李冰清

摘要：多元變量問題在綜合題出現(xiàn)的幾率非常高，同時(shí)還是一個(gè)難點(diǎn)。根據(jù)已知直接解決，確實(shí)很難找到一個(gè)有效的途徑，但如若根據(jù)已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化成為線性規(guī)劃或者直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，就能夠輕松解決問題，不僅能夠降低問題的難度，還能夠提高正確率。

關(guān)鍵詞：多元變量問題；有效途徑；轉(zhuǎn)化

函數(shù)中的多元變量問題是函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題的一個(gè)難點(diǎn)，其困難之處如何構(gòu)造合適的一元函數(shù)，在處理多元不等式可以利用條件粗略確定變量的取值范圍，然后處理好相關(guān)函數(shù)的分析。本文中，筆者以兩道習(xí)題（例1、例2）為例，探究了轉(zhuǎn)化——解決解決多元變量問題的有效途徑.

一、轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題是高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)教材的重點(diǎn)內(nèi)容，也是近年高考命題的熱點(diǎn)。線性規(guī)劃問題的常規(guī)解法是“截距法”，即利用線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（b≠0）的幾何意義：“是直線，y=-x+在y軸上的截距”來求解.而對(duì)于有些線性規(guī)劃問題.也可以運(yùn)用新的視角探究其解法.

例1.已知函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖像關(guān)于點(diǎn)（1， 0）對(duì)稱，若實(shí)數(shù)x， y滿足不等式f（x2-2x）≤-f（2y-y2），且1 ≤ x ≤ 4，則的取值范圍是_____

[解析] f（x2-2x）≤-f（2y-y2）f（x2-2x）≤ f（ y2-2y）x2-2x≥ y2-2y，即（x2-y2）-2（x-y）≥0，所以有（x-y）（x+y-2）≥0。再結(jié)合1≤x≤4可作出可行域（如圖），數(shù)形結(jié)合可知的范圍是[-，1]

[點(diǎn)評(píng)]從所求出發(fā)可聯(lián)想到（x， y）與（0，0）連線的斜率，先分析已知條件，由f（x-1）對(duì)稱性可知f（x）為奇函數(shù)，再結(jié)合單調(diào)遞減的性質(zhì)可將所解不等式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率范圍問題。

二、轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題

二元變量最值問題是高中數(shù)學(xué)中的一大難點(diǎn)，這類問題知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、解題方法靈活，能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和思維能力，具有較好的區(qū)分度，是命題者比較青睞的題型，在各類綜合性考試以及高考中出現(xiàn)的頻率都非常高.二元變量最值問題涉及到函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃等諸多重要的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還體現(xiàn)了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等核心數(shù)學(xué)思想。

例2.設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且對(duì)于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果實(shí)數(shù)m，n滿足不等式組，那么m2+n2的取值范圍是（ ）

A.（3， 7） B.（9， 25） C.（13， 49） D.（9， 49）

[解析]由f（1-x）+f（1+x）=0可得：f（1-x）=-f（1+x），所以f（x）關(guān)于（1， 0）中心對(duì)稱，即-f（x）=f（2-x），

所以：f（m2-6m+23）+ f（n2-8n）<0f（m2-6m+23）<-f（n2-8n）= f（2-n2+8n），利用f（x）單調(diào)遞增可得：

m2-6m+23<2-n2+8n（m-3）2+（n-4）2<4，所以m，n滿足的條件為①，所求m2+n2可視為點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)距離的平方，考慮數(shù)形結(jié)合。將①作出可行域，為以C（3，4）為圓心，半徑為2的圓的右邊部分（內(nèi)部），觀察圖像可得該右半圓距離原點(diǎn)的距離范圍是 ，所以m2+n2∈（13，49）。

[點(diǎn)評(píng)]二元變量問題一般與圓錐曲線的軌跡方程有密切聯(lián)系，如果根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)合理的轉(zhuǎn)化即可利用曲線軌跡中的最值問題來解決，本題首先考慮變形f（m2-6m+23）+ f（n2-8n）<0，若想得到m，n的關(guān)系，那么需要利用函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)變?yōu)槔ㄌ?hào)內(nèi)式子的大小。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的具有“新”和“活”的特點(diǎn)，具有原創(chuàng)性，所以在做題過程中，需要突破固有的思維方式去進(jìn)行閱讀和理解。在解答創(chuàng)新題的過程中遇到的第一個(gè)難題就是讀不懂題，理解不了題目的意思，這樣直接導(dǎo)致后續(xù)過程停滯。多元變量問題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法眾多，對(duì)于這類問題的解決，不但能豐富知識(shí)儲(chǔ)備，提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力，而且有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

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[2]龍林川.淺談二變量線性規(guī)劃問題的圖解法[J].科技信息.2012（25）