張雪潔 崔英豪 胡其志

（武昌工學(xué)院 武漢430065）

引言

當(dāng)房屋基礎(chǔ)由于水平作用突然發(fā)生移動(dòng)，上部由于慣性維持原來(lái)位置不變，導(dǎo)致建筑物沿高度分布水平力。林同炎［1］提出為保持平衡，必然會(huì)在基礎(chǔ)產(chǎn)生相反水平力，由此形成傾覆彎矩（M=Ha）。傾覆彎矩計(jì)算方法非常重要，影響結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)選取及結(jié)構(gòu)布置［2，3］。目前關(guān)于傾覆彎矩的規(guī)范要求均是針對(duì)普通結(jié)構(gòu)，掉層結(jié)構(gòu)由于不等高接地，受力特點(diǎn)異于常規(guī)結(jié)構(gòu)［4］，其傾覆問(wèn)題成為山地結(jié)構(gòu)研究體系必不可少的內(nèi)容。此外，掉層結(jié)構(gòu)研究多集中在框架結(jié)構(gòu)［5］，關(guān)于框剪結(jié)構(gòu)研究較少。本文首先分析山地掉層結(jié)構(gòu)傾覆穩(wěn)定的特殊性，進(jìn)而討論規(guī)范方法與力學(xué)方法計(jì)算山地框剪結(jié)構(gòu)傾覆彎矩的利弊，根據(jù)結(jié)果提出建議。

1 掉層結(jié)構(gòu)抗傾覆問(wèn)題

計(jì)算傾覆彎矩前提是確定傾覆點(diǎn)，趙耀［6］認(rèn)為掉層結(jié)構(gòu)在正向傾覆荷載作用下，下接地部位為計(jì)算傾覆點(diǎn)，在負(fù)向傾覆荷載作用下，上接地部位為計(jì)算傾覆點(diǎn)。當(dāng)結(jié)構(gòu)受正向傾覆荷載時(shí)，由于上接地有上抬趨勢(shì)，下接地側(cè)結(jié)構(gòu)對(duì)土體有受壓趨勢(shì)，受壓點(diǎn)必然在下接地側(cè)某點(diǎn)，同樣結(jié)構(gòu)受負(fù)向傾覆荷載作用時(shí)，下接地側(cè)有上抬趨勢(shì)，上接地側(cè)對(duì)土體有受壓趨勢(shì)，結(jié)構(gòu)與地基接地點(diǎn)必然在上接地部分中某點(diǎn)，為方便計(jì)算，將傾覆點(diǎn)分別取為各自端點(diǎn)，如圖1a中的下接地側(cè)A點(diǎn)與圖1b中上接地側(cè)B點(diǎn)。

圖1 荷載作用下結(jié)構(gòu)受力Fig.1 Structural illustration under force

1.1 掉層結(jié)構(gòu)傾覆彎矩

結(jié)構(gòu)正負(fù)向傾覆彎矩表達(dá)式：

式中：M0v為結(jié)構(gòu)整體傾覆彎矩；Pi為水平側(cè)向力；Hi為水平側(cè)向力與計(jì)算傾覆點(diǎn)的距離；Ea為掉層結(jié)構(gòu)掉層部分樓層承受的主動(dòng)土壓力；Ep為掉層結(jié)構(gòu)掉層部分樓層承受的被動(dòng)土壓力；h1為主動(dòng)土壓力合力點(diǎn)到下接地面的垂直距離；h2為被動(dòng)土壓力合力點(diǎn)到下接地面的垂直距離；hd為掉層結(jié)構(gòu)掉層部分高度；Vt0、Vb0為上、下接地部分剪力。

不考慮土壓力，結(jié)構(gòu)在單個(gè)正負(fù)向相同荷載作用下，由式（3）可得正負(fù)向傾覆彎矩相同。當(dāng)多個(gè)外荷載作用時(shí)，由力的疊加原理仍可得相同結(jié)果。

考慮土壓力，由式（4）可知，主動(dòng)土壓力Ea小于被動(dòng)土壓力Ep，主動(dòng)土壓力作用點(diǎn)距下接地距離h1和被動(dòng)土壓力作用點(diǎn)距下接地距離h2小于掉層高度hd的一半，即h1＜hd/2，hd-h2＞hd/2，因此正向傾覆彎矩小于負(fù)向傾覆彎矩。

1.2 掉層結(jié)構(gòu)抗傾覆彎矩

對(duì)于普通結(jié)構(gòu)，正負(fù)向抗傾覆彎矩相等，掉層結(jié)構(gòu)由于有兩個(gè)不同的接地端，其抗傾覆彎矩計(jì)算與普通結(jié)構(gòu)不同。圖2為掉層結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖。

圖2 抗傾覆彎矩計(jì)算示意Fig.2 Resist overturning moment calculation diagram

正向荷載作用，傾覆點(diǎn)在下接地層外側(cè)，抗傾覆彎矩為：

負(fù)向荷載作用，傾覆點(diǎn)在上接地面外側(cè)，抗傾覆彎矩為：

則不同傾覆點(diǎn)的抗傾覆彎矩之差為：

由式（7）可知，正負(fù)向荷載作用下，掉層結(jié)構(gòu)抗傾覆彎矩不相同，正向抗傾覆彎矩小于負(fù)向抗傾覆彎矩，而掉層結(jié)構(gòu)在不考慮土壓力時(shí)正負(fù)向傾覆彎矩相等，考慮土壓力時(shí)，正向傾覆彎矩小于負(fù)向傾覆彎矩。因此，對(duì)于掉層結(jié)構(gòu)，在正向傾覆荷載作用下，結(jié)構(gòu)處于更加危險(xiǎn)的狀態(tài)，結(jié)構(gòu)以正向傾覆荷載下抗傾覆計(jì)算為準(zhǔn)。

2 山地框剪結(jié)構(gòu)傾覆彎矩計(jì)算方法

已知明確的外力施加在結(jié)構(gòu)上，結(jié)構(gòu)傾覆彎矩可由外力容易求得，而實(shí)際多數(shù)情況下，只能求得外荷載作用在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的內(nèi)力，若將內(nèi)力換算為荷載不僅繁瑣，而且也難以確定荷載模式，這種方法不可取，所以傾覆彎矩一般以結(jié)構(gòu)內(nèi)力形式表達(dá)。

2.1 抗規(guī)方法計(jì)算

《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011-2010）中6.1.3條指出框架抗震墻結(jié)構(gòu)中框架結(jié)構(gòu)承受的地震傾覆力矩可按：

規(guī)范方法是簡(jiǎn)化方法，傾覆彎矩由內(nèi)力值表達(dá)，其普遍適用于常規(guī)結(jié)構(gòu)。掉層結(jié)構(gòu)由于自身特殊性，需建立模型對(duì)式（8）加以推導(dǎo)。若將地震力等效為靜力作用于每個(gè)樓層上，則每個(gè)樓層都將受到集中荷載作用。建立一掉4層3跨模型，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖3所示，①、②等表示桿件編號(hào)，P1、P2、P3、P4表示從上到下作用在樓層上的集中力，Vij表示第j個(gè)作用力在第i個(gè)桿件產(chǎn)生的剪力。

圖3 抗規(guī)方法計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.3 Seismic code method calculation model diagram

P1、P2、P3、P4單獨(dú)作用時(shí)，桿件內(nèi)力關(guān)系見(jiàn)式（9）～式（12）：

可得各集中力與桿件剪力的關(guān)系如下：

結(jié)構(gòu)傾覆彎矩可表示為：

由以上推導(dǎo)可知，掉層結(jié)構(gòu)可采用抗規(guī)計(jì)算方法，即將各層剪力與層高的乘積累加作為掉層結(jié)構(gòu)傾覆力矩。

2.2 力學(xué)方法計(jì)算

關(guān)于傾覆彎矩計(jì)算方法，除了規(guī)范方法，還有按柱底軸力計(jì)算的方法，需要先確定底部各桿件軸力的合力作用點(diǎn)。計(jì)算方法為：

其中：x0為x向合力作用點(diǎn)；Ni為x向規(guī)定水平力下各構(gòu)件軸力；xi為墻柱或柱x向中心點(diǎn)坐標(biāo)。

則框架柱和墻承擔(dān)的傾覆力矩為：

框剪結(jié)構(gòu)看作整體，基底任意位置作為取矩點(diǎn)，式（19）計(jì)算的傾覆彎矩必為定值，即為外力合力矩。山地框剪結(jié)構(gòu)有兩個(gè)不同接地端，采用式（19）計(jì)算傾覆彎矩時(shí)，將其視為整體，取接地構(gòu)件軸力和彎矩進(jìn)行計(jì)算。

2.3 算例分析

對(duì)比規(guī)范方法與力學(xué)方法對(duì)計(jì)算山地框剪結(jié)構(gòu)傾覆彎矩的差異，建立如圖4所示模型，其中剪力墻長(zhǎng)均為3m，共D-5-4、D-3-3、D-1-2三個(gè)模型，取C軸進(jìn)行研究，部分立面圖見(jiàn)圖5a為掉一層一跨，用D-1-1表示，圖5b掉五層四跨，用D-5-4表示。模型跨度6m，層高3.6m，框架墻、柱混凝土C40，梁混凝土C30，鋼筋HRB400，樓板厚度100mm，梁截面250mm×500mm，柱截面600mm×600mm，剪力墻厚度為250mm，總層數(shù)為15層，縱向6跨，橫向4跨。

圖4 結(jié)構(gòu)布置平面示意Fig.4 Structure layout plan

圖5 C軸部分模型立面示意Fig.5 Elevation drawing for axis C

在各節(jié)點(diǎn)分別施加逐層增大50kN倒三角荷載，100kN均布荷載以及頂層節(jié)點(diǎn)1000kN集中荷載，結(jié)果見(jiàn)表1～表3，限于篇幅，表2和表3只給出最終結(jié)果?？梢钥闯?，力學(xué)方法計(jì)算結(jié)果比抗規(guī)方法略大，但二者誤差均未超過(guò)1%，可認(rèn)為兩種計(jì)算方法結(jié)果基本相同。同時(shí)也說(shuō)明抗規(guī)方法雖是簡(jiǎn)化方法，但結(jié)構(gòu)作為整體來(lái)計(jì)算基底傾覆彎矩時(shí)能取得滿意精度。

表1 D-5-4構(gòu)件軸力及彎矩（單位：kN）Tab.1 Axial force and bending moment of D-5-4 （unit：kN）

表2 D-3-3傾覆彎矩（單位：kN）Tab.2 Axial force and bending moment of D-3-3（unit：kN）

表3 D-1-2傾覆彎矩（單位：kN）Tab.3 Axial force and bending moment of D-1-2（unit：kN）

對(duì)于框剪結(jié)構(gòu)，底層框架承擔(dān)傾覆力矩計(jì)算的準(zhǔn)確性將對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)選取有較大影響，在普通框剪結(jié)構(gòu)中，已有研究表明力學(xué)方法計(jì)算框架承擔(dān)傾覆力矩比例大于抗規(guī)方法計(jì)算結(jié)果，因此對(duì)于山地框剪結(jié)構(gòu)需考慮這一問(wèn)題。表4即為三種不同荷載模式下兩種方法計(jì)算的結(jié)果，其中抗規(guī)方法結(jié)果為上接地層框架柱承擔(dān)的傾覆彎矩占本層傾覆彎矩的比例。對(duì)于山地框剪結(jié)構(gòu)，框架承擔(dān)的傾覆彎矩比例和普通框剪類似，均是力學(xué)方法計(jì)算結(jié)果大于抗規(guī)方法，但隨著掉層掉跨數(shù)增大，兩者差距出現(xiàn)減小趨勢(shì)。

從方法上講，力學(xué)方法以接地端構(gòu)件的軸力和彎矩來(lái)進(jìn)行計(jì)算，更加符合傾覆彎矩概念，但是對(duì)于合力點(diǎn)選取需進(jìn)一步探究，合力點(diǎn)計(jì)算位置不同，框架承擔(dān)的比例也會(huì)不同。我國(guó)抗規(guī)方法已沿用多年，且根據(jù)框架承受傾覆彎矩比例不同所采取的各種措施也是基于抗規(guī)方法確定的，但抗規(guī)方法是簡(jiǎn)化方法，忽略墻與樓板/梁的交接處存在較大彎矩的事實(shí)，低估了框架承擔(dān)的傾覆力矩。兩種方法各有利弊，設(shè)計(jì)人員應(yīng)根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)合理選擇。

表4 不同方法計(jì)算框架承擔(dān)傾覆彎矩比例Tab.4 Overturning moment ratio by frame with different methods

3 剪力計(jì)算方法

抗規(guī)方法目前仍是設(shè)計(jì)人員計(jì)算結(jié)構(gòu)傾覆彎矩最常用的方法。我國(guó)規(guī)范采用振型分解反應(yīng)譜法對(duì)結(jié)構(gòu)傾覆彎矩進(jìn)行計(jì)算，這必然涉及到剪力的計(jì)算問(wèn)題。剪力計(jì)算方法的準(zhǔn)確性對(duì)傾覆彎矩計(jì)算有較大影響。

3.1 常規(guī)結(jié)構(gòu)剪力計(jì)算方法

規(guī)范規(guī)定傾覆力矩計(jì)算采用規(guī)定水平力。關(guān)于規(guī)定水平力，我國(guó)規(guī)范中多處均有涉及，主要體現(xiàn)在抗規(guī)6.1.3條、高規(guī)8.1.3條。但對(duì)于框架剪力墻結(jié)構(gòu)，規(guī)定水平力如何計(jì)算一直以來(lái)是眾多學(xué)者討論的熱點(diǎn)。由于振型分解反應(yīng)譜法是采用各振型組合后的結(jié)果，因此組合的先后順序?qū)?huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不同。剪力計(jì)算如式（20）、式（21）所示：

式中：Vi表示第i階振型的層剪力；V為結(jié)構(gòu)的層剪力；Viw、Vir分別為第i階振型剪力墻和框架的剪力；Vw、Vr分別為振型組合后的剪力墻剪力和框架剪力。

由基本的數(shù)學(xué)知識(shí)可知，V≤Vw+Vr，即框剪結(jié)構(gòu)層剪力小于相應(yīng)樓層剪力墻和框架的剪力之和。式（20）表示振型組合之后的層間剪力，稱為組合剪力，而將式（21）兩式之和稱為求和剪力。

3.2 山地框剪結(jié)構(gòu)剪力計(jì)算方法

選取普通10層、15層框剪結(jié)構(gòu)，以及2.3節(jié)中掉五層四跨框剪模型D-5-4。采取振型分解反應(yīng)譜法，對(duì)比采用組合剪力、求和剪力計(jì)算的差異，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5。

表5 剪力計(jì)算方法對(duì)比（單位：kN）Tab.5 Comparison of shear calculation method （unit：kN）

由表5可知，在結(jié)構(gòu)底部，二者計(jì)算出層間剪力差別不大，在結(jié)構(gòu)上部尤其是結(jié)構(gòu)頂層，二者計(jì)算出剪力差別較大。這是因?yàn)閷?duì)于框剪結(jié)構(gòu)，在頂部會(huì)出現(xiàn)剪力墻位移相對(duì)較大的情況，隨著剪力墻和框架協(xié)調(diào)變形，會(huì)使框架受到反向作用力，與框架原有作用力疊加后會(huì)使剪力減小甚至為負(fù)值，此時(shí)按照式（20）相加之后，再進(jìn)行振型的組合后會(huì)使層剪力減小。而按照式（21）計(jì)算，先進(jìn)行振型組合，此時(shí)負(fù)值剪力經(jīng)平方和開(kāi)方后已變?yōu)檎怠Ｒ虼?，除了?jì)算方法本身原因，還要加上結(jié)構(gòu)頂部框架負(fù)向剪力組合順序問(wèn)題，使得在頂層兩種方法計(jì)算結(jié)果差距較大。

求和剪力大于組合剪力，則由求和剪力計(jì)算的傾覆彎矩必然會(huì)大于組合剪力計(jì)算的傾覆彎矩，而且剪力差距經(jīng)與層高乘積累加之后這種差距會(huì)增大，因此當(dāng)結(jié)構(gòu)層高越大時(shí)，這種差距會(huì)越明顯。為驗(yàn)證這一結(jié)論，圖6給出了求和剪力與組合剪力求得的各層傾覆彎矩之差。

圖6 兩種方法層傾覆彎矩之差Fig.6 Difference value between layer overturing moment by two methods

從圖6中可以看出，兩種方法計(jì)算的傾覆彎矩差異較明顯，而且這只是對(duì)結(jié)構(gòu)中某一軸線進(jìn)行分析，對(duì)于比較復(fù)雜的大型結(jié)構(gòu)，隨著構(gòu)件增多，兩種方法計(jì)算的傾覆彎矩必然差距更大，使用求和剪力偏安全，因此建議采用求和剪力來(lái)計(jì)算山地框架剪力墻結(jié)構(gòu)的傾覆力矩。

4 結(jié)論

1.在不同方向傾覆荷載作用下，掉層結(jié)構(gòu)傾覆計(jì)算點(diǎn)也不相同，不考慮土壓力時(shí)，正負(fù)向傾覆彎矩相同；考慮土壓力時(shí)，正向傾覆彎矩小于負(fù)向傾覆彎矩。

2.普通結(jié)構(gòu)正負(fù)向抗傾覆彎矩相同，而掉層結(jié)構(gòu)正向抗傾覆彎矩小于負(fù)向抗傾覆彎矩，抗傾覆彎矩的計(jì)算以正向?yàn)闇?zhǔn)，也就是以下接地外側(cè)的抗傾覆彎矩為準(zhǔn)。

3.當(dāng)結(jié)構(gòu)作為整體來(lái)計(jì)算基底傾覆力矩時(shí)，采用規(guī)范方法計(jì)算可行，但規(guī)范方法忽略了樓板/梁的交接處彎矩，低估了底層框架承擔(dān)的傾覆彎矩。

4.采取抗規(guī)方法計(jì)算傾覆彎矩涉及到剪力計(jì)算，對(duì)比了組合剪力與求和剪力計(jì)算結(jié)果，建議采用求和剪力來(lái)計(jì)算山地框剪結(jié)構(gòu)的傾覆彎矩。