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(石家莊鐵道大學 土木工程學院，河北 石家莊 050043)

0 引言

圖1 均布荷載作用下帶裂縫簡支梁

由Dugdale[1]提出的模型可應用于理想彈塑性斷裂[2-4]，但并不適用于混凝土類拉應變軟化材料。根據混凝土的變形特點，Hillerborg[5]于1976年提出了“虛裂紋模型”(簡稱FCM)；Bazant[6]于1983年提出了“鈍裂紋帶模型”(簡稱BCBM)。FCM、BCBM等模型雖然較好地反應了混凝土等軟化材料在斷裂過程區(qū)的應力和變形特點，但不能從數學上對過程區(qū)應力分布進行解析求解。20世紀八十年代，段樹金等提出了有限應力集中的概念，采用加權積分法和奇異曲面疊加法得出了過程區(qū)應力場解析解，該模型在國際上被稱為“Duan and Nakagawa’s Model”[7-10]。郭全民等[11]用函數疊加法得出了含斷裂過程區(qū)簡支梁在均布荷載作用下的應力函數全場解析解并通過仿真驗證了解的可靠性，但所取函數數量不足導致裂紋面上呈現(xiàn)了較大應力。本文基于“Duan and Nakagawa”模型和文獻[11]；疊加多種不同荷載作用、不同裂紋長度下無限大板的彈性解答，得到含斷裂過程區(qū)的簡支梁的更高精度的解析函數；研究不同斷裂過程區(qū)內聚力分布對拉應變軟化曲線和梁自振頻率的影響。

1 基本問題與基本方程

1.1 研究對象

研究對象為含切口和斷裂過程區(qū)的簡支梁，如圖1所示，其中，a+b為韌帶長度，b為斷裂過程區(qū)長度。

1.2 基本方程

引用復變函數，彈性力學平面問題應力函數的一般形式可表示為

(1)

(2)

(3)

式中，G為剪切彈性模量；對于平面應變問題k=3-4v，對于平面應力問題k=(3-v)/(1+v),v為泊松比。

(1)彎矩作用下對稱邊裂紋的無限大板。如圖2所示，為一對稱邊裂紋的無限大板受彎曲作用，采用加權積分法，取一次型權函數，通過加權積分法消除裂紋尖端應力奇異性，彈性解答如下[5]

(4)

圖2 彎矩作用下無限大板

(2)均布荷載作用下的簡支梁?？紤]一均布荷載作用下的簡支梁，其中h為梁高，l為梁長，q為梁上均布荷載。直接給出相應的應力分量

(5)

(3)切應力作用下的半無限大板。如圖3所示，為一半無限大板，其自由表面作用著對稱于y軸的剪應力，用于消除前述第(1)項中沿x軸產生的剪應力。其相應的應力函數為

(6)

(4)拉應力作用下的無限大板?？紤]一帶對稱邊裂紋的無限大板，在無窮遠處受拉應力作用，如圖4所示。其應力函數為

(7)

圖3 受切應力作用的半無限大板

圖4 受拉力作用的開裂板

2 不同內聚力分布下問題的求解

研究的裂縫模型滿足以下條件：

(1)梁的有效高度為韌帶長度和斷裂過程區(qū)長度之和a+b。

(2)裂縫尖端y=a處正應力達到抗拉強度ft，即∑σ=ft時，裂縫向前擴展，并始終沿y軸方向。

(3)梁截面有效高度范圍內應力合力為零，即∑T1j=0。

(4)梁端彎矩和正應力合力為零，即∑T2j=0，∑Mj=0；梁底一半的正應力和切應力的合力為零，即∑T3j=0，∑Qj=0。

設帶裂縫無限大板受彎矩作用時荷載大小為X1，均布荷載作用下簡支梁受力大小為X2，半無限大板受切應力作用大小為X3，半無限大板受水平集中力作用大小為X4，韌帶寬度a不變，改變受彎矩作用帶裂縫無限大板的斷裂過程區(qū)長度b，對應荷載大小為X5，X6，X7，改變均布荷載作用下簡支梁梁底位置，對應荷載大小為X8，X9。通過疊加幾種無限大板和半無限大板的彈性解答，計算各種模型權重。

2.1 水壓力型分布

定義斷裂過程區(qū)[a,a+b]處應力分布呈水壓力分布，現(xiàn)指定

基于上述條件，可以得到以下平衡方程

(8)

從中可以求得[Xi]=[-3.598 3 -0.007 9 -0.329 9 3.431 2 0.000 9 -5.664 3 10.642 0

-0.107 0 0.175 9]。

2.2 恒定型分布

定義斷裂過程區(qū)[a,a+b]的應力為常數，現(xiàn)域內以等距離取3個點，其應力值等于ft，由此可以得到以下平衡方程

(9)

從中可以求得[Xi]=[-8.448 0 0.048 9 -1.937 6 12.127 0 0.002 1 -2.636 0 12.175 7 -0.214 0 0.197 2]。

2.3 一次權函數型

斷裂過程區(qū)不設約束條件，基于上述邊界條件，其相應的平衡方程可以表示為

(10)

由矩陣可以得到[Xi]=[2.402 4 0.010 7 -1.688 7 8.157 1 0.000 9 0.750 2 -1.895 5]。上述方程中的Xi為各基本應力函數在解中的權重，通過疊加即可以得到圖1所示問題的應力函數和位移函數。

3 算例

一混凝土簡支梁，高度H=8 cm，寬度B=7.5 cm，長度L=30 cm，裂縫長度1 cm，混凝土抗拉強度ft=5.6 MPa，泊松比v=0.2，彈性模量E=28 GPa。

由應力函數得出沿y軸的正應力分布及斷裂過程區(qū)的拉應變軟化曲線，分別如圖5和圖6所示。從圖5可以看出，裂紋尖端應力奇異性被消除；應力最大值出現(xiàn)在斷裂過程區(qū)尖端；滿足正應力合力為零的條件；裂紋面上正應力不等于零，但波動幅度不大。從圖6看出，一次權函數型與內聚力水壓力型的拉應變軟化曲線相似；內聚力恒定型的最大張開位移遠小于一次權函數型和內聚力水壓力型。梁的自振頻率和斷裂能如表1所示，帶裂縫簡支梁自振頻率低于無裂縫簡支梁，恒定型自振頻率高于水壓力型與一次權函數型。

圖5 沿斷裂韌帶正應力分布

圖6 拉應變軟化曲線

考察了梁頂和梁底面切應力的分布，其值不完全為零，切應力最大值與抗拉強度比值分別為4.8%和7.3%。

表1 簡支梁的自振頻率和斷裂能

4 結論

研究了含切口和斷裂過程區(qū)簡支梁的解析，給出了算例，結論如下：

(1)采用函數疊加和選點法得到了帶裂縫和斷裂過程區(qū)簡支梁在均布荷載下的全場解析解，基本滿足應力邊界條件；隨著選點數量的增加，可以進一步提高計算精度。

(2)內聚力呈水壓力型分布與一次權函數下拉應變軟化曲線有相似的變化趨勢；內聚力恒定型斷裂能最大，水壓力型與權函數型斷裂能較小且數值相近。

(3)無裂縫簡支梁自振頻率最高，內聚力恒定型次之，水壓力型和一次權函數型時最低。

參 考 文 獻

[1]Dugdale D S. Yielding of steel sheets containing slits[J]. Mech. Phys. Solids, 1960(8):100-104.

[2]Li Wu, Xie Lingyun. A Dugdale-Barenblatt model for a strip with a semi-infinite crack embedded in decagonal quasicrystals[J]. Chin. Phys. B, 2013, 22(3):1-6.

[3]楊林. 帶單邊裂紋的有限狹長體的Dugdale-Barenblatt模型[J]. 山東大學學報：理學版, 2013, 48(8): 63-67.

[4]王慧晶, 林哲. 塑性區(qū)模型損傷修正及其對聲發(fā)射活動的影響[J]. 船舶力學, 2011, 15(4):389-393.

[5]Hillerborg A. Analysis of fracture by means of the fictitious crack model particularly for fiber-reinforced concrete[J]. Int. J. Cement Compos, 1980,2(4): 177-184.

[6]Bazan Z P,OH B H. Crack band theory for fracture of concrete[J]. Mater. Struct., 1983(16):155-177.

[7]Duan S J, Nakagawa K. Stress functions with finite stress concentration at the crack tips for central cracked panel[J]. Engng Fracture Mech, 1988, 29(5): 517-526.

[8]Duan Shujin, Nakagawa K. A mathematical approach of fracture macromechanics for strain-softening material[J]. Engineering Fracture Mechanics, 1989,34(5/6): 1175-1182.

[9]段樹金. 斷裂過渡區(qū)長度張開位移和J積分的計算[J]. 石家莊鐵道學院學報, 2000,13(3):6-9.

[10]段樹金. 斷裂過程區(qū)解析理論[M]. 北京: 中國水利水電出版社, 2013.

[11]郭全民, 段樹金. 混凝土簡支梁在均布荷載作用下的斷裂過程區(qū)及自振特性[J]. 石家莊鐵道大學學報:自然科學版, 2017, 30(2): 6-10.