王 嫻， 李 東

(重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331)

0 引 言

近年來的研究發(fā)現(xiàn)大部分整數(shù)階混沌系統(tǒng)的階數(shù)調(diào)整為分?jǐn)?shù)階時(shí)，系統(tǒng)仍具有混沌行為，且能更好地描述各類復(fù)雜力學(xué)和物理行為，如分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)[1]、分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)[2]、分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)[3]、分?jǐn)?shù)階Lü系統(tǒng)[4]等。

縱觀已有的分?jǐn)?shù)階混沌控制同步方案，絕大多數(shù)都是建立在連續(xù)控制基礎(chǔ)之上的。如主動(dòng)滑膜控制法、反饋控制法、模糊控制法、自適應(yīng)法[5]、脈沖同步[6]等。而間歇控制同步是一種較為重要的不連續(xù)同步方法，與脈沖同步有著一定的相似性。間歇控制可根據(jù)控制器是否工作將每個(gè)時(shí)間段分為“工作時(shí)間”和“休息時(shí)間”。當(dāng)工作時(shí)間趨于一個(gè)點(diǎn)時(shí)，間歇控制就變成了脈沖控制；而當(dāng)休息時(shí)間趨于零時(shí)，間歇控制就變成了連續(xù)控制。因此間歇控制同步方法更具有研究意義。目前，間歇控制在整數(shù)階混沌系統(tǒng)中已取得了一定的成果，文獻(xiàn)[7]首次提出了一種新的混沌控制方法—間歇控制法，并從理論上驗(yàn)證了方法的可行性。文獻(xiàn)[8]詳細(xì)討論了間歇反饋對(duì)時(shí)滯混沌系統(tǒng)的控制問題，數(shù)值模擬驗(yàn)證了方法的有效性。在文獻(xiàn)[9]將間歇方法應(yīng)用于時(shí)延復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，是間歇控制方法向?qū)嶋H應(yīng)用的推廣。但由于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性，間歇控制同步在分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)及在實(shí)際中的應(yīng)用還需要去完善。

通過對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)間歇控制同步的研究，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論構(gòu)造合適的控制器得到其間歇控制同步穩(wěn)定性的判定，并依此判定對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)進(jìn)行間歇控制同步研究。運(yùn)用Matlab軟件繪制分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)的狀態(tài)圖和相圖，以及同步誤差系統(tǒng)的狀態(tài)圖，以驗(yàn)證方法的可行性和有效性。

1 問題的描述和系統(tǒng)模型

分?jǐn)?shù)階微分有多種定義方式，采用Riemann-Liouville(R-L)分?jǐn)?shù)階微分[10]定義如下：

(1)

其中q為分?jǐn)?shù)階階次，Γ(·)為伽馬函數(shù)。

考慮如下分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)

Dαx(t)=Ax(t)+φ(x(t))

(2)

其中x(t)=(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))T∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，α=(α1，α2，…αn)T，0<αi<1，i=1，2，…，n；A∈Rn×n是線性部分的系數(shù)矩陣，φ(x(t))：R+×Rn為非線性項(xiàng)。

為研究分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步問題，可將系統(tǒng)式(2)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，并選擇如下形式的響應(yīng)系統(tǒng)：

Dαy(t)=Ay(t)+φ(y(t))+u(t)

(3)

其中u(t)為間歇控制器，控制器的設(shè)計(jì)如下：

(4)

其中{τm}，m=0，1，2…為一列時(shí)間點(diǎn)。

定義同步誤差為e(t)=y(t)-x(t)，則誤差系統(tǒng)可描述為

Dαe(t)=Ae(t)+φ(y(t))-φ(x(t))+u(t)

(5)

可通過研究誤差系統(tǒng)式(5)的漸近穩(wěn)定性來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)式(2)和系統(tǒng)式(3)的同步。由于分?jǐn)?shù)階微分方程穩(wěn)定性理論的發(fā)展不成熟，為解決問題，通過構(gòu)造一個(gè)新的間歇可控響應(yīng)系統(tǒng)，將分?jǐn)?shù)階間歇系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為整數(shù)階間歇系統(tǒng)。

構(gòu)造整數(shù)階系統(tǒng)如下：

(6)

于是得到整數(shù)階誤差系統(tǒng)為

(7)

要實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)式(2)和響應(yīng)系統(tǒng)式(3)的間歇同步，只需在整個(gè)時(shí)間區(qū)間滿足誤差系統(tǒng)式(7)的狀態(tài)變量最終趨于零。

即

為得到誤差系統(tǒng)式(7)的穩(wěn)定性條件，需要如下假設(shè)。

假設(shè)1 假設(shè)φ(x)是Lipschitz連續(xù)函數(shù)，即存在一個(gè)正常數(shù)L，對(duì)?x1，x2∈Rn，下式成立：

‖φ(x1)-φ(x2)‖≤L‖x1-x2‖

(8)

2 主要結(jié)論

給出一個(gè)漸近穩(wěn)定的判據(jù)并提供嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明過程。

定理1 如果存在一個(gè)正定、對(duì)稱的矩陣P和正常數(shù)θ1，θ2，使得

(a)ATP+PA+KTP+PK+2LP+θ1P<0；

(b)ATP+PA+2LP-θ2P<0；

(c) 對(duì)任意的m∈N，存在一個(gè)相應(yīng)正常數(shù)ηm>1，使得ηmexp(-θ1(τ2m+1-t2m)+θ2(τ2m+2-τ2m+1))<1，則系統(tǒng)式(7)漸近穩(wěn)定，系統(tǒng)式(2)和系統(tǒng)式(3)達(dá)到同步。

證明： 考慮如下的Lyapunov函數(shù)

V(t)=eT(t)Pe(t)

(9)

當(dāng)t∈[τ2m，τ2m+1)時(shí)，根據(jù)假設(shè)1及定理1中條件(a)可得

eT(t)(ATP+KTP)e(t)+(φ(y(t))-

φ(x(t)))TPe(t)+eT(t)(PA+PK)e(t)+

eT(t)P(φ(y(t))-φ(x(t)))≤eT(t)

(ATP+KTP+PA+PK)e(t)+

2LeT(t)Pe(t)=eT(t)(ATP+KTP+

PA+PK+2LP+θ1P)e(t)-

θ1V(t)≤-θ1V(t)

(10)

即當(dāng)t∈[τ2m，τ2m+1)時(shí)，

V(t)≤V(t2m)exp(-θ1(t-t2m))

(11)

當(dāng)t∈[τ2m+1，τ2m+2時(shí)利用假設(shè)及定理1中條件(b)可得：

eT(t)(ATP)e(t)+(φ(y(t))-

φ(x(t)))TPe(t)+eT(t)(PA)e(t)+

eT(t)P(φ(y(t))-φ(x(t)))≤eT(t)

(ATP+PA)e(t)+2LeT(t)Pe(t)=

eT(t)(ATP+PA+2LP-

θ2P)e(t)+θ2V(t)≤θ2V(t)

(12)

即當(dāng)t∈[τ2m+1，τ2m+2)時(shí)有

V(t)≤V(t2m+1)exp(θ2(t-t2m+1))

(13)

當(dāng)m=0時(shí)，即t∈[t0，t1)，由式(12)可知

V(t)≤V(t0)exp(-θ1(t-t0))

(14)

當(dāng)t∈[t1，t2)時(shí)，根據(jù)式(13)可知

V(t)≤V(t1)exp(θ2(t-t1))≤

V(t0)exp(-θ1(t1-t0))exp(θ2(t-t1))

(15)

以此類推，可得當(dāng)t∈[t2m，t2m+1)時(shí)，有

V(t)≤V(t2m)exp(-θ1(t-t2m))≤V(t0)exp(-θ1(t1-t0))exp(θ2(t2-t1))exp(-θ1(t3-t2))exp(θ2(t4-t3))…exp(-θ1(t2m-1-t2m-2))exp(θ2(t2m-t2m-1))exp(-θ1(t-

(16)

由定理1的條件(c)對(duì)任意i存在ηi>1，使得

(17)

可得

(18)

其中V(t0)為初值且有界，θ1為正數(shù)，exp(-θ1(t-t2m))為有界值，則t→時(shí)，m→，從而V(t)→0。

當(dāng)t∈[t2m+1，t2m+2)時(shí)，有

(V(t)≤V(t2m+1)exp(θ2(t-t2m+1))≤V(t0)exp(-

(19)

由定理1的條件(c)，對(duì)任意i存在ηi>1，使得

(20)

可得

t2m))exp(θ2(t-t2m+1))

(21)

其中V(t0)為初值且有界，θ1，θ2皆為正數(shù)，exp(-θ1(t2m+1-t2m))和exp(θ2(t-t2m+1))為有界，則t→時(shí)，m→，V(t)→0。所以誤差系統(tǒng)式(7)是漸近穩(wěn)定的。即系統(tǒng)式(2)和式(3)達(dá)到同步，證畢。

實(shí)際應(yīng)用中采用間歇控制器實(shí)用性與可操作性更好，因此將上述定理中間歇控制器u(t)設(shè)計(jì)為周期間歇控制器

(22)

其中m=0，1，2…，T為周期，h

推論1 在假設(shè)1成立的條件下，設(shè)計(jì)滿足式(22)的周期間歇控制器u(t)，如果存在一個(gè)正定、對(duì)稱的矩陣P和正常數(shù)θ1，θ2，使得

(a)ATP+PA+KTP+PK+2LP+θ1P<0；

(b)ATP+PA+2LP-θ2P<0；

(c)θ1h+θ2h-T>0。

那么系統(tǒng)式(7)漸近穩(wěn)定，系統(tǒng)式(2)和式(3)達(dá)到同步。

3 數(shù)值仿真

選擇分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

(23)

當(dāng)參數(shù)取值為(α1，α2，α3)=(0.9，0.95，0.95)和(a，b，c)=(35，3，27)時(shí)，系統(tǒng)式(23)存在混沌吸引子，其混沌相圖如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)的相圖

設(shè)響應(yīng)系統(tǒng)如下：

(24)

系統(tǒng)參數(shù)同式(23)。無控制條件下系統(tǒng)式(23)和系統(tǒng)式(24)，其誤差曲線見圖2。

圖2 無控制時(shí)的系統(tǒng)誤差曲線圖

根據(jù)系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置，可得

圖3 間歇控制時(shí)的系統(tǒng)誤差曲線圖

從圖3可以看出，系統(tǒng)在周期間歇控制下，誤差系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)式(23)和響應(yīng)系統(tǒng)式(24)達(dá)到同步。

4 結(jié) 論

針對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步問題進(jìn)行了研究，通過設(shè)計(jì)間歇控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的不連續(xù)控制，由于分?jǐn)?shù)階微分方程穩(wěn)定性理論的發(fā)展不成熟，通過對(duì)控制器的改進(jìn)將分?jǐn)?shù)階同步誤差系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為整數(shù)階同步誤差系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，再利用整數(shù)階間歇系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定，得出分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)間歇控制同步理論。數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論的有效性和可行性。

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