顧大權(quán)

摘 要：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)回顧知識(shí)，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)展完善過(guò)程，感受數(shù)學(xué)研究的思路方法，感悟數(shù)學(xué)思想，驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng).借助于單元整體復(fù)習(xí)可以整合核心的知識(shí)內(nèi)容，反映知識(shí)的本質(zhì)，重構(gòu)教學(xué)價(jià)值，更好地發(fā)展學(xué)生的思維.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)卧獜?fù)習(xí)；整體復(fù)習(xí)；思維生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)課堂是思維活動(dòng)的課堂，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.借助于單元整體復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)可以整合單元核心的知識(shí)內(nèi)容，站在新的起點(diǎn)上，系統(tǒng)回顧知識(shí)，反映知識(shí)的本質(zhì)，重構(gòu)教學(xué)價(jià)值，感悟數(shù)學(xué)思想，并在感受知識(shí)發(fā)展過(guò)程的同時(shí)，驅(qū)動(dòng)思維不斷生長(zhǎng)，從膚淺走向深刻，形成深度思維.

單元復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)就是從一章或者一個(gè)單元的角度出發(fā)，根據(jù)章節(jié)或單元中不同知識(shí)點(diǎn)的需要，綜合利用各種教學(xué)形式和教學(xué)策略，通過(guò)整合復(fù)習(xí)讓學(xué)生對(duì)一個(gè)相對(duì)完整的知識(shí)單元有本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，弄清知識(shí)間的相互聯(lián)系.單元復(fù)習(xí)要向?qū)W生傳遞知識(shí)的整體性、聯(lián)系性、發(fā)展性和綜合性，讓學(xué)生在掌握知識(shí)、理解內(nèi)涵的基礎(chǔ)上驅(qū)動(dòng)思維不斷生長(zhǎng).

一、經(jīng)歷知識(shí)發(fā)展的過(guò)程中驅(qū)動(dòng)思維不斷生長(zhǎng)

在蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)“第7章銳角三角函數(shù)”的復(fù)習(xí)中，教材的例題和習(xí)題中多次出現(xiàn)一個(gè)“主題圖”，即兩個(gè)直角三角形的組合圖形，它貫穿整個(gè)章節(jié).如何發(fā)展這個(gè)主題圖的價(jià)值和作用，筆者做了如下的整體復(fù)習(xí)設(shè)計(jì).

1.從同學(xué)們熟悉的兩個(gè)直角三角板入手，如圖1所示，問題1：若BC=2，DE=2，你能求出其他的邊長(zhǎng)嗎？問題2：若任給三角形的一條邊長(zhǎng)為2，你能求得其他的邊長(zhǎng)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于上述兩個(gè)問題，學(xué)生由于對(duì)特殊三角函數(shù)值的掌握或?qū)μ厥馊切蔚氖煜?，很容易求得邊長(zhǎng).這里主要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握.

2.如圖2，在△ABD中，已知∠A=30°，∠BDC=45°，BC⊥AD.

問題1：若BC=2，你能求出其他的邊長(zhǎng)嗎？

問題2：若AB=2（BD=2），你能求得其他的邊長(zhǎng)嗎？

3. 如圖3，在△ABD中，已知∠A=45°，∠BDC=60°，BC⊥AD.

問題1：若BC=2，你能求出其他的邊長(zhǎng)嗎？

問題2：若AB=2（BD=2），你能求得其他的邊長(zhǎng)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于第2、3兩題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)是由兩個(gè)特殊三角形經(jīng)過(guò)拼接形成的，根據(jù)所給的邊長(zhǎng)，在每個(gè)特殊的三角形中即可解決.這里讓學(xué)生感受復(fù)雜的圖形是由簡(jiǎn)單的圖形變換而來(lái)的，促進(jìn)學(xué)生思維的生長(zhǎng).

4. 如圖4，在△ABD中，已知∠A=30°，∠BDC=45°.

問題1：若BD=2，你能求出其他的邊長(zhǎng)嗎？

問題2：若AB=2，你能求得其他的邊長(zhǎng)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)添輔助線構(gòu)造直角三角形后，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)還是由兩個(gè)特殊三角形經(jīng)過(guò)拼接形成的，根據(jù)前面積累的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以順利解決.此題就是在上題的基礎(chǔ)上變換而來(lái)的，解決這類問題的關(guān)鍵就是通過(guò)計(jì)算得到兩個(gè)直角三角形的公共邊，由公共邊就可以聯(lián)系兩個(gè)直角三角形，從而解決這類問題.從貌似普通的兩個(gè)三角形，學(xué)生經(jīng)過(guò)深入思考發(fā)現(xiàn)依然是兩個(gè)特殊三角形拼接而成，經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程，學(xué)生的思維再次隨之生長(zhǎng)起來(lái).

問題3：若AD=2，你能求得其他的邊長(zhǎng)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)添輔助線構(gòu)造直角三角形后，學(xué)生已經(jīng)知道是由兩個(gè)特殊三角形經(jīng)過(guò)拼接形成的，但是所給的AD的長(zhǎng)不能直接在兩個(gè)直角三角形中直接運(yùn)用，解決這類問題的關(guān)鍵是找到公共邊的長(zhǎng)，不能找到的情況下則設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)將AD表示出來(lái)，通過(guò)解方程解決問題.這類問題的處理時(shí)不知道任意一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)，需要設(shè)未知數(shù)來(lái)解決.學(xué)生在同樣的圖形中，發(fā)現(xiàn)條件發(fā)生變化時(shí)，處理問題的方法也有所變化，經(jīng)歷解決這類問題的變化后，學(xué)生解決問題的思維能力也隨之發(fā)展起來(lái).

5. 如圖5，在△ABD中，已知∠A=27°，∠BDC=40°，AD=2.（sin27°≈0.45，cos27°≈ 0.89，tan27°≈ 0.51， sin40°≈ 0.64，cos40°≈ 0.77，tan40° ≈ 0.84）

問題：你能求出其他的邊長(zhǎng)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】由特殊的角度變成一般的角度后，只要提供所需的三角函數(shù)值，學(xué)生還是通過(guò)構(gòu)造直角三角形，尋找兩個(gè)直角三角形的公共邊，不能直接找到則設(shè)未知數(shù)，在兩個(gè)直角三角形中利用邊角之間的關(guān)系表示出AD的長(zhǎng)，運(yùn)用方程解決這類問題.通過(guò)從特殊到一般，學(xué)生的思維更加明朗，這類問題都可以從兩個(gè)直角三角形的公共邊入手加以解決.

主題圖貫穿于整個(gè)單元，分布在各個(gè)課時(shí)里，內(nèi)容也交融在各個(gè)課時(shí)的內(nèi)容中，在平時(shí)的新授課中很難將主題圖過(guò)分地鋪展開來(lái)，不能很好地發(fā)揮應(yīng)有的作用.在單元復(fù)習(xí)課上，圍繞主題圖做專門的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生從兩個(gè)熟悉的三角板入手，通過(guò)拼接逐漸發(fā)展變化形成主題圖，在這個(gè)變化過(guò)程中如何思考解決這類問題，掌握解決這類問題的能力，并在主題圖發(fā)展變化的過(guò)程中思維也隨著一步步逐漸開闊，從狹隘走向廣闊，不斷生長(zhǎng)，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì).

二、理解知識(shí)本質(zhì)的過(guò)程中驅(qū)動(dòng)思維不斷生長(zhǎng)

在蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)“第5章二次函數(shù)”的復(fù)習(xí)中，二次函數(shù)的圖象是研究二次函數(shù)的性質(zhì)、與一元二次方程的關(guān)系以及解決實(shí)際問題的關(guān)鍵，如何在單元整體復(fù)習(xí)中讓學(xué)生通過(guò)畫圖、識(shí)圖來(lái)理解二次函數(shù)圖象的實(shí)質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的能力，筆者做了如下的整體復(fù)習(xí)設(shè)計(jì).

1.描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的步驟是列表、描點(diǎn)、連線，請(qǐng)動(dòng)手畫函數(shù)y=x2的圖象.

問題1：表格從何而來(lái)？表格的意義是什么？

問題2：點(diǎn)從何而來(lái)？

問題3：線怎么畫出來(lái)？

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生溫習(xí)畫圖象的過(guò)程中，讓學(xué)生理解二次函數(shù)的解析式可以看成是一個(gè)方程，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，每一個(gè)解都由x，y這一組數(shù)對(duì)組成，而每一個(gè)數(shù)對(duì)就是一個(gè)坐標(biāo)，一個(gè)坐標(biāo)就對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，許多的點(diǎn)就構(gòu)成了線.表格就是由方程的解而來(lái)，表格的意義就是找到了有序?qū)崝?shù)對(duì)，即坐標(biāo)，也就是找到了點(diǎn).這個(gè)過(guò)程就是由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，即二次函數(shù)→方程→方程的解→有序數(shù)對(duì)→坐標(biāo)→點(diǎn)→線[1].學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程，理解了數(shù)到形的實(shí)質(zhì)，真正理解了函數(shù)圖象的意義.在這個(gè)過(guò)程中，找到了數(shù)學(xué)思維能力的突破口，學(xué)生的思維也不斷生長(zhǎng).

2. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖7所示.

[O]圖7

問題1：求方程[ax2+bx+c=1]的根.

問題2：求不等式[ax2+bx+c<-2]的解集.

問題3：若方程[ax2+bx+c-k=0]有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為 .

【設(shè)計(jì)意圖】問題1可以通過(guò)求二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而解一元二次方程求解；這里主要是讓學(xué)生學(xué)會(huì)識(shí)圖，讓學(xué)生將求方程[ax2+bx+c=1，]的解理解成方程組[y=ax2+bx+c，y=1]的解，方程組的解是找兩個(gè)方程[y=ax2+bx+c]和[y=1]的公共解，公共解是兩個(gè)方程的公共坐標(biāo)，此時(shí)將兩個(gè)方程理解成兩個(gè)函數(shù)，公共坐標(biāo)是找兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，通過(guò)觀察圖象，從而發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)，找到坐標(biāo)就找到了方程的根.問題2是一元二次不等式，初中階段不會(huì)解一元二次不等式，只能尋求其他的方法.在上面問題的引導(dǎo)下，就是看成二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]和常函數(shù)[y=-2]，不等式[ax2+bx+c<-2]就是拋物線[y=ax2+bx+c]低于直線[y=-2]的部分，通過(guò)圖象容易找到兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，進(jìn)而判斷范圍，從而找到解集.問題3將方程[ax2+bx+c-k=0]理解成方程組[y=ax2+bx+c，y=k，]方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根就是方程組有兩組解，就是找兩個(gè)方程的兩組解，將兩個(gè)方程理解成兩個(gè)函數(shù)，兩組解要找兩個(gè)函數(shù)何時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)圖象可以看出當(dāng)[k=-3]只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)[k>-3]會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn).這個(gè)過(guò)程是由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，即圖象→點(diǎn)→坐標(biāo)→有序數(shù)對(duì)→方程的解→方程→函數(shù).學(xué)生通過(guò)3個(gè)問題經(jīng)歷從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，經(jīng)歷了思維過(guò)程，學(xué)會(huì)了思維的方法，也真正理解了函數(shù)圖象中數(shù)[?]坐標(biāo)[?]點(diǎn)[?]線之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)思維能力不斷得到了生長(zhǎng).

二次函數(shù)的解析式和圖象是二次函數(shù)的核心內(nèi)容，也是解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)，理解數(shù)與形的實(shí)質(zhì)，才能掌握二次函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系.復(fù)習(xí)的過(guò)程中通過(guò)描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象，讓學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，體會(huì)數(shù)到形的本質(zhì).通過(guò)觀察圖象經(jīng)歷由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，理解形到數(shù)的本質(zhì).讓學(xué)生真正理解二次函數(shù)數(shù)和形之間的實(shí)質(zhì)，在理解的過(guò)程中找到思維發(fā)展的突破口，學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)展，學(xué)生的思維也隨之從膚淺走向深刻，不斷生長(zhǎng)，發(fā)展了數(shù)學(xué)的思維深刻性.

數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)，數(shù)學(xué)課堂是有目的、有計(jì)劃培養(yǎng)思維能力的課堂，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中通過(guò)單元整體設(shè)計(jì)教學(xué)，在知識(shí)的聯(lián)系發(fā)展過(guò)程激發(fā)每一個(gè)思維增長(zhǎng)點(diǎn)[2]，拓寬學(xué)生思維的寬度；在理解知識(shí)的本質(zhì)過(guò)程中激發(fā)思維、拓展思維，才能深化學(xué)生思維的深度，促進(jìn)學(xué)生的思維不斷生長(zhǎng)，形成良好的思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

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