易國鋒 李巧敏 鐘 文 柳玉起

1.湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，武漢，430068 2.華中科技大學(xué)材料成形與模具技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢，430074

0 引言

壓印成形是一種重要的金屬塑性成形工藝，廣泛應(yīng)用于紀(jì)念幣的制造過程中。壓印成形的工作機(jī)理是：金屬坯餅在模具的作用下發(fā)生塑性變形，最終填充印模型腔，在坯餅的表面印制出精美的圖紋浮雕。由于壓印企業(yè)都是由國家經(jīng)營，制造技術(shù)和工藝方案嚴(yán)格保密，現(xiàn)有的公開文獻(xiàn)中，有關(guān)紀(jì)念幣壓印成形的資料比較少，國內(nèi)外紀(jì)念幣的設(shè)計(jì)和制造還主要依賴各個(gè)造幣企業(yè)長期積累的經(jīng)驗(yàn)。工程經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蚩s短一些典型紀(jì)念幣的研發(fā)周期，卻不能有效地預(yù)測壓印成形中金屬的流動(dòng)情況，因此難以準(zhǔn)確預(yù)測壓印成形缺陷。據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前國內(nèi)造幣行業(yè)紀(jì)念幣壓印的廢品率在10%以上，直徑大、鏡面面積大的紀(jì)念幣廢品率甚至達(dá)到 50%［1］。

針對工程經(jīng)驗(yàn)的不足，XU等［2］、鐘文等［3］基于動(dòng)力顯式有限元法開發(fā)了紀(jì)念幣壓印成形數(shù)值模擬系統(tǒng)COINFORM，在壓印成形缺陷預(yù)測方面取得了一定成果。對于形狀簡單的樣幣，COINFORM預(yù)測的材料流動(dòng)規(guī)律和壓印力變化曲線與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，但是，出于美觀度、防偽性等因素的考慮，實(shí)際的紀(jì)念幣上往往會(huì)設(shè)計(jì)精細(xì)的圖紋浮雕，這些浮雕的底部圓角在幾微米到幾十微米之間，高度也只有幾十微米到幾百微米。微米量級的變形尺寸導(dǎo)致壓印成形過程中局部區(qū)域的金屬流動(dòng)規(guī)律與宏觀塑性力學(xué)行為不同［4］，而這種尺寸效應(yīng)在COINFORM的經(jīng)典塑性本構(gòu)方程中是沒有考慮的。因此，對于具備精細(xì)圖紋浮雕的紀(jì)念幣，COINFORM計(jì)算得到的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果存在偏差。

為了合理解釋微米和亞微米量級試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的尺寸效應(yīng)，彌補(bǔ)經(jīng)典塑性理論的不足，很多學(xué)者提出了應(yīng)變梯度塑性理論。FLECK等［5-6］在高階連續(xù)介質(zhì)彈性理論框架下建立了只考慮旋轉(zhuǎn)應(yīng)變梯度的偶應(yīng)力理論和既考慮旋轉(zhuǎn)應(yīng)變梯度又考慮拉伸應(yīng)變梯度的塑性理論。NIX等［7］從描述材料剪切強(qiáng)度和位錯(cuò)密度之間關(guān)系的Taylor模型出發(fā)，認(rèn)為應(yīng)變梯度是由不均勻變形時(shí)的幾何必須位錯(cuò)（geometrically necessary dislocations，GNDs）導(dǎo)致的，通過壓痕試驗(yàn)得到了壓痕硬度與壓痕深度之間的關(guān)系，即 Nix-Gao模型。GAO 等［8］和HUANG等［9］在 Nix-Gao模型的基礎(chǔ)上，提出了一種多尺度、分層次的理論框架，成功實(shí)現(xiàn)了塑性理論和位錯(cuò)理論的結(jié)合，發(fā)展了基于細(xì)觀機(jī)制的應(yīng)變梯度塑性（mechanism-based strain gradient plasticity，MSG）理論。由于引入了高階應(yīng)力作為應(yīng)變梯度的功共軛項(xiàng)，上述應(yīng)變梯度理論在實(shí)際工程應(yīng)用中遇到了困難。為了簡化高階理論，HUANG等［10］、ZHANG等［11］在 MSG 理論的基礎(chǔ)上提出了傳統(tǒng)的（conventional）MSG理論，即CMSG低階應(yīng)變梯度理論。CMSG應(yīng)變梯度理論中的平衡方程以及邊界條件與經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論保持一致，因此，本文基于CMSG應(yīng)變梯度理論建立考慮尺寸效應(yīng)的本構(gòu)方程，將其應(yīng)用于壓印成形數(shù)值模型系統(tǒng)COINFORM中，并通過典型的紀(jì)念幣算例對本構(gòu)方程的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基于應(yīng)變梯度塑性理論的本構(gòu)方程

1.1 Taylor位錯(cuò)模型

從微觀角度而言，金屬塑性變形反映了位錯(cuò)的形成、增殖和運(yùn)動(dòng)。位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)過程中形成位錯(cuò)環(huán)和釘扎，在宏觀上表現(xiàn)為金屬的加工硬化。根據(jù)位錯(cuò)堆垛產(chǎn)生原因的不同，可以將位錯(cuò)分為統(tǒng)計(jì)存儲(chǔ)位錯(cuò)（statistically stored dislocations，SSDs）和GNDs。其中，SSDs的累積會(huì)產(chǎn)生塑性應(yīng)變，經(jīng)典塑性理論的Mises等效塑性應(yīng)變就是SSDs的標(biāo)量度量，而GNDs是由不均勻塑性變形引起的，與材料的塑性剪切梯度有關(guān)。位錯(cuò)密度ρT定義為單位體積所包含位錯(cuò)線的長度，即

式中，L為體積V中位錯(cuò)線的總長度。

材料剪切流動(dòng)應(yīng)力τ與位錯(cuò)密度 ρT之間的關(guān)系滿足 Taylor位錯(cuò)模型［7，12］，即

式中，τ0為內(nèi)稟點(diǎn)陣阻力，與位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)無關(guān)，對于Ag這樣的面心立方晶體（face-centered cubic crystal，F(xiàn)CC）而言，τ0為零；α 為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，對于 FCC晶體一般取值0.3～0.6［13］；G為剪切模量；b為柏氏矢量的模。

總位錯(cuò)密度是由SSDs和GNDs耦合作用決定的，耦合關(guān)系可以表示為

式中，ρS為SSDs密度；ρG為GNDs密度；指數(shù) μ用來表示ρS與 ρG之間的耦合關(guān)系，被命名為“交互系數(shù)”［14］。

μ的選取至關(guān)重要，本文認(rèn)為應(yīng)該考慮到兩種位錯(cuò)的非線性耦合，因此根據(jù)試驗(yàn)來確定μ的取值。

對于材料Ag，根據(jù)式（2）和式（3）可以得到剪切流動(dòng)應(yīng)力與位錯(cuò)密度之間的關(guān)系：

而多晶材料的拉伸流動(dòng)應(yīng)力σ與剪切流動(dòng)應(yīng)力τ之間滿足

其中，M為取向因子，用來表征連續(xù)介質(zhì)水平上的各向異性晶體的各向同性程度。FCC晶體的取向因子 M=3.06［15］。由式（4）和式（5）可得

由于 ρG與等效塑性應(yīng)變梯度 ηp之間滿足［7，16］

其中，rˉ是 Nye因子，在 FCC 晶體中 rˉ=1.90，因此，將式（7）代入式（6）有

在金屬材料的單軸拉伸試驗(yàn)中，根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，可以獲得流動(dòng)應(yīng)力與塑性應(yīng)變之間的關(guān)系式：

其中，σref為參考應(yīng)力，f(εp)為塑性應(yīng)變 εp的量綱一表達(dá)式。

單軸拉伸試驗(yàn)中的塑性應(yīng)變梯度幾乎可以忽略，即 ηp=0，因此根據(jù)式（8）有

將式（9）代入式（8）可得

其中式（10）是根據(jù)Taylor位錯(cuò)模型得到的應(yīng)力表達(dá)式，l為材料內(nèi)稟尺寸。當(dāng)金屬變形的特征尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于l時(shí)，式（10）右端的第2項(xiàng)趨近于0，此時(shí)式（10）退化成應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式：

1.2 CMSG塑性理論

根據(jù)CMSG塑性理論框架［10-11］，單軸拉伸試驗(yàn)滿足以下黏塑性模型：

其中，ε˙p為塑性應(yīng)變率，和分別為偏斜應(yīng)力率和偏斜應(yīng)變率，m為相關(guān)指數(shù)。在m→∞的情況下，式（12）與 σ=σreff(εp)等價(jià)。為了考慮應(yīng)變梯度的影響，將基于Taylor位錯(cuò)模型的流動(dòng)應(yīng)力 σ取代式（12）中的 σreff(εp)，獲得

式中，σe為等效應(yīng)力。

應(yīng)變率的體積部分 ε˙kk和偏斜部分采用與經(jīng)典塑性理論相同的表達(dá)形式，即

其中，K為體積模量。將式（13）代入應(yīng)變率的表達(dá)式，可以得到基于CMSG塑性理論框架的本構(gòu)方程：

可以發(fā)現(xiàn)，式（16）的表達(dá)形式與經(jīng)典J2流動(dòng)理論在形式上基本相同，只是將單軸拉伸試驗(yàn)中的塑性模量 σreff′(εp)替換成了式（17）表示的Ep。隨著應(yīng)變梯度ηp增大，Ep也會(huì)增大，從而帶來額外的流動(dòng)應(yīng)力。

2 Ag999的力學(xué)性能測試

下面以Ag999為材料對建立的本構(gòu)方程進(jìn)行驗(yàn)證。Ag999的宏觀力學(xué)性能參數(shù)見表1［17］。由于用于壓印紀(jì)念幣的坯料已經(jīng)退火處理，因此可以忽略材料的各向異性特性。

為了確定式（17）中的內(nèi)稟尺寸l和交互系數(shù)μ，本文參考文獻(xiàn)［14］提出的策略，在HYSITRON-TI 750型納米壓痕儀上對Ag999進(jìn)行納米壓痕試驗(yàn)。試驗(yàn)采用Berkovich壓頭，其等效圓錐壓頭的錐面與試樣表面的夾角θ=19.7°，壓頭與試樣的投影接觸面積A與接觸深度hc滿足關(guān)系式

表1 Ag999的宏觀力學(xué)性能參數(shù)Tab.1 Macro-mechanical properties of Ag999

通過納米壓痕試驗(yàn)獲得的Ag999的載荷-深度（F-h）曲線如圖1所示。從圖中卸載階段的曲線可以看出，Ag999的彈性變形非常小，因此，我們可以將式（18）中的接觸深度hc近似地替換成壓痕深度h，從而簡化接觸面積的計(jì)算。根據(jù)圖1中加載階段的F-h曲線和硬度計(jì)算公式

可以得到如圖2所示的硬度-深度（H-h）曲線。從圖2中可以看出，在納米壓痕試驗(yàn)中材料的變形尺度在微米量級，在該變形尺度下，壓痕硬度隨著壓痕深度的增加而逐漸減小。這種尺寸效應(yīng)與文獻(xiàn)［18-20］中的結(jié)論一致。

圖1 Ag999在納米壓痕試驗(yàn)中的載荷-深度曲線Fig.1 Load-depth curve of Ag999 in the nanoindentation test

圖2 Ag999在納米壓痕試驗(yàn)中的硬度-深度曲線Fig.2 Hardness-depth curve of Ag999 in the nanoindentation test

根據(jù)文獻(xiàn)［14］，硬度H、深度h和交互系數(shù) μ滿足關(guān)系式：

其中，H0為忽略應(yīng)變梯度時(shí)的壓痕硬度值，h*與內(nèi)稟尺寸l有關(guān)，滿足關(guān)系式

采用式（20）對圖2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖3所示，其中 H0=1.065 GPa，h*=0.276 μm，μ=1.64。將 h*=0.276 μm 代入式（21），得到內(nèi)稟尺寸 l=0.976 μm。至此，式（17）所需的所有力學(xué)性能參數(shù)均已獲得。

圖3 數(shù)據(jù)擬合Fig.3 Data fitting

3 算例

圖4所示為2010年上海世博會(huì)鑰匙紀(jì)念幣，采用質(zhì)量為50 g的Ag999坯餅壓印而成。壓印過程中，上模以100 mm/s的速度向下運(yùn)動(dòng)，行程為0.275 mm。印模與坯餅之間的摩擦因數(shù)為0.2。在COINFORM中導(dǎo)入STL格式的印模掃描文件生成三角形網(wǎng)格模型，并采用六面體單元［21］對坯餅進(jìn)行離散，有限元模型如圖5所示。其中，坯餅單元的個(gè)數(shù)為227 504，初始尺寸為270 μm，計(jì)算過程中采用3級網(wǎng)格加密。

圖4 2010年上海世博會(huì)鑰匙紀(jì)念幣Fig.4 A key-shaped commemorative coin of 2010 World Expo

圖5 壓印成形有限元模型Fig.5 Finite element model of coining

將印模視為剛性體，分別采用基于應(yīng)變梯度塑性理論和經(jīng)典J2流動(dòng)理論的本構(gòu)方程對壓印成形過程進(jìn)行計(jì)算。兩個(gè)模擬方案分別耗時(shí)5.7 h和5.5 h，可見應(yīng)變梯度的計(jì)算對模擬效率的影響并不大。上模行程達(dá)到0.275 mm時(shí)的紀(jì)念幣等效應(yīng)力分布如圖6所示。通過對比圖6a、圖6b可以發(fā)現(xiàn)，兩種方案計(jì)算得到的等效應(yīng)力分布規(guī)律整體上接近。但是，在局部浮雕區(qū)域，由于變形尺度很小，應(yīng)變梯度較大，應(yīng)變梯度塑性本構(gòu)方程計(jì)算獲得的最大等效應(yīng)力達(dá)到420 MPa，高于經(jīng)典塑性本構(gòu)方程計(jì)算達(dá)到的最大值360 MPa。這說明，對于具備精細(xì)浮雕的紀(jì)念幣，必須采用比宏觀塑性變形更大的外載荷才能獲得填充飽滿的紀(jì)念幣。

圖6 紀(jì)念幣等效應(yīng)力分布Fig.6 Equivalent stress distribution of the commemorative coin

圖7給出了數(shù)值模擬計(jì)算得到的壓印力曲線和試驗(yàn)測得的壓印力數(shù)據(jù)，其中，試驗(yàn)獲得的最大壓印力為2 760 kN。從圖7中可以看出，在壓印成形初期，坯餅以整體壓縮成形為主，宏觀塑性變形在成形中占據(jù)主導(dǎo)作用，應(yīng)變梯度塑性本構(gòu)方程計(jì)算得到的結(jié)果和經(jīng)典塑性本構(gòu)方程計(jì)算得到的結(jié)果基本一致。隨著變形繼續(xù)，金屬開始填充微細(xì)模具型腔，應(yīng)變梯度塑性本構(gòu)方程計(jì)算得到的壓印力與試驗(yàn)結(jié)果吻合，計(jì)算達(dá)到的最大壓印力為2 710 kN，與試驗(yàn)結(jié)果誤差僅為2%；而經(jīng)典塑性本構(gòu)方程由于沒有考慮尺寸效應(yīng)，壓印力計(jì)算結(jié)果明顯低于試驗(yàn)結(jié)果，且誤差隨模具行程逐漸增大，最終達(dá)到14%。因此，本文提出的基于應(yīng)變梯度塑性的本構(gòu)方程更加適用于紀(jì)念幣的壓印成形模擬。

圖7 壓印力-行程曲線Fig.7 Coining force-stroke curve

4 結(jié)論

本文從金屬塑性變形的位錯(cuò)理論出發(fā)，基于CMSG應(yīng)變梯度塑性理論框架建立了壓印成形的本構(gòu)方程，以Ag999為例，通過納米壓痕試驗(yàn)獲得了相關(guān)力學(xué)性能參數(shù)，并進(jìn)行了壓印成形數(shù)值模擬。數(shù)值模擬的結(jié)果表明，相比經(jīng)典塑性本構(gòu)方程，本文所建立的基于應(yīng)變梯度塑性理論的本構(gòu)方程在壓印成形中能獲得更高的精度。

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