秦緒健

在高中物理學(xué)習(xí)中，物理圖像中斜率的應(yīng)用非常廣泛，有不少同學(xué)對此缺乏正確的分析，常?；煜甭实膽?yīng)用或者忽略有關(guān)限制條件。如果對這類問題模棱兩可，領(lǐng)會不深刻，會導(dǎo)致物理學(xué)習(xí)出現(xiàn)較大困難，做題時有會而不對，對而不全的情況，甚至對有些題目無從下手。

下面對斜率的有關(guān)問題進(jìn)行討論。

一、割線斜率與切線斜率的比較

從數(shù)學(xué)知識可知，斜率是表示一條直線對橫坐標(biāo)軸的傾斜程度，通常是用直線和水平線的夾角的正切來表示。如圖1所示，Ⅰ線為P點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)相連接的割線，其斜率k=，即過原點(diǎn)的割線斜率為相應(yīng)的y與x瞬時值的比值；Ⅱ直線為P點(diǎn)的切線，其斜率k1=，即切線斜率為相應(yīng)的y與x微小變化量的比值。顯然，在圖線為曲線時，某點(diǎn)的切線斜率與過該點(diǎn)和原點(diǎn)的割線斜率一般并不相等，只有在圖線為過原點(diǎn)的直線時，兩者的斜率才一定相等。

因此，在物理圖像中，兩種斜率所反映的問題是不同的，用切線的斜率來表示的是用微小變化量的比值來反映的物理量，如：

1.速度v=，在x-t圖像中，切線斜率表示速度的瞬時值。

2.加速度a=，在v-t圖像中，切線斜率表示加速度的瞬時值。

3.電流強(qiáng)度I=，在q-t圖像中，切線斜率表示電流強(qiáng)度的瞬時值。

4.電動勢E=n，在Ф-t圖像中，切線斜率表示電動勢的瞬時值。

用過原點(diǎn)的割線來表示的是相應(yīng)瞬時值的比值來反映的物理量，如：

1.電阻R=，在U-I圖像中，過原點(diǎn)的割線斜率表示電阻值。

2.質(zhì)量倒數(shù)=，在a-F圖像中，過原點(diǎn)的割線斜率表示質(zhì)量的倒數(shù)值。

下面探討運(yùn)用斜率法解題：

例1：列車在恒定功率機(jī)車牽引下，從車站出發(fā)行駛5min，使速度達(dá)到20m/s，那么在這段時間內(nèi)，列車行駛的路程（ ）

A.一定小于3km B.一定等于3km

C.一定大于3km D.不能確定

解析 列車在恒定功率下行駛，牽引力隨速度增加而減小。因此，列車做初速度為零的加速度不斷減小的加速運(yùn)動。由此可做出v-t圖像①曲線（圖2），圖②直線為加速度不變的參考的v-t圖線。比較①②線所圍的“面積”，便可得答案C正確。

中學(xué)里解此題，若不做v-t圖像，不用斜率法幾乎不可能求解的。斜率法解此題形象直觀。

例2：一個標(biāo)有“220V 60W”的白熾燈泡，加上的電壓U由零逐漸增大到220V，在此過程中，電壓U與電流I的關(guān)系可用圖線表示題中給出的四個圖線中，符合實際的是（ ）

解析 因金屬導(dǎo)體的電阻率隨溫度的升高而增大，故加到白熾燈泡上的電壓由零逐漸增大到220V的過程中，鎢絲的電阻值逐漸增大。因此，過U-I 曲線上的點(diǎn)和原點(diǎn)的割線的斜率，隨U（或I）的增大而增大，從而可判定圖線B是符合實際情況的。

此題存在著用切線斜率來判斷的錯誤，需引起注意。

二、用斜率表達(dá)物理量的限制條件

應(yīng)用斜率解決物理問題時，在應(yīng)用k=tanа時，若忽視限制條件，不考慮物理意義，容易出現(xiàn)數(shù)學(xué)與物理知識的矛盾，很多同學(xué)卻往往忽略這一點(diǎn)。

對于斜率，數(shù)學(xué)上是這樣定義的：

“直線傾角為а時，斜率k=tanа，0≤а≤∏”。它是在橫縱坐標(biāo)軸標(biāo)度相同時方能成立的。

例1：感應(yīng)電動勢E=ΔФ/Δt=tanа=斜率，依據(jù)原文中給定的已知條件，我們可以通過兩條途徑計算電動勢的數(shù)值。

解法一：由圖可見，如果以縱橫坐標(biāo)增量的比值計算電動勢：

E= tanа=ΔФ/Δt=（20-5）/（4-1）=5（V）

解法二：若用E=tan45°=1V

上述計算，在角度相同（同是а）的情況下卻得到了不同的正切值，亦即兩種方法得到電動勢的數(shù)值是不同的。

我們知道，在三角函數(shù)中，正切值tanа是隨著角度а（自變量）而變化的。角度а相同時就應(yīng)該有相同的正切值，以上由于計算方法的不同而得到不同的結(jié)果，很顯然解法二是不正確的。

由此可見，直線傾角а的大小與它所在的坐標(biāo)系的橫縱坐標(biāo)單位長度（標(biāo)度）的取值有關(guān)，標(biāo)度不同就會有不同的а和tanа值。因此，用E= tan45°計算電動勢時，橫坐標(biāo)t與縱坐標(biāo)Ф單位長度必須取值相同時，才能有唯一的角度а和正切值tanа。原題所給圖形的橫縱坐標(biāo)標(biāo)度不一致，所以在這種情況下，就不能用斜率計算電動勢的數(shù)值。

在物理學(xué)中，用斜率tanа表達(dá)有關(guān)物理量往往比較簡潔明了，因此在物理量的表述上應(yīng)用頗多。但我們一定要注意限制條件：只有橫縱坐標(biāo)標(biāo)度相同時，才能用斜率tanа計算有關(guān)物理量，否則只能用縱橫坐標(biāo)增量比值的計算方法?？傊?，我們在物理學(xué)習(xí)中，要把單純的數(shù)學(xué)知識運(yùn)用同物理意義有機(jī)結(jié)合起來，而不是單純的套用公式而忽視物理意義，以免出現(xiàn)錯誤的多值結(jié)果。

總之，研究物理圖像問題時，首先注意分析斜率的物理意義，搞清割線斜率和切線斜率的意義，不能混淆；其次，注意斜率表達(dá)物理量的限制條件，搞清標(biāo)度和直線夾角的關(guān)系，通過分析做出正確的判斷。