戴杏冰

摘 要 離散型隨機(jī)變量的概率分布是近年高考命題的熱點(diǎn)，高三一次模擬考的統(tǒng)計概率題目學(xué)生完成情況不理想，針對這一類型的問題，學(xué)生遇到的困難，本文將從離散型概念的理解，概率在決策問題中的應(yīng)用和數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)等方面進(jìn)行闡述，讓學(xué)生更好掌握此類問題。

關(guān)鍵詞 離散型隨機(jī)變量 散型隨機(jī)變量均值 決策 數(shù)學(xué)閱讀

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

從近年來的高考命題熱點(diǎn)分析來看，比較熱門的是離散性隨機(jī)變量的概率分布，從具體的命題來看，范圍主要在期望與方差以及其運(yùn)用，此類試題主要強(qiáng)調(diào)的是應(yīng)用性，在構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)模型時，依據(jù)的背景是實(shí)際的問題，主要是為了能夠?qū)W(xué)生的數(shù)據(jù)處理與運(yùn)用意識進(jìn)行考查。為了深入探討該類問題，本文引用了以下例題在學(xué)生中進(jìn)行進(jìn)一步的研究，具體例題如下：在一次高三的模擬考試中，考察了下面的試題：

（2014年湖北高考 改編）計劃今年在某水庫中建造一座水電（最多放置3臺放電機(jī)），在查閱過去50年的相關(guān)水文資料發(fā)現(xiàn)，該水庫的年流量為X均在40億立方米以上，其中，年流量低于80億立方米的有10年；但超過80億立方米但低于120億立方米的有35年，而超過120億立方米的只有5年?，F(xiàn)以這三段作為相應(yīng)的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

（1）求在未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；

（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系；

若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺發(fā)電機(jī)年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺發(fā)電機(jī)年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？

本題以實(shí)際問題為背景，考察考生對隨機(jī)變量分布列概念的理解及其確定方法，以及對隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望概念的理解和應(yīng)用。在實(shí)際閱卷情況并沒達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，第一問學(xué)生基本完成，第二問則完成情況得不理想。筆者對學(xué)生的答題情況作了分析并抽取部分學(xué)生進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對統(tǒng)計概率的相關(guān)概念理解薄弱，每當(dāng)問題的背景變得稍微復(fù)雜，學(xué)生就會無從下手?；谝陨项愋颓闆r，筆者就此類題目進(jìn)行如下的根源探析。

1（離散型）隨機(jī)變量含義的正確理解

隨機(jī)變量的定義：如果對于試驗的樣本空間 中的每一個樣本點(diǎn) ，變量X都有一個確定的實(shí)數(shù)值與之對應(yīng)，則變量X是樣本點(diǎn) 的實(shí)函數(shù)，記作X=X（ ）。我們稱這樣的變量X為隨機(jī)變量。

從隨機(jī)變量的具體分析來看，其教學(xué)的內(nèi)容相對比較簡單，一般只涉及兩方面的內(nèi)容，即概率論和數(shù)理統(tǒng)計。但是從實(shí)際應(yīng)用來看，其會涉及許多學(xué)生所不具備的基礎(chǔ)知識，所以單就隨機(jī)變量而言，其表現(xiàn)出了抽象性和孤立性。為了在教學(xué)的過程中使學(xué)生對實(shí)驗結(jié)果的數(shù)量化認(rèn)知更加的自然，讓學(xué)生對隨機(jī)變量引入的簡潔性進(jìn)行感受十分的必要。就教材內(nèi)容來看，拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，產(chǎn)品檢驗中次品的件數(shù)等都是與之相關(guān)的內(nèi)容。通過大量實(shí)例的分析，引導(dǎo)學(xué)生逐步理解隨機(jī)變量的含義。有些老師因為課時緊張，匆匆?guī)н^，忽略學(xué)生知識形成過程。教材中提到“在研究隨機(jī)現(xiàn)象時，需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量”。如何了解這句話？什么為之恰當(dāng)？教材安排電燈泡的使用壽命的例子，如果我們僅僅關(guān)心電燈泡的使用壽命是否不少于1000小時，那么就可以定義如下的隨機(jī)變量： ，如果規(guī)定壽命在500小時以上的燈泡為一等品；壽命在1000小時到1500小時之間的為二等品；壽命在1000小時之下的為不合格品.如果我們關(guān)心燈泡是否為合格品，應(yīng)該如何定義隨機(jī)變量？如果我們關(guān)心燈泡是否為一等品或二等品，應(yīng)該如何定為義隨機(jī)變量？如果我們關(guān)心燈泡的使用壽命，應(yīng)該如何定義隨機(jī)變量？通過對問題的發(fā)散，訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題需要恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量的能力，一個好的例子勝過一千次說教。

例題中，根據(jù)題意，水庫安裝的發(fā)動機(jī)臺數(shù)為1，2，3三種情況，但安裝的發(fā)電機(jī)不一定能發(fā)動，隨機(jī)變量年利潤是由發(fā)動的發(fā)電機(jī)決定的，進(jìn)一步發(fā)電機(jī)能否發(fā)動是由年流入量決定的。所以這三種情況的年利潤由年流入量決定，但考慮年流量的角度不同。若安裝一臺發(fā)電機(jī)，水庫年入流量都在40以上，則發(fā)電機(jī)全部發(fā)動；若安裝兩臺發(fā)電機(jī)，則要考慮發(fā)動一臺的情況和發(fā)動兩臺的情況，年流入量80以下發(fā)動一臺，80以上發(fā)動兩臺，80是個臨界點(diǎn)；若安裝三臺發(fā)電機(jī)，則要考慮發(fā)動一臺、兩臺和三臺情況，年流入量80以下發(fā)動一臺，年流入量80以上120以下發(fā)動兩臺，年流入量120以上發(fā)動三臺。根據(jù)安裝發(fā)電機(jī)臺數(shù)不同，定義隨機(jī)變量年利潤不同。

2離散型隨機(jī)變量均值在決策問題的應(yīng)用

離散型隨機(jī)變量均值“是離散型隨機(jī)變量取值的平均水平”。這里“平均水平”的含義可從兩種角度來理解：第一種從定義的角度，隨機(jī)變量是以概率為權(quán)的加權(quán)平均；第二種是從樣本（或觀測）的角度，隨機(jī)變量的均值是該隨機(jī)變量的多次獨(dú)立觀測值的算術(shù)平均值（當(dāng)觀測次數(shù)趨于無窮時）的極限，即由獨(dú)立觀測組成的隨機(jī)樣本平均值（當(dāng)樣本容量趨于無窮時）的極限。在實(shí)際應(yīng)用中，特別是在決策中，第二種理解作為我們利用均值解決實(shí)際問題的重要依據(jù)。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教材書數(shù)學(xué)（A版）選修2-3第二章2.3例3是一個典型的決策問題，教學(xué)中應(yīng)突破讓學(xué)生了解為什么用平均損失最小的原則來決策，逐層遞進(jìn)，讓學(xué)生有利用均值解決生活中決策問題的思想。例題講述是氣象情況不確定，有多種情況發(fā)生，選用哪個方案好。如果氣象情況確定，選用哪個方案確定，由于氣象情況不同，選用的方案不同。而隨機(jī)變量的均值是該隨機(jī)變量的多次獨(dú)立觀測值的算術(shù)平均值，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。因此我們可以用平均損失最小的原則來保證在遭受到多次損失的情況下，各次損失的平均值接近于最小。教材例3與例題有著異曲同工的效果，只不過選擇方案換成選擇安裝多少臺發(fā)動機(jī)，都是決策性問題，都需要用均值解決。考題中明確說明利潤均值最大，如果題目刪除此句，考生應(yīng)該也有均值思想。

3不可忽視的數(shù)學(xué)閱讀能力

從近年來的高考分析來看，其對于學(xué)生閱讀的要求在不斷的提升，考察學(xué)生閱讀理解能力的題目也在顯著的增多。對于此類題目，要進(jìn)行解決，最有效的辦法就是對題目當(dāng)中的各類信息進(jìn)行把握，然后綜合上下文的內(nèi)容分析出可利用的條件，這樣，看似沒有條件的題目才能夠得到有效的解決。簡言之，閱讀能力的強(qiáng)化和分析能力的加強(qiáng)，對于解決閱讀類題目幫助巨大。而就此類題目的具體分析來看，其具有四個顯著的特點(diǎn)：第一，構(gòu)思較為新穎；第二，綜合性較強(qiáng)；第三，知識面較為廣泛；第四，信息量較大。學(xué)生看到大段的題目時心里瞬間涌起抗拒的情緒，未審題就望而卻步，為其貼上了“難題”的標(biāo)簽?；陬}目特點(diǎn)，老師在具體的時候，要對學(xué)生的閱讀能力進(jìn)行強(qiáng)化培養(yǎng)，這樣才能讓學(xué)生在面對閱讀類題目的時候能夠準(zhǔn)確理解和分析，進(jìn)而獲得有效的訊息。

就現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)分析來看，教科書在教學(xué)活動當(dāng)中的主體地位十分的明顯，一方面，其是老師教學(xué)基礎(chǔ)依據(jù)，另一方面，其是學(xué)生獲取知識的主要材料，而且就教科書的具體分析來看，其還具備的思想性和科學(xué)性。數(shù)學(xué)教科書不僅能夠充實(shí)學(xué)生的基本技能，還能將生活中的一些實(shí)事融入進(jìn)教材中，通過與實(shí)際的結(jié)合來滲透科學(xué)思想，所以說，教科書在具備科學(xué)性的基礎(chǔ)上也對學(xué)生的心里順序進(jìn)行了考慮。再者，教科書的利用對于學(xué)生的閱讀能力培養(yǎng)也有著吉吉的意義，因此說，數(shù)學(xué)教科書的綜合性價值顯著。從目前的教學(xué)分析來看，由于教師在教學(xué)中，過于重視教材的研讀，忽視了教科書的重要性，所以在教學(xué)開展中，老師所遵循的一般模式是先領(lǐng)導(dǎo)學(xué)生做具體內(nèi)容的分析，然后才進(jìn)行教科書的閱讀與了解，這種教學(xué)模式的即時性效果顯著，但是學(xué)生自己體會教科書的在有效性卻大打折扣。如果長期遵循這樣教學(xué)模式，學(xué)生自我閱讀和理解教科書的機(jī)會會越來越少，這對于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升和閱讀理解能力的培養(yǎng)十分的不利?；谏鲜鰡栴}的考慮，老師在教學(xué)開展的時候?qū)φn堂做合理的安排，既留給學(xué)生自主閱讀教材的時間，又可以通過教學(xué)串聯(lián)實(shí)現(xiàn)舊知識的回顧和新知識的開啟。在這樣的串聯(lián)教學(xué)中，教學(xué)效果會獲得循環(huán)式上升?？偠灾?，通過課堂的科學(xué)構(gòu)建，留給學(xué)生自我閱讀教材的時間，這樣，其自主學(xué)習(xí)可以得到培養(yǎng)和強(qiáng)化。

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