diǎn)—找關(guān)系式—列方程—化簡(jiǎn)）

問(wèn)題5：對(duì)于橢圓如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系呢？（選擇坐標(biāo)系追求對(duì)稱、簡(jiǎn)單、便于計(jì)算）（如圖1）

下面我們推導(dǎo)橢圓的方程：

解析：以經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xoy，設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，則F1、F2的坐標(biāo)分別是（-c，0）（c，0）。

得方程：

。

化簡(jiǎn)可得。

觀察圖2，你能從中找出表示a、c、的線段嗎？

令即b2=a2-c2，

則方程可化為。

我們把上式叫作橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它的焦點(diǎn)在x軸上。

問(wèn)題6：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，它的方程又是怎樣的呢？

焦點(diǎn)在x軸：由 ，

化簡(jiǎn)可得。

類比可得，焦點(diǎn)在y軸：由

化簡(jiǎn)可得

。

問(wèn)題7：以上兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，x、y哪個(gè)變量對(duì)應(yīng)的分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上。a、b、c三者中a最大，并且c2=a2-b2。（無(wú)論焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，a、b、c的關(guān)系是確定的）

3.例題講解與練習(xí)

練習(xí)：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)寫出a、b、c及焦點(diǎn)坐標(biāo)。

練習(xí)1：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0）（2，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，-），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。（板書解題過(guò)程，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生一題多解）

練習(xí)2：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，-1）（0，1），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，1），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。（先由學(xué)生自己完成，然后通過(guò)數(shù)碼展臺(tái)展示解題過(guò)程，及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范書寫）

4.作業(yè)設(shè)計(jì)

課本第49頁(yè)習(xí)題2.2A組第1～3題。

六、課后反思

本課由學(xué)生感興趣的衛(wèi)星運(yùn)行軌道引出橢圓，很有趣味性，然后通過(guò)橢圓工具畫橢圓圖形，讓學(xué)生感受到了橢圓的形成過(guò)程，最后通過(guò)直角坐標(biāo)系將幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，推導(dǎo)出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生感受到了數(shù)形結(jié)合的思想方法；通過(guò)引導(dǎo)講解，學(xué)生對(duì)于橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的產(chǎn)生過(guò)程比較明確，對(duì)于求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用也比較熟練，較好地完成了課前預(yù)設(shè)的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐章韜.面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)——基于數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的視角[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[2]方均斌.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例分析[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2012.