郇鈺 趙琬迪

摘 要：知情交易概率PIN模型的極大似然估計(jì)，由于似然函數(shù)形式復(fù)雜，在最優(yōu)化過程中很容易出現(xiàn)計(jì)算溢出的問題。本文提出了PIN模型的廣義矩估計(jì)，并通過數(shù)值模擬比較了這一新方法和以往文獻(xiàn)提出的原始極大似然估計(jì)、改進(jìn)極大似然估計(jì)在不同情況下的估計(jì)精度。模擬結(jié)果表明，在某些情況下，廣義矩估計(jì)比極大似然估計(jì)更容易計(jì)算得出也更具有精度優(yōu)勢(shì)。本文還提出了用bootstrap方法對(duì)廣義矩估計(jì)結(jié)果進(jìn)行誤差修正，進(jìn)一步提高了廣義矩估計(jì)方法對(duì)于知情交易概率PIN的估計(jì)精度。

關(guān)鍵詞：知情交易概率；極大似然估計(jì)；廣義矩估計(jì)；bootstrap誤差修正

中圖分類號(hào)：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-2265（2018）04-0064-08

DOI：10.19647/j.cnki.37-1462/f.2018.04.010

在市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)理論中，由Easley等（1996）提出的知情交易概率的測(cè)度PIN模型（簡(jiǎn)稱EKOP模型）有十分重要的意義。這是第一個(gè)直接對(duì)知情交易程度進(jìn)行衡量的指標(biāo)，也是目前最具代表性、被研究者使用最廣泛的一類模型測(cè)度。知情交易概率（Probability of Informed Trading，簡(jiǎn)稱PIN）是指一次交易來自擁有私人信息的知情交易者的概率，也即，某資產(chǎn)來自知情交易者的交易占該資產(chǎn)全部交易的比重。可以認(rèn)為，PIN值越低，知情交易概率越低，說明該資產(chǎn)的信息不對(duì)稱程度越低。PIN理論一經(jīng)提出就受到了廣泛關(guān)注，常與金融實(shí)證領(lǐng)域的研究相結(jié)合。例如Easley等（1996）發(fā)現(xiàn)交易頻繁的股票和交易不頻繁股票之間買賣價(jià)差的差異可以用PIN來解釋。Easley等（2002）把PIN作為第四個(gè)定價(jià)因子加入Fama和French（1993）的三因子模型中進(jìn)行回歸，發(fā)現(xiàn)知情交易概率與價(jià)格顯著正相關(guān)，這說明知情交易概率越高，所要求的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償也越高，因此他們認(rèn)為PIN可以作為一種風(fēng)險(xiǎn)因子被定價(jià)。Duarte和Young（2009）檢驗(yàn)了PIN是否被信息不對(duì)稱或者流動(dòng)性因素定價(jià)等等。

同時(shí)，也有一些學(xué)者關(guān)注PIN模型本身的估計(jì)問題。Boehmer等 （2007）發(fā)現(xiàn)交易數(shù)據(jù)的買賣方向分類不準(zhǔn)確會(huì)造成PIN的低估。Easley等（2010）提出一種改進(jìn)的PIN 參數(shù)的似然函數(shù)，用來提高最優(yōu)化似然函數(shù)時(shí)的計(jì)算效率。Lin和Ke （2011）發(fā)現(xiàn)在數(shù)值計(jì)算PIN的極大似然估計(jì)時(shí)可能遇到非常嚴(yán)重的計(jì)算溢出問題，尤其是當(dāng)訂單數(shù)量特別大的時(shí)候，利用近幾年股票市場(chǎng)數(shù)據(jù)，他們發(fā)現(xiàn)大約有44%的PIN估計(jì)結(jié)果受到計(jì)算問題的影響。Yan和Zhang（2012）認(rèn)為在數(shù)值求解極大似然估計(jì)的時(shí)候，邊界解會(huì)造成PIN的估計(jì)偏差，并且認(rèn)為Easley 等（2010）提出的估計(jì)有系統(tǒng)性偏誤問題。

盡管有很多學(xué)者先后提出了改善上述PIN的極大似然估計(jì)計(jì)算問題的方法，但這些改進(jìn)思路仍然局限在極大似然估計(jì)的框架之下，無法根本解決因似然函數(shù)復(fù)雜性引起的問題。因此，本文提出采用另一種經(jīng)典計(jì)量方法—廣義矩估計(jì)來計(jì)算PIN的估值。從統(tǒng)計(jì)推斷的角度來說，廣義矩估計(jì)和極大似然估計(jì)都能得到一致的相合估計(jì)，盡管廣義矩估計(jì)只采用了分布的矩信息，但是在樣本足夠大的情況下，同樣是一致漸近正態(tài)的廣義矩估計(jì)也可以作為極大似然估計(jì)結(jié)果的有效補(bǔ)充。另外，在計(jì)算過程方面，廣義矩估計(jì)的計(jì)算過程更加簡(jiǎn)便快捷，無論在何種數(shù)據(jù)條件下，廣義矩估計(jì)方法都能得到估計(jì)結(jié)果，不會(huì)出現(xiàn)計(jì)算溢出問題，并且通過本文的數(shù)值模擬研究可以看出，在某些情況下，廣義矩估計(jì)的精度要明顯優(yōu)于極大似然估計(jì)的精度。另外，根據(jù)廣義矩估計(jì)的模擬性質(zhì)，本文還提出用bootstrap誤差修正方法進(jìn)一步提升廣義矩估計(jì)的估計(jì)精度。

一、EKOP模型及極大似然估計(jì)

（一）EKOP模型及知情交易概率PIN理論回顧

Easley等（1996）在Glosten和Milgrom（1985）的市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)理論模型基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展，開創(chuàng)性地提出了度量知情交易概率PIN的EKOP模型。該模型認(rèn)為在滿足某些假設(shè)條件的交易機(jī)制下，根據(jù)每個(gè)交易日買方發(fā)起的訂單數(shù)量和賣方發(fā)起的訂單數(shù)量，可以直接估計(jì)知情交易者提出交易的概率。

在市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)中，EKOP模型考慮了一種簡(jiǎn)單的序貫結(jié)構(gòu)的交易模型。定義[i=1，…，I]為I個(gè)交易日，每個(gè)交易日被認(rèn)為是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行交易過程，[t∈[0，T]]代表每個(gè)交易日內(nèi)的連續(xù)時(shí)刻。模型假設(shè)市場(chǎng)中存在潛在的知情交易者，他們和非知情交易者都與一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性且具有競(jìng)爭(zhēng)性的做市商進(jìn)行股票和資金的交易。對(duì)于任意一只股票來說，在每個(gè)交易日開始前，是否有決定資產(chǎn)價(jià)值的新消息產(chǎn)生是由概率[α]決定的。假設(shè)一天至多只有一個(gè)新消息產(chǎn)生，如果有新消息，該消息是利空消息的概率為[δ]，是利好消息的概率為1-[δ]。知情交易者可以提前知道消息，而非知情交易者和做市商只能觀察到股票價(jià)格。在有消息的交易日，當(dāng)知情交易者捕捉到利好消息時(shí)，他們會(huì)買進(jìn)；當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)是利空消息時(shí)，便會(huì)賣出。假設(shè)非知情交易者發(fā)起的買方訂單和賣方訂單，以及知情交易者發(fā)起的買賣訂單，均服從相互獨(dú)立的泊松過程。非知情交易者提交買方訂單的速率均為[εb]，提交賣方訂單的速率為[εs]。而知情交易者在有利好消息時(shí)提交買方訂單的速率和有利空消息時(shí)提交賣方訂單的速率均為[μ]。根據(jù)Easley等（2002）的研究，參數(shù)[εb]、[εs]和[μ]是日度速率。

圖1的樹形圖展示了任意股票在任意一天的交易過程。樹形圖的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表是否有消息發(fā)生。如果有消息發(fā)生，第二個(gè)節(jié)點(diǎn)代表是利好消息或是利空消息。在任意一天，虛線前的三個(gè)節(jié)點(diǎn)（利好消息、利空消息和沒有消息）發(fā)生的概率分別為[α（1-δ）]、 [αδ]和 [1-α]。為交易日選定某一個(gè)節(jié)點(diǎn)后，買賣訂單的到達(dá)分別服從相應(yīng)的泊松分布。在有利好消息的交易日，買方訂單的到達(dá)速率為[εb+μ]而賣方訂單的到達(dá)速率為[εs]；在有利空消息的交易日，買方訂單的到達(dá)速率為[εb]而賣方訂單的到達(dá)速率為[εs+μ]；在沒有信息的交易日，知情交易者無利可圖，不會(huì)參與到市場(chǎng)中，此時(shí)只有非知情交易者進(jìn)行交易，所以買賣訂單到達(dá)速率分別為[εb]和[εs]。

從而，知情交易概率PIN定義為

[PIN=αμαμ+εb+εs] （1）

式（1）中，[αμ+εb+εs]可以理解為全部訂單到達(dá)速率，[αμ]為知情交易訂單到達(dá)速率，因此PIN也可以理解成所有訂單中來自知情交易者的訂單所占的比率。

（二）PIN的極大似然估計(jì)

EKOP模型用一種二維混合泊松結(jié)構(gòu)的模型來表達(dá)上述交易機(jī)制，而在這個(gè)模型中，可以用每日買賣交易筆數(shù)數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)[θ=（α， δ， εb， εs， μ）]進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而通過式（1）得到PIN的估計(jì)。

如圖1，每一天買賣訂單的到來都只能服從三種二維泊松分布（利空消息、利好消息或者沒有消息）中的一種。雖然做市商和非知情交易者不知道當(dāng)天的交易情況具體是服從哪一種泊松分布，但是可以通過一天的交易數(shù)據(jù)挖掘出市場(chǎng)隱含的信息結(jié)構(gòu)。例如當(dāng)天如果買方發(fā)起交易越多，越有可能是有利好消息發(fā)生；而賣方發(fā)起交易越多，則越有可能是利空消息。反之，如果當(dāng)天沒有新消息，那么市場(chǎng)上不會(huì)有知情交易者參與，這一天的訂單量可能相對(duì)較少。如果用一個(gè)由三組二維泊松分布構(gòu)成的混合模型來描述這個(gè)過程，那么每種情況發(fā)生的概率應(yīng)該由混合模型中的權(quán)重系數(shù)來決定，因而可以在此基礎(chǔ)上構(gòu)造這個(gè)混合模型。

首先，假設(shè)在已知第i個(gè)交易日的信息情況下，構(gòu)造似然函數(shù)。如果這個(gè)交易日在開始前有利空消息放出，那么賣方發(fā)起訂單的到達(dá)速率為[εs+μ]，說明知情交易者和不知情交易者都會(huì)賣出；而買方發(fā)起訂單的速率為[εb]，因?yàn)橹挥胁恢榻灰渍卟艜?huì)買入。因此，在單位時(shí)間內(nèi)，觀測(cè)到了第i個(gè)交易日共有[Bi]筆買方發(fā)起訂單，[Si]筆賣方發(fā)起訂單，（[Bi]，[Si]）的似然函數(shù)為：

[e-εbεbBiBi！e-（εs+μ）（εs+μ）SiSi！] （2）

同理，如果是有利好消息的交易日，觀測(cè)到第i個(gè)交易日共有[Bi]筆買方發(fā)起訂單，[Si]筆賣方發(fā)起訂單的信息后，（[Bi]，[Si]）的似然函數(shù)為：

[e-（εb+μ）（εb+μ）BiBi！e-εsεsSiSi！] （3）

如果這一天沒有消息，（[Bi]，[Si]）的似然函數(shù)為：

[e-εbεbBiBi！e-εsεsSiSi！] （4）

實(shí)際上，交易日類型（利空消息、利好消息或者沒有消息）并不可知，因此可以將式（2）、（3）和（4）加權(quán)平均作為該交易日的似然函數(shù)，權(quán)重就是發(fā)生三種情況（利空消息、利好消息或者沒有消息）的相應(yīng)概率[（αδ，α1-δ，1-α）]。也就是說，在第i個(gè)交易日觀測(cè)到的交易數(shù)據(jù)（[Bi]，[Si]）的似然函數(shù)為：

[fBi，Si|θ=α1-δe-εb+εs+μ*εb+μBi*εsSiBi！Si！+αδe-εb+εs+μ*εbBi*εs+μSiBi！Si！+（1-α）e-εb+εs*εbBi*εsSiBi！Si！] （5）

因?yàn)榻灰兹罩g是獨(dú)立的，假設(shè)觀測(cè)到I天的交易數(shù)據(jù) [B=BiIi=1]和[S=SiIi=1]，則（B，S）的似然函數(shù)為：

[L（B，S|θ）=i=1If（Bi，Si|θ）] （6）

Easley等（2002）首先對(duì)參數(shù)[α]和[δ]進(jìn)行邏輯變換，對(duì)參數(shù) [εb]、[εs]和[μ]進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，從而使得所有參數(shù)在實(shí)數(shù)域上沒有限制， 接著使用quadratic hill-climbing算法來最大化似然函數(shù)（6）以求得參數(shù)[θ]的估計(jì)值，進(jìn)而得到PIN的估計(jì)值。本文將這種方法稱為原始的MLE方法。

正如前文提到的極大似然估計(jì)存在計(jì)算溢出問題，原始的MLE估計(jì)非常容易出現(xiàn)計(jì)算上溢或者下溢的錯(cuò)誤，特別是當(dāng)買賣訂單數(shù)量非常大的時(shí)候。為了緩解這個(gè)問題，Easley等（2010）提出了一種改進(jìn)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)，用于提高計(jì)算效率，降低計(jì)算問題出現(xiàn)的可能性。將式（6）取對(duì)數(shù)后，去掉常數(shù)項(xiàng)并進(jìn)行重排，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)，即：

[l（B，S|θ）=i=1I-εb-εs+Milnxb+lnxs+Bilnεb+μ+Silnεs+μ +i=1Iln [α1-δe-μx-MibxSi-Mis+αδe-μxBi-Mibx-Mis +（1-α）xBi-MibxSi-Mis]] （7）

其中，[Mi=min（Bi，Si）+max （Bi，Si）/2]，[xb=εb/（εb+μ）]

以及[xs=εs/（εs+μ）]。本文把極大化式（7）的方法稱為改進(jìn)的MLE方法。

然而，這種改進(jìn)對(duì)于運(yùn)算效率的提高，尤其對(duì)交易頻繁股票的運(yùn)算效率提高，是非常有限的。實(shí)際計(jì)算中仍然有很多情況無法得到參數(shù)[θ]的估計(jì)值，例如Lin和Ke（2011）發(fā)現(xiàn)即便是使用改進(jìn)的MLE方法，PIN的參數(shù)估計(jì)仍然會(huì)遇到計(jì)算溢出問題，同時(shí)在他們使用的股票數(shù)據(jù)中，大約有44%的PIN估計(jì)值存在低估的偏差，并且這種現(xiàn)象在交易活躍的股票樣本中更加明顯。Yan和Zhang（2012）發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的MLE估計(jì)方法經(jīng)常得到參數(shù)的邊界解，也就是說，[α]被估計(jì)為0或者1，這也會(huì)造成PIN估計(jì)值的巨大偏差。

二、廣義矩估計(jì)

為了避免前文提到的極大似然估計(jì)存在的各種問題，本文提出了用廣義矩估計(jì)方法來測(cè)度知情交易概率PIN。

按照EKOP模型的理論，單位時(shí)間內(nèi)累計(jì)買方發(fā)起訂單量B和賣方發(fā)起訂單量S的聯(lián)合分布（B，S）為混合的二維泊松分布：

[f（B=k，S=l）=α1-δe-εb+εs+μ*εb+μk*εslk！l！+αδe-εb+εs+μ*εbk*εs+μlk！l！+（1-α）e-εb+εs*εbk*εslk！l！] （8）

從而，B和S的邊際分布分別為混合的一維泊松分布：

[fB=k=l=0∞fB=k，S=l=1-α1-δ?εkbk！e-εb+α1-δ?εb+μkk！e-εb+μ] （9）

以及

[fS=l=l=0∞fB=k，S=l=1-αδ?εlsl！e-εs+αδ?εs+μll！e-εl+μ] （10）

進(jìn)而可以推出B和S的各階矩如下：

[EB+S=εb+εs+αμ] （11）

[VarB=εb+α1-δ[μ+（1-α1-δ）μ2]] （12）

[VarS=εs+αδ[μ+（1-αδ）μ2]] （13）

[CovB，S=-α2δ（1-δ）μ2] （14）

另外，還可以考慮

[EB2S=εb2+εbεb+αδμ+α1-δμεs（1+2εb+μ）]

（15）

[EBS2=εs2+εsεb+α（1-δ）μ+αδμεb（1+2εs+μ）]

（16）

利用式（11）—（16）這6個(gè)總體矩條件，可以對(duì)5個(gè)參數(shù)[θ=（α，δ，εb，εs，μ）]做廣義矩估計(jì)。用樣本矩代替總體矩，則樣本矩條件為：

[1Ii=1Ig（Bi，Si；θ）=1Ii=1IBi+Si-（εb+εs+αμ）（Bi-B）2-εb-α1-δ[μ+（1-α1-δ）μ2]（Si-S）2-εs-αδ[μ+（1-αδ）μ2]Bi-BSi-S+α2δ（1-δ）μ2Bi2Si-εb2+εbεb+αδμ-α1-δμεs（1+2εb+μ）BiSi2-εs2+εsεb+α1-δμ-αδμεb（1+2εs+μ）=0]

（17）

其中[B=1Ii=IBi]，[S=1Ii=ISi]為樣本均值。

由此，可以得到參數(shù)[θ=（α，δ，εb，εs，μ）]的廣義矩估計(jì)：

[θGMM=argminθ1Ii=1IgBi，Si；θ'W1Ii=1IgBi，Si；θ] （18）

其中[W]為權(quán)重矩陣。根據(jù)廣義矩估計(jì)的大樣本理論，選擇最優(yōu)權(quán)重矩陣[W] =[Ω-1]，能使廣義矩估計(jì)量[θGMM]最有效，這里[Ω]是樣本矩[I[1Ii=1IgBi，Si；θ]]的漸近協(xié)方差矩陣。

考慮到樣本矩條件[gBi，Si；θ]之間存在序列相關(guān)性，本文采用Newey和West（1987）提供的算法來估計(jì)[Ω]，具體為：[ΩNW=Ω0+k=1MT（1-k/（MT+1））（Ωk+Ω'k）]，是采用Bartlett核函數(shù)，窗寬[MT=[T1/3]]的Newey-West協(xié)方差矩陣估計(jì)，這里T為樣本容量，[Ωk]，k=0，…，[MT]為第k階樣本自協(xié)方差矩陣。

三、數(shù)值模擬

本文通過數(shù)值模擬的方法比較了原始的極大似然估計(jì)（簡(jiǎn)記為MLE1）、改進(jìn)的極大似然估計(jì)（簡(jiǎn)記為MLE2）和廣義矩估計(jì)（GMM）三種方法對(duì)PIN的估計(jì)效果。首先考慮上述三種PIN模型估計(jì)方法在不同樣本量、不同參數(shù)設(shè)置下的均方根誤差。其次，進(jìn)一步給出了三種估計(jì)的均方根誤差和偏差隨著知情交易者提交訂單的速率[μ]及非知情交易者提交訂單的速率[ε]變化的表現(xiàn)（這里，不失一般性地，令[εb=εs=ε]，該假設(shè)亦符合Easley等（1998）提供的實(shí)證結(jié)果）。

（一）估計(jì)誤差的比較

本節(jié)的模擬設(shè)置如下：在一次模擬過程中，為了產(chǎn)生每個(gè)交易日買賣訂單量（[Bi]，[Si]）的數(shù)據(jù)，需設(shè)定參數(shù)真值[θ=（α， δ， ε， μ）]，其中，[α]=0.37和[δ]=0.70為均勻分布產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，[ε]分別取區(qū)間[0，1]、[10，100]、[100，200]和[200，300]內(nèi)的均勻分布隨機(jī)數(shù)，而[μ]/[ε]分別設(shè)為0.5、1和1.5，由式（1）計(jì)算，得到真實(shí)值PIN。而（[Bi]，[Si]）服從式（5）的二維混合泊松分布，由此分布模擬生成連續(xù)I個(gè)交易日的交易數(shù)據(jù)[B=BiIi=1]和[S=SiIi=1]，其中樣本量I的取值分別為21、63、126和252，分別代表一個(gè)月、一季度、半年和一年的交易天數(shù)。本文的模擬次數(shù)N=1000次。

根據(jù)模擬生成的數(shù)據(jù)集（[B]，[S]），可以計(jì)算得到PIN模型的三種估計(jì)（MLE1，MLE2和GMM）。 表1給出了三種估計(jì)在不同參數(shù)設(shè)置和不同樣本量大小下的均方根誤差比較，Panel A—D分別代表隨機(jī)抽取的參數(shù)[ε]=0.5751、22.304、172和281的模擬結(jié)果?？傮w來看，隨著[ε]的逐漸增大或者樣本量I的變大，三種估計(jì)方法的均方根誤差幾乎呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，只是在不同的參數(shù)設(shè)定場(chǎng)景下，三種方法誤差減小的程度不盡相同。而對(duì)每一行，隨著[μ]/[ε]比值設(shè)定逐步擴(kuò)大，Panel A的情況是三個(gè)方法均方根誤差均逐漸減小，Panel B的情況是先降后升，而Panel C和Panel D的情況是幾乎逐步增大。對(duì)表1進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，在[ε]取值較小時(shí)（0.5751和22.304），MLE1估計(jì)和MLE2估計(jì)的均方根誤差區(qū)別不大，而此時(shí)GMM估計(jì)的誤差略高于其他兩種方法。而當(dāng)[ε]取值較大時(shí)（172和281），MLE1估計(jì)誤差明顯高于MLE2估計(jì)，并且隨著[μ]/[ε]增加，樣本量I增加，二者之間的差別愈發(fā)明顯。例如[μ]/[ε]=0.5、I=21時(shí)，MLE1的均方根誤差僅比MLE2的高1.8%，而在[μ]/[ε]=1.5、I=252情況下，MLE1的均方根誤差比MLE2的高約6倍，同時(shí)在[ε]取值較大時(shí)，GMM估計(jì)的優(yōu)勢(shì)逐漸顯現(xiàn)出來，尤其是樣本量I逐漸增大，或者固定[ε]，[μ]/[ε]逐步增大，GMM的估計(jì)精度明顯優(yōu)于MLE1的精度。

（二）估計(jì)誤差隨[ε]及[μ]的變化

表1中的結(jié)果表明，三種方法的估計(jì)效果可能和[μ]與[ε]的相對(duì)大小以及樣本量I均有關(guān)系。為了更加直觀地比較并展示三種PIN估計(jì)的性質(zhì)，圖2給出了在不同樣本量I的設(shè)定下，當(dāng)[μ]/[ε=0.2，0.4，…，2]時(shí)，三種估計(jì)的均方根誤差隨著[μ]/[ε]變化的情形。而圖3則是在不同樣本量I的設(shè)定下三種估計(jì)的偏差隨著[μ]/[ε]變化的情形。這里，其他的參數(shù)真值分別設(shè)為[α]=0.37，[δ]=0.70，[ε]=281。

從圖2中可以看出，無論樣本量I如何選定，平均而言，當(dāng)[μ]相對(duì)于[ε]很小的時(shí)候，MLE1的均方根誤差近似MLE2的均方根誤差，二者都優(yōu)于GMM的誤差；隨著[μ]的增加，MLE1 估計(jì)的精度逐漸變差，而GMM估計(jì)的誤差呈下降趨勢(shì)，尤其是在[μ]/[ε]>1后，MLE1的估計(jì)誤差上升趨勢(shì)明顯增大，且大于GMM的估計(jì)誤差，說明此時(shí)MLE1估計(jì)不再具有優(yōu)勢(shì)，而GMM 的估計(jì)誤差逐漸回落，接近MLE2的值。另外，隨著樣本量I的設(shè)定增大，GMM估計(jì)均方根誤差會(huì)更迅速且更緊密地靠近MLE2估計(jì)的均方根誤差，當(dāng)I=126時(shí)，GMM的均方根誤差除了在[μ]/[ε]=0.2時(shí)顯著大于MLE2的均方根誤差外，其他情況下都非常接近MLE2的結(jié)果；而當(dāng)I=252時(shí)，GMM的均方根誤差幾乎從一開始就已經(jīng)非常近似于MLE2的均方根誤差。

圖3給出的信息同樣能夠得到同圖2類似的結(jié)論。首先，MLE2估計(jì)的偏差基本在0水平線附近，波動(dòng)很小，可以認(rèn)為MLE2估計(jì)此時(shí)比較理想。而MLE1估計(jì)的偏差，在[μ]相比于[ε]比較小時(shí)，與MLE2的偏差很接近，但隨著[μ]增大，MLE1估計(jì)會(huì)出現(xiàn)非常嚴(yán)重的負(fù)向偏差（I=21時(shí)，MLE1的負(fù)向走勢(shì)大約從[μ]/[ε]=0.6開始；而當(dāng)I=252時(shí)，MLE1的負(fù)向走勢(shì)推遲到從[μ]/[ε]=1.2開始），說明MLE1存在低估問題，尤其是在樣本量I比較小或者[μ]/[ε]較大時(shí)。GMM估計(jì)在[μ]/[ε]很小且I也較小時(shí)，會(huì)有較明顯的正向偏差，但是在[μ]/[ε]>0.4或者I=252后，GMM估計(jì)的偏差幾乎為0，GMM與MLE2的偏差曲線幾乎重疊。

四、采用bootstrap誤差修正的廣義矩估計(jì)

從圖2和圖3中可以看出，在[μ]/[ε]取值較小時(shí)，GMM估計(jì)結(jié)果的均方根誤差以及偏差都相對(duì)較大，盡管這個(gè)現(xiàn)象隨著樣本量I的增加有明顯緩解，但考慮到實(shí)證分析中，案例時(shí)間窗口的長(zhǎng)度要根據(jù)具體問題加以選擇，并不一定能保證I等于或者超過252天，因此本文進(jìn)一步提出了在廣義矩估計(jì)的基礎(chǔ)上使用bootstrap方法對(duì)模型進(jìn)行誤差修正，以期得到更加精確的結(jié)果。

用bootstrap方法對(duì)廣義矩估計(jì)結(jié)果進(jìn)行偏差修正在學(xué)術(shù)界已有廣泛的應(yīng)用，例如Efron和Gong（1983）、Ramalho（2006）的研究。本文提供的思路是在得到廣義矩估計(jì)結(jié)果[θGMM]和[PINGMM]后，以參數(shù)的估計(jì)值[θGMM]為真值，使用蒙特卡洛方法再次生成K組模擬數(shù)據(jù)[（Bk，Sk）]，k=1，…，K，對(duì)每組模擬數(shù)據(jù)[（Bk，Sk）]再使用廣義矩估計(jì)算法得到PIN的估計(jì)值[PINk]，從而可以得到偏差的估計(jì)值[bias=1Kk=1KPINk-PINGMM]。以此對(duì)原本的廣義矩估計(jì)[PINGMM]進(jìn)行偏差修正，得到誤差修正后的GMM估計(jì)值：

[PINadjGMM=PINGMM-bias=2PINGMM-1Kk=1KPINk] （19）

然而，因?yàn)橹榻灰赘怕蔖IN[∈[0，1]]，式（19）有可能得到超出[0，1]范圍的估計(jì)結(jié)果，對(duì)于這種情況，則保留原有的GMM估計(jì)結(jié)果[PINGMM]。

表2展示了使用上述bootstrap方法進(jìn)行誤差修正前后的GMM估計(jì)結(jié)果的對(duì)比。本節(jié)仍采用模擬研究的方法，對(duì)比兩種估計(jì)的均方根誤差和偏差。這里，真實(shí)的參數(shù)設(shè)定為[α=0.37]，[δ=0.70]，[εb=εs=ε=281]，

[μ]/[ε]依次取值0.5、1、1.5和2，Panel A—D分別代表樣本量I=21、63、126和252的模擬結(jié)果。而bootstrap步驟中自抽樣次數(shù)設(shè)為K=100次。

根據(jù)表2展示的結(jié)果，除了Panel A的第一列（I=21，[μ]/[ε]=0.5）情況以外，隨著[μ]/[ε]擴(kuò)大，修正前后的GMM估計(jì)均方根誤差都逐漸增大，而偏差通常也是在[μ]/[ε=0.5]的時(shí)候最低（Panel A除外）。但無論總體的變化趨勢(shì)如何，誤差修正后的GMM估計(jì)的絕對(duì)偏差和均方根誤差都始終比沒有誤差修正的GMM估計(jì)要小，可見bootstrap誤差修正方法的確能夠改善GMM估計(jì)的精度。

五、結(jié)論

本文提出了關(guān)于EKOP模型知情交易概率PIN的廣義矩估計(jì)方法，并且通過隨機(jī)模擬的結(jié)果說明在交易天數(shù)I較大，買賣訂單數(shù)（B，S）較大（即訂單到達(dá)速率參數(shù)[ε]和[μ]較大），以及知情交易者提交訂單的速率[μ]相比于非知情交易者提交訂單的速率[ε]較大時(shí)，廣義矩估計(jì)比極大似然估計(jì)更容易計(jì)算得出，也更具有精度優(yōu)勢(shì)。同時(shí)，本文提出用bootstrap方法對(duì)廣義矩估計(jì)結(jié)果進(jìn)行誤差修正，通過數(shù)值模擬結(jié)果說明，修正后的GMM在均方根誤差和偏差兩方面都有明顯的改善，進(jìn)一步提高了廣義矩估計(jì)方法對(duì)于知情交易概率PIN的估計(jì)精度。本文的方法和結(jié)論對(duì)于知情交易概率PIN的測(cè)度提供了有效的方法補(bǔ)充，當(dāng)PIN的極大似然估計(jì)受到計(jì)算溢出問題影響時(shí)，bootstrap誤差修正后的廣義矩估計(jì)是一種便捷快速、不受數(shù)據(jù)量大小限制的估計(jì)方式，對(duì)后續(xù)金融實(shí)證研究有非常重要的幫助作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]Boehmer E，Grammig J，Theissen E. 2007. Estimating the probability of informed trading—does trade misclassification matter？[J].Journal of Financial Markets，10（1）.

[2]Duarte J，Young L. 2009. Why is PIN priced？[J].Journal of Financial Economics，91（2）.

[3]Easley D，Hvidkjaer S，O'Hara M. 2002. Is Information Risk a Determinant of Asset Returns？[J].The Journal of Finance，57（5）.

[4]Easley D， Hvidkjaer S，OHara M. 2010. Factoring Information into Returns[J].Journal of Financial and Quantitative Analysis，45（2）.

[5]Easley D， Kiefer N M， O'Hara M et al. 1996. Liquidity，Information， and Infrequently Traded Stocks[J]. The Journal of Finance，51（4）.

[6]Easley D，O'Hara M，Paperman J. 1998. Financial analysts and information-based trade[J].Journal of Financial Markets，1（2）.

[7]Efron B，Gong G. 1983. A Leisurely Look at the Bootstrap，the Jackknife，and Cross-Validation[J].The American Statistician，37（1）.

[8]Fama E F，F(xiàn)rench K R. 1993. Common risk factors in the returns on stocks and bonds[J].Journal of Financial Economics，33（1）.

[9]Glosten L R，Milgrom P R. 1985. Bid，ask and transaction prices in a specialist market with heterogeneously informed traders[J].Journal of Financial Economics，14（1）.

[10]Newey W K，West K D. 1987. A Simple， Positive Semi-Definite， Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix[J].Econometrica，55（3）.

[11]Ramalho J J S. 2006. Bootstrap bias-adjusted GMM estimators[J].Economics Letters，92（1）.

[12]William Lin H-W， Ke W-C. 2011. A computing bias in estimating the probability of informed trading[J]. Journal of Financial Markets，14（4）.

[13]Yan Y，Zhang S. 2012. An improved estimation method and empirical properties of the probability of informed trading[J].Journal of Banking & Finance，36（2）.