王瑤

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）23-0177-02

豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法，使學生學會學習，為終身學習和終身發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)，是中學數(shù)學新課程追求的基本理念。學生的數(shù)學學習方式不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還必須倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習方式，力求發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。

作為一線數(shù)學教師應當努力在日常的課堂中教會學生自主探索，合作交流等學習方式，下面是筆者在“平行四邊形的判定方法”的教學中的一個片段。

老師（以下記為T）：上節(jié)課我們一起學習了平行四邊形性質(zhì)，ABCD，對應邊平行且相等AB∥DC，AD∥BC；AB=DC，AD=BC；對應角相等∠A=∠C，∠D=∠B；對角線互相平分OA=OC，OD=OB；

T：今天我們將一起探究平行四邊形的判定方法，請同學們嘗試構(gòu)造判定四邊形為平行四邊形的命題？

學生1（以下記為S）：我想利用平行四邊形的定義：兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形，AB∥DC，AD∥BC ABCD①。

T：非常好，這是定義。還有嗎？

S2：兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形，AB=DC，AD=BCABCD②；兩組對角相等的四邊形是平行四邊形，∠A=∠C，∠D=∠BABCD③；兩組對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，OA=OC，OD=OBABCD④。

T：S2通過將平行四邊形的性質(zhì)的條件與結(jié)論交換一下子給我們提供了三個命題，這些命題正確嗎？如果正確請證明，如果不正確請你舉出反例。

同學們討論起來，經(jīng)過巡視發(fā)現(xiàn)，有部分學生不知怎樣才能證明四邊形是平行四邊形？

T：怎樣才能證明四邊形是平行四邊形呢？我們現(xiàn)有的知識是什么？

S3：S1提出的平行四邊形的定義：AB∥DC，AD∥BC ABCD。所以我們可以通過分別證明兩組對邊平行來達到目的。

很快大家都找到了證明命題②③④的方法

T：這樣我們已經(jīng)找到四種方式判定四邊形是平行四邊形，還有其他的方式嗎？注意在我們判斷構(gòu)造的命題是否正確時，我們可以使用上述已經(jīng)證明的四條判定。

一時間大家沉默了。

T：大家想想全等三角形的性質(zhì)和判定，我們除了像S2這樣將性質(zhì)的條件與結(jié)論互換，還可以將性質(zhì)中的結(jié)論做一些組合，構(gòu)造新的命題。

S4：可以將一組對邊平行和一組對邊相等結(jié)合起來構(gòu)造命題：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，AB∥DC，AB=DCABCD⑤。

S5：那也可以一組對邊平行，另一組對邊相等，AB∥DC，AD=BCABCD⑥。

S6：我發(fā)現(xiàn)在很容易找到命題⑤的證明方法：

連接AC，可以通過SAS證明△ADC與△ABC全等，從而證明四邊形是平行四邊形。

但是，在證明命題⑥時，遇到一點困難，我仍然想證明△ADC與△ABC全等，可是找到的條件卻是SSA。

S7：命題⑥是不正確的，我找到了反例：

如圖：AB∥DC，AD=BC，但四邊形ABCD不是平行四邊形，是一個等腰梯形。

T：請問S7你是怎樣找到這個反例的？

S7：我先畫了兩條平行的線，我發(fā)現(xiàn)我在找另一組對邊相等時，有兩種情況，其中一種如圖不是平行四邊形。

S6：老師我明白啦（大叫），我在證明命題⑥時遇到的問題SSA不能證明三角形全等，正好可以幫我們找到反例，我只要畫出兩個△ADC與△ABC滿足SSA（即：AC=AC，AD=BC，∠ACD=∠CAB）但不全等即可。

T：S6，S7兩位同學的方法都很好，當我們無法確定一個命題是否正確時，可以嘗試找反例。在證明中無法突破的點，恰好可以幫助我們找到反例。

S8：剛剛S4將一組對邊平行和一組對邊相等結(jié)合起來，我可以將一組對邊平行和一組對角相等結(jié)合，或者將一組對邊平行和一條對角線被平分結(jié)合得到命題AB∥DC，∠A=∠CABCD⑦；AB∥DC，OA=OCABCD⑧。而且我發(fā)現(xiàn)通過三角形全等可以很容易證明這兩個命題是正確的。

T：S8為我們提供了構(gòu)造命題的思路。

S9：我們已經(jīng)找到了八個命題，我發(fā)現(xiàn)通過邊角對角線的組合，還可以找到四個命題分別是：AB=DC，∠A=∠C ABCD⑨；AB=DC，OA=OCABCD⑩；∠A=∠C，OA=OCABCD；∠A=∠C，OB=ODABCD。

T：S9提供的四個命題，留給大家課后討論它們的真假性。

通過剛才的討論，我們師生合作，找到了多個判定平行四邊形的命題。大家對平行四邊形的判定一定會有新的認識，能進一步感受在幾何中性質(zhì)與判定之間的關(guān)系，為后續(xù)學習菱形，矩形，正方形的性質(zhì)與判定提供了典范。在判斷命題的真假時，通過已學過的定理說理證明其正確性，或者通過構(gòu)造反例說明其不正確。對于上面這樣的探究問題，其實我們在學習全等三角形的時候就遇到過。我們先學習了全等三角形的性質(zhì)，接著學習全等三角形的判定。事實上我們也可以交換性質(zhì)的結(jié)論與條件，構(gòu)造命題判定三角形全等。所以在這一節(jié)的學習中，我們也可以采用探究的方式教學。

這節(jié)課中，與最后得到課本上給出的幾條平行四邊形的判定定理相比，學生經(jīng)歷的探究過程更為重要。經(jīng)過比較充分的討論，學生經(jīng)歷了通過交換性質(zhì)的條件與結(jié)論構(gòu)造命題，經(jīng)歷了將邊、角、對角線的條件進行組合構(gòu)造命題，實際上數(shù)學突出的學生在將邊、角、對角線進行組合時，會發(fā)現(xiàn)兩組對邊相等，兩組對邊平行，兩組對角相等，兩條對角線互相平分，一共八個條件，兩兩組合可以構(gòu)造出12個不同的命題。在構(gòu)造好命題后，猜想命題的真假、并作出驗證。這個過程，加深了學生對平行四邊形的性質(zhì)及其判定的理解，也讓學生領(lǐng)悟了在幾何中如何由已知證未知，如何找反例證偽。在我們的探究過程中，①是利用定義判定，②④⑤是平行四邊形的判定定理可以通過①證明得到，已經(jīng)證明的定理又可以用于新命題③⑦⑧的證明。最關(guān)鍵的是這個過程讓學生感受探究后的成功和喜悅，化被動學習為主動學習。在后續(xù)學習新的圖形例如：菱形、矩形、正方形時，學生會主動對其性質(zhì)判定進行探究，而不是死板的學習課本上的黑體字定理。盡管還有四個命題我們沒有探究其正假性，這四個命題相比其它八個也有一定難度，但這樣的提出問題，讓學生感受到問題，讓有興趣的學生課下繼續(xù)探究是必要的。課堂進行這樣的探究也許不能直接“應試”，可是研究、探索新問題的意識、思路、方法和能力更為重要！

在很長一段時間內(nèi)，人們對于數(shù)學的探究性學習未能給予充分的重視，使得學生對數(shù)學的興趣日趨減少，認為數(shù)學就是做題，學數(shù)學沒用，也就是考試、升學有用。實踐表明，在日常數(shù)學教學中，多開展探究性教學活動，有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，有利于增強學生的探究意識，有利于擴展學生的視野。

學習數(shù)學的最終目的是為了培養(yǎng)數(shù)學能力，提高數(shù)學素養(yǎng)，使所有學生都具有一雙能用數(shù)學視角觀察世界的眼睛，一個能用數(shù)學思維思考問題的頭腦。為此，每個同學都要成為課堂學習的主人，成為積極的參與者、探索者、合作者。我們要努力做一個善于發(fā)現(xiàn)問題，探究問題，解決問題的的有心人，并將這種能力用到以后的學習和工作中。

參考文獻：

[1]楊裕前董林偉義務教育教科書數(shù)學.南京：江蘇鳳凰科學技術(shù)出版社，2016.6.

[2]義務教育數(shù)學課程標準.北京：北京師范大學出版社.2011.