劉建富

【摘 要】本文闡述開(kāi)放性題型的種類，并對(duì)其解法進(jìn)行探討，以有效培養(yǎng)學(xué)生的解題思維能力，促進(jìn)學(xué)生提高解題能力，更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)以致用。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 開(kāi)放性題目 解題思路

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）02B-0162-02

數(shù)學(xué)作為高中階段學(xué)生的基礎(chǔ)學(xué)科，對(duì)其他學(xué)科的知識(shí)內(nèi)容具有重要的基礎(chǔ)性作用。隨著新課標(biāo)改革和素質(zhì)教育的不斷深入，高考也在不斷地革新，考試的題型也逐漸向開(kāi)放題類型轉(zhuǎn)變。因此，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的開(kāi)放題型解題思路的培養(yǎng)，促使學(xué)生創(chuàng)新思維、獨(dú)立思考能力的提高。數(shù)學(xué)開(kāi)放性題型主要是指解答方式多樣，并且條件不完全、結(jié)論不固定的數(shù)學(xué)題目類型。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，對(duì)開(kāi)放性題型進(jìn)行融入，能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促使學(xué)生靈活地進(jìn)行問(wèn)題的思考，培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)不同的問(wèn)題采取針對(duì)性的解題方式，促使高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更加有效，促使學(xué)生創(chuàng)新思維的激發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

一、高中數(shù)學(xué)開(kāi)放性題型的分類

（一）條件開(kāi)放性題目

此種類型的題目是給出相應(yīng)的結(jié)論，根據(jù)結(jié)論尋找相應(yīng)的條件的題目。通過(guò)此種類型題的解答能夠?qū)W(xué)生數(shù)學(xué)定義以及基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行考查，同時(shí)對(duì)其綜合應(yīng)用能力進(jìn)行檢測(cè)，促使學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)遷移能力得到鍛煉。

（二）策略開(kāi)放性題目

此種類型的題目是在已知條件和結(jié)論的情況下，對(duì)兩者成立的途徑進(jìn)行探究。通過(guò)此種類型題目的解答能夠促使學(xué)生鍛煉發(fā)散思維和創(chuàng)新思維，促使學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。

（三）結(jié)論開(kāi)放性題目

此種類型的題目顧名思義就是其結(jié)論具有多樣性，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力和水平的提高。

二、高中數(shù)學(xué)開(kāi)放性題型的有效解題思路

（一）引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，促進(jìn)開(kāi)放性題型的解答

在高中數(shù)學(xué)開(kāi)放性題型解答的過(guò)程中，學(xué)生需要對(duì)題型進(jìn)行了解，比如，針對(duì)條件開(kāi)放性的題型，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行問(wèn)題的提出和解答，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題進(jìn)行思考，指導(dǎo)學(xué)生采取多樣化的解題方式。針對(duì)條件開(kāi)放性的題型，學(xué)生需要從不同的思路，采取不同的方式進(jìn)行，從而把握題目的規(guī)律性，提高解題能力。

〖例 1〗設(shè)等比數(shù)列{ an}的公比是 q ，其前 n 項(xiàng)和為 Sn，是否存在常數(shù) c ，使得數(shù)列{Sn+c}是等比數(shù)列？如果存在，求解常數(shù) c ；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

〖提示〗在對(duì)這樣的條件開(kāi)放性題型進(jìn)行解答時(shí)，需要進(jìn)行相應(yīng)的假設(shè)，然后逐步深入，進(jìn)行解答。

〖解析〗設(shè)常數(shù) c 存在，使得數(shù)列{Sn+c}成等比數(shù)列。因?yàn)椋⊿n+c）（Sn+2+c）=（Sn+1+c）2，所以能夠得出 Sn·Sn+2-Sn+12=c（2Sn+1-Sn-Sn+2）。

（1）當(dāng) q=1 時(shí)，Sn=na1，帶入上式求解得出 a12=0（a1≠0），所以不存在常數(shù) c ，使得{Sn+c}成等比數(shù)列。

（2）當(dāng) q≠1時(shí)，，帶入上式進(jìn)行求解得出 。綜上所述得出結(jié)論，存在常數(shù) ，使得{Sn+c}成等比數(shù)列。

在解答這個(gè)題目的過(guò)程中，需要注意等比數(shù)列的 n 項(xiàng)和求和公式中公比的分類。通常情況下，很容易忘記公比 q=1，造成解題出現(xiàn)不全面的情況，造成分?jǐn)?shù)的丟失。因此，針對(duì)此種類型題目進(jìn)行解答時(shí)，要考慮全面。這種題目能夠促使學(xué)生的思維得到鍛煉，使學(xué)生的解題能力得到提高。

（二）注重學(xué)生求異思維的培養(yǎng)，促使學(xué)生解答開(kāi)放性題型

在高中數(shù)學(xué)開(kāi)放性題型解答的過(guò)程中，教師可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的求異思維，促使學(xué)生掌握解題思路，促使問(wèn)題結(jié)論的轉(zhuǎn)變。一般來(lái)說(shuō)，通過(guò)改變題目的表達(dá)方式，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的方向進(jìn)行問(wèn)題的解答，促使學(xué)生思維方式的轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解答能力，避免學(xué)生定式思維的形成。

〖例 2〗已知函數(shù) f（x）是定義在 R 上不恒為零的函數(shù)，并且對(duì)任意的 a，b∈R，能夠滿足關(guān)系式 f（a·b）=af（b）+bf（a）。

（1）求解 f（0），f（1）的值。

（2）判斷函數(shù) f（x）的奇偶性，并且證明你的結(jié)論。

（3）如果 f（2）=2，，并且 n∈N，求解數(shù)列 {un} 的前 n 項(xiàng)和 Sn。

〖提示〗此題主要是對(duì)函數(shù)和數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行考查，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用從一般到特殊的推理方式進(jìn)行解答，促使學(xué)生形成好的解題思路，掌握解題技巧，提高學(xué)生的解題能力。

〖解析〗（1）在 f（a·b）=af（b）+bf（a）中，令 a=b=0 ，可得出 f（0）=0。

在 f（a·b）=af（b）+bf（a）中，令 a=b=1，求得 f（1）=0。

（2）f（x）是奇函數(shù)，因?yàn)?f（1）=f[（-1）2]=-f（1）-f（-1）=0，所以 f（-1）=0，所以 f（-x）=f（-1·x）=-f（x）。故函數(shù) f（x）是奇函數(shù)。

（3）在這個(gè)問(wèn)題解答的過(guò)程中，需要對(duì)其規(guī)律進(jìn)行探究。

由 f（a2）=af（a）+af（a）=2af（a）

f（a3）=a2f（a）+af（a2）=3a2f（a）

……

可以進(jìn)行相應(yīng)的猜測(cè)： f（an）=nan-1f（a）。

之后引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：

當(dāng) n=1 時(shí)，f（a1）=1·a0·f（a），公式成立；

當(dāng) n=k 時(shí)，f（ak）=kak-1f（a）成立；

當(dāng) n=k+1 時(shí)，公式依然能夠成立。

綜上所知，對(duì)任意數(shù) n∈N，f（an）=nan-1f（a）成立。對(duì)于 因?yàn)?，計(jì)算得出 所以 （n∈N），最終能夠計(jì)算得出 （n∈N）。

（三）促使學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)，促使學(xué)生開(kāi)放性題型解題思路的培養(yǎng)

在開(kāi)放性題型解答的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生解題思路，提高學(xué)生創(chuàng)造性思維和解題能力。

〖例〗某機(jī)床廠今年采購(gòu)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床花費(fèi)了 98 萬(wàn)元，并且立即投入到生產(chǎn)中，計(jì)劃第一年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用是 12 萬(wàn)元。從第二年開(kāi)始，每年所花的保養(yǎng)和維修費(fèi)用比上年增加 4 萬(wàn)元。在機(jī)床使用之后，每年的總收入為 50 萬(wàn)元，假設(shè) x 年之后數(shù)控機(jī)床的盈利額是 y 萬(wàn)元。

（1）寫出 y 和 x 之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）從第幾年開(kāi)始，該機(jī)床開(kāi)始正式盈利。（盈利額是正值）

（3）在使用若干年之后，對(duì)機(jī)床的處理有兩種方式。第一，當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大時(shí)，以 30 萬(wàn)元的價(jià)格進(jìn)行處理。第二，當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以 12 萬(wàn)元的價(jià)格對(duì)機(jī)床進(jìn)行處理，請(qǐng)問(wèn)這兩種方式中哪種更為合理？說(shuō)明理由。

〖解析〗（1）y=50x--98=-2x2+40x-98。

（2）對(duì)不等式 -2x2+40x-98>0 進(jìn)行求解，得出3≤x≤17，所以從第三年開(kāi)始機(jī)床開(kāi)始盈利。

（3）針對(duì)第一種處理方式，因?yàn)?=-2x+40-=40-（2x+）≤12，當(dāng)且僅當(dāng) 2x= 時(shí)，即 x=7 時(shí)，等號(hào)成立。所以在使用的第 7 年年平均盈利額最大，工廠獲取的利潤(rùn)是 114 萬(wàn)元。

針對(duì)第二種方式。因?yàn)?y=2x2+40x-98=-2（x-10）2+102，所以當(dāng) x=10 時(shí)，ymax=102，所以在第 10 年盈利額達(dá)到最大值，工廠獲得的利潤(rùn)是 102+12=114 萬(wàn)元。

（四）利用數(shù)學(xué)圖形進(jìn)行問(wèn)題的解答，培養(yǎng)學(xué)生解題思路

在高中數(shù)學(xué)開(kāi)放性題型解答的過(guò)程中，一些題需要對(duì)數(shù)學(xué)圖形進(jìn)行有效利用，促使數(shù)學(xué)關(guān)系以及數(shù)據(jù)更加直觀地顯示，使題意更加明顯，更加準(zhǔn)確地進(jìn)行解答。

〖例〗甲、乙兩人做社會(huì)調(diào)查，對(duì)養(yǎng)雞場(chǎng)進(jìn)行六年的調(diào)查研究，如下圖所示。

（A） （B）

在 A 圖中，從第一年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn) 1 萬(wàn)只雞開(kāi)始，逐年上升，到第六年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn) 2 萬(wàn)只雞。在圖 B 中，第一年的養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)從 30 個(gè)減少到第六年的 10 個(gè)。回答下列問(wèn)題：

（1）第二年養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)以及出產(chǎn)雞的總數(shù)各是多少？

（2）哪一年的規(guī)模最大？為什么？

〖提示〗在解答的過(guò)程中，需要對(duì)圖形進(jìn)行分析，并從圖中獲取相關(guān)信息，培養(yǎng)學(xué)生讀圖和識(shí)圖能力。此題比較簡(jiǎn)單，在此不作詳細(xì)解答。

隨著新課標(biāo)改革的深入，在考試的過(guò)程中，開(kāi)放性的題型占據(jù)的比例越來(lái)越大，開(kāi)放性題型也成為高中階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要部分。學(xué)生想要對(duì)開(kāi)放性題型進(jìn)行有效解答，需要掌握好解題思路。因此，在教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)采取有效的措施促使學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提高，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題思路，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]卜旭貞.高中數(shù)學(xué)開(kāi)放性題型的解題思路研究[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2016（2）

[2]夏海峰，周蘭萍.高中數(shù)學(xué)開(kāi)放性題型的解題思路分析[J].數(shù)理化解題研究（高中版），2014（2）

[3]王 瀅.高中數(shù)學(xué)開(kāi)放性習(xí)題研究[J].南北橋，2015（5）

（責(zé)編 盧建龍）