彭麗霞，趙聯(lián)文，謝 波，王麗梅

（西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都610675）

社會消費品零售總額是指一定時期內(nèi)國民經(jīng)濟(jì)各部門向消費者出售消費品和向農(nóng)村出售農(nóng)業(yè)生產(chǎn)資料以及農(nóng)民對非農(nóng)業(yè)居民直接零售的總額。它在國民經(jīng)濟(jì)核算中占據(jù)了很重要的位置，也表明了消費需求是最終需求占有比例最多的部分[1]。目前，消費需求是經(jīng)濟(jì)增長的重要組成部分，構(gòu)建合適的模型對其作預(yù)測，分析成都市社會消費品零售總額的發(fā)展趨向，進(jìn)一步了解成都市的經(jīng)濟(jì)增長情況，從而為有關(guān)部門做出正確決策提供合理的依據(jù)[2]。

本文選用簡單季節(jié)模型、乘積季節(jié)模型和X-12加法模型三種季節(jié)時間序列模型對2004—2015年成都市社會消費品零售總額季度數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析并預(yù)測2016年成都市社會消費品零售總額季度數(shù)值，比較在三種模型下2016年季度數(shù)據(jù)和年度數(shù)據(jù)真實值與預(yù)測值的相對誤差大小，并分析成都市社會消費零售總額隨時間推移的變化規(guī)律。

一、季節(jié)時間序列模型

具有季節(jié)性的時間序列在一定周期內(nèi)表現(xiàn)出相似性。具有趨勢性的時間序列在較長持續(xù)期內(nèi)其數(shù)據(jù)依時間而變化，呈現(xiàn)出不斷減少或不斷增加或在某一常值附近波動的總趨勢[3]。呈現(xiàn)季節(jié)性又呈現(xiàn)趨勢性，即為季節(jié)時間序列，往往通過差分運算使序列平穩(wěn)。一般情況下，呈線性趨勢的時間序列通過一階差分可以將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列；二階或三階差分可以將具有曲線趨勢效應(yīng)的序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列；通過以周期為步長作差分，可以很好地消除具有季節(jié)效應(yīng)序列的季節(jié)性[4]。

通過趨勢差分和季節(jié)差分能完全提取季節(jié)時間序列的季節(jié)性，使變換后的序列為平穩(wěn)序列，則通常選用簡單季節(jié)模型。但一般情況下，季節(jié)時間序列受長期趨勢、季節(jié)波動、隨機(jī)波動之間的相互作用，趨勢差分和季節(jié)差分不能完全提取出序列的季節(jié)性，則選用乘積季節(jié)模型。

上述模型通過差分來消除季節(jié)效應(yīng)，而在季節(jié)時間序列中，還有一種觀點是對季節(jié)性因素做一個評估，然后剔除季節(jié)因素，從而正確展示不規(guī)則因素或非季節(jié)因素的發(fā)展規(guī)律，也即季節(jié)調(diào)整理論。加法模型和乘法模型是提取季節(jié)因素最常用的模型。本文涉及的模型如下：

（一）簡單季節(jié)模型

通過趨勢差分，季節(jié)差分使序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，再對差分后的序列構(gòu)建ARMA模型，稱為簡單季節(jié)模型。簡單季節(jié)模型的模型常規(guī)形式為：

式中，D為周期步長，d為消除趨勢性的差分階數(shù)，Θ（B）=1－θ1B－…－θqBq為q階移動平均系數(shù)多項式，Φ（B）=1－θ1B－…－θpBp為 p 階自回歸系數(shù)多項式，{εt}為白噪聲序列，且 E（εt）=0,Var（εt）=σ2ε。

（二）乘積季節(jié)模型

乘積季節(jié)模型通常假設(shè)序列短期相關(guān)性和季節(jié)相關(guān)性有乘法關(guān)系。乘積季節(jié)模型的原理是：若序列通過d階趨勢差分和D階以周期S為步長的季節(jié)差分后的序列本身具有短期相關(guān)性，則構(gòu)建ARMA（p,q）模型；若具有季節(jié)效應(yīng)，且季節(jié)效應(yīng)本身具有相關(guān)性，則構(gòu)建以周期為步長的ARMA（P,Q）模型。因此，ARMA（p,q）和ARMA（P,Q）的乘積就代表短期相關(guān)性和季節(jié)效應(yīng)之間有乘法關(guān)系，乘積季節(jié)模型簡記為 ARIMA（p,d,q）×（P,D,Q）S。

乘積季節(jié)模型的常規(guī)形式：

式中，U（Bs）=1-u1Bs-u2B2s-…-upPs，V（Bs）=1-v1Bs-v2B2s-…-vQPs，可以提取對不同周期的同一周期點之間的關(guān)聯(lián)性；Θ（B）=1－θ1B－…－θqBq,Φ（B）=1－θ1B－…－θpBp，用來提取同一周期不同周期點之間的關(guān)聯(lián)性；p和q是剔除同一周期不同周期點之間相關(guān)性的自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù)，P和Q是剔除不同周期的同一周期點之間相關(guān)性的自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù)，s為周期步長，d為差分的階數(shù)，D為季節(jié)差分的階數(shù)[5]。

（三）X-12加法模型

1954年美國商務(wù)部國勢普查局(Bureau of Census，Department of Commerce)在美國全國經(jīng)濟(jì)研究局(NBER)戰(zhàn)前研究的移動平均比法(The Ratio-Moving Average Method)的基礎(chǔ)上，研發(fā)了用于季節(jié)調(diào)整的最開始程序，便長時間地對經(jīng)濟(jì)的時間序列作季節(jié)調(diào)整。經(jīng)過幾次改進(jìn)，X-11已成為廣泛使用的季節(jié)調(diào)整方法[3]。

在X-11方法中，假定任何時間序列Xt可以被分解為循環(huán)趨勢項CTt、季節(jié)波動項St和不規(guī)則波動項It。則任何時間序列可以做如下分解：

乘法模型：

加法模型：

X-12季節(jié)調(diào)整方法是X-11方法的擴(kuò)展。乘法、加法、偽加法和對數(shù)加法模型是X-12季節(jié)調(diào)整方法的四種季節(jié)調(diào)整的分解形式[3]。本文對成都市社會消費品零售總額序列擬合選用X-12加法模型。

對于序列Xt的分解可以通過軟件Eviews8.0的X-12季節(jié)調(diào)整程序得到循環(huán)趨勢項、季節(jié)波動項和不規(guī)則波動項的序列值。然后，對各序列值進(jìn)行預(yù)測分析，具體步驟如下。

1.循環(huán)趨勢項預(yù)測

選用殘差自回歸模型對循環(huán)趨勢項預(yù)測，即以時間t為解釋變量對CTt建立趨勢模型，然后對趨勢模型產(chǎn)生的殘差序列{ωt}建立AR（p）模型，最后通過對AR（p）模型檢驗以確認(rèn)模型擬合充分。殘差自回歸模型的常規(guī)形式為：式中，{εt}是白噪聲過程，第一個模型是趨勢模型，第二個模型是AR（p）模型[6]。

2.季節(jié)波動預(yù)測

對于季節(jié)波動預(yù)測有以下幾種方法：①對序列St的同期求均值，作為預(yù)測期的季節(jié)波動值。②對序列St根據(jù)時間上的距離遠(yuǎn)近對歷史值的季節(jié)波動值給予大小不同的權(quán)值并求和，得出的數(shù)值即為下一期的季節(jié)波動值[7]。③將分離得到序列St的最后一期的季節(jié)波動值作為預(yù)測期的季節(jié)波動值。

3.不規(guī)則波動預(yù)測

對序列It作白噪聲檢驗，若序列值之間沒有任何相關(guān)性，即滿足γ（k）=0,?k=0，則認(rèn)為序列It是白噪聲過程。故預(yù)測期的不規(guī)則波動值使用分離得到序列It的最后一期不規(guī)則波動值；若序列之間有相關(guān)性，則對序列It建立AR（p）模型并預(yù)測得到預(yù)測期的不規(guī)則波動值[8]。

二、社會消費品零售總額的季節(jié)時間序列建模

（一）數(shù)據(jù)說明

本文選用成都市統(tǒng)計局公布的成都市2004—2016年的季度社會消費品零售總額季度數(shù)據(jù)，此處選取2004—2015年的季度數(shù)據(jù)為樣本，建立三種時間序列模型，并利用構(gòu)建模型對2016年季度社會消費品零售總額進(jìn)行預(yù)測分析。由圖1可以看出成都市社會消費品零售總額呈現(xiàn)出周期為4的季節(jié)效應(yīng)。通過Eviews 8.0可得到序列自相關(guān)圖如圖2所示，從圖2可以看出，序列自相關(guān)系數(shù)遞減到0的速度相當(dāng)慢，且從大于0的數(shù)到0再到小于0的數(shù)，呈現(xiàn)出三角對稱性，故可認(rèn)為該序列是具有單調(diào)趨勢的非平穩(wěn)序列。要使序列變?yōu)槠椒€(wěn)序列，就要對序列作季節(jié)差分和趨勢差分，再對其進(jìn)行建模分析。因為序列具有季節(jié)效應(yīng)，故采用簡單季節(jié)模型、乘積季節(jié)模型和X12加法模型三種季節(jié)時間序列模型對序列進(jìn)行建模分析，并利用建立的三種模型分別對2016年季度社會消費品零售總額進(jìn)行預(yù)測，與真實值作比較，分析每一種模型的預(yù)測精度。

圖1 社會消費品零售總額時序圖

圖2 序列自相關(guān)圖

（二）模型建立與分析

1.簡單季節(jié)模型

（a）對原始數(shù)據(jù)做對數(shù)變換，再用一階差分消除趨勢，用四步差分剔除季節(jié)效應(yīng)的影響。使用SAS 9.3軟件檢驗轉(zhuǎn)化后的序列是否平穩(wěn)。使用圖檢驗法和單位根檢驗法檢驗序列的平穩(wěn)性。圖檢驗法帶有主觀色彩，僅根據(jù)時序圖和自相關(guān)圖呈現(xiàn)的特性來判定序列是不是平穩(wěn)，而單位根檢驗是構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量進(jìn)行假設(shè)檢驗[9]。這里，采用增廣DF檢驗,即ADF檢驗判斷是否平穩(wěn)。兩種檢驗結(jié)果如表1和圖3所示。

表1 增廣Dickey-Fuller單位根檢驗

圖3 差分后時序圖和自相關(guān)圖

從圖3中的時序圖可以看出序列均值在0附近波動，可直觀得出序列平穩(wěn)。再觀察自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖，自相關(guān)圖呈現(xiàn)出一階自相關(guān)系數(shù)在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之外，其他階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)，認(rèn)為序列平穩(wěn)[10]。從表1的ADF檢驗結(jié)果可以判斷當(dāng)顯著性水平a取0.05時，p值均小于0.05，故判定序列平穩(wěn)。

（a）模型定階和參數(shù)估計。對于模型定階采用SAS系統(tǒng)提供的相對最優(yōu)模型定階，但是提供的模型參數(shù)未必都能通過參數(shù)檢驗，故還需調(diào)整。經(jīng)過模型對比得出對差分后的序列建立中心化AR(1)模型，其AIC值為-184.94和SBC值為-183.179相比其他模型較小。故模型最終表達(dá)式為：

（b）模型適應(yīng)性檢驗與序列預(yù)測。利用SAS軟件對模型的剩余殘差序列做白噪聲檢驗，由于平穩(wěn)序列具備短期相關(guān)性的特性，若序列有明顯相關(guān)關(guān)系，一般只存在延遲時期較短的序列。若平穩(wěn)序列短期延遲都不存在明顯的相關(guān)關(guān)系，長期延遲之間更不會有明顯的相關(guān)關(guān)系。因此，計算序列延遲6期和延遲12期的QLB統(tǒng)計量來判斷剩余殘差序列的隨機(jī)性（a=0.05）。由檢驗結(jié)果可知p值明顯大于0.05，得出剩余殘差序列是白噪聲過程，如表2所示。

表2 簡單季節(jié)模型的白噪聲檢驗結(jié)果

利用建立的簡單季節(jié)模型（6）對2016年每一季度的社會消費品零售總額進(jìn)行預(yù)測，并與2016年各季度的真實值比較，如表3所示。通過計算可得2016年每一季度的預(yù)測值與真實值的相對誤差控制在9%以內(nèi)，平均相對誤差是4.378%，該模型擬合效果一般。

表3 2016年各季度社會消費品零售總額的簡單季節(jié)模型預(yù)測值

2.乘積季節(jié)模型

（a）對原序列作對數(shù)變換，進(jìn)行一階4步差分剔除長期趨勢和季節(jié)波動，進(jìn)行單位根檢驗，檢驗差分后序列是否平穩(wěn)。對差分后序列ADF的單位根結(jié)果表明，ADF統(tǒng)計量為-10.671，顯著小于1%臨界值-2.621，認(rèn)為差分后序列為平穩(wěn)過程。

（b）模型估計。觀察平穩(wěn)序列的相關(guān)圖，如圖5所示，可見序列一階、二階偏自相關(guān)較高，滯后四階的自相關(guān)值和偏自相關(guān)值明顯增大。雖然三階之后都落在置信區(qū)間內(nèi)，但Q檢驗的p值前9階均小于0.05，序列存在自相關(guān)性。根據(jù)自相關(guān)檢驗圖嘗試使用乘積季節(jié)模型擬合序列并分別對其做參數(shù)估計。經(jīng)多次嘗試，模型ARIMA((1,3),1,(1,3))×(1,1,0)4的AIC值是-4.455，相對于其他模型要小，且模型參數(shù)不能拒絕參數(shù)為0的假定，故確定擬合模型為：

（c）模型適應(yīng)性檢驗與序列預(yù)測。利用Eviews 8.0可得到上述模型的剩余殘差圖序列的自相關(guān)函數(shù)圖，如圖6所示。從圖6中可以得出Q檢驗的p值明顯大于0.05，故認(rèn)為殘差序列為白噪聲過程，模型通過適應(yīng)性檢驗。

圖5 差分后自相關(guān)圖

圖6 剩余殘差自相關(guān)圖

利用模型（7）對2016年各季度的社會消費品零售總額進(jìn)行預(yù)測，并將實際值與預(yù)測值進(jìn)行比較，如表4所示。從表4中可以看出預(yù)測值與實際值的相對誤差控制在10%以內(nèi)，通過計算得平均相對誤差為5.18%。

表4 2016年各季度社會消費品零售總額的乘積季節(jié)模型預(yù)測

3.X-12加法模型

建立X-12加法模型的基本思想是把序列分解，并對每一個組成部分進(jìn)行預(yù)測分析，再把每個組成部分的預(yù)測值分別相加得到最終的序列預(yù)測值。

（a）利用Eviews 8.0對原序列做X-12季節(jié)調(diào)整,得到循環(huán)趨勢項CTt、季節(jié)因子St和不規(guī)則波動項It分離得到的每一個組成部分。

（b）循環(huán)趨勢項預(yù)測。由于循環(huán)趨勢項有曲線趨勢，調(diào)用SAS軟件中Forecast過程，對循環(huán)趨勢項建立殘差自回歸模型進(jìn)行擬合和預(yù)測。在這里先使用多項式擬合趨勢進(jìn)行擬合，再對殘差序列做自回歸擬合，然后通過逐步回歸的方法，篩選適合的延遲階數(shù)，得到最優(yōu)的AR模型。最終模型結(jié)果為：

式中，εt～WN(0,7.2434)。模型擬合結(jié)果R2=0.99。根據(jù)此模型預(yù)測循環(huán)趨勢項結(jié)果，如表5所示。

（c）季節(jié)波動預(yù)測。因季節(jié)波動隨著時間依次變大，故選用2015年的季節(jié)波動值作為2016年的季節(jié)波動值。

（d）不規(guī)則波動預(yù)測。對序列It做白噪聲檢驗。根據(jù)序列延遲6期和12期的QLB統(tǒng)計量，確定序列的隨機(jī)性（a=0.05），如表5所示。

表5 X-12加法模型的白噪聲檢驗結(jié)果

由于p值明顯大于顯著性水平a，所以該序列不能拒絕純隨機(jī)性假定，故認(rèn)為序列It是白噪聲過程。則2016年的各期不規(guī)則波動值取2015年的各期值。綜上已得到各部分預(yù)測值，再利用模型（5）得到最終的預(yù)測值，如表6所示。通過計算，在X-12加法模型下，2016年季度數(shù)據(jù)的相對誤差控制在7%以內(nèi)，平均相對誤差3.07%。

表6 X-12加法模型結(jié)果

（三）模型比較

三種模型對2016年成都市社會消費零售總額的季度數(shù)據(jù)預(yù)測有好有差，但綜合來看，X-12加法模型的季度總額平均相對誤差較小，且季度總額求和得到的年度總額比實際年度總額的相對誤差只有0.11%，如表7所示。故對于成都市消費零售總額的預(yù)測分析，選用X-12加法模型更加可信。這些數(shù)據(jù)能給有關(guān)部門提供更加確切的參考，從而指導(dǎo)地區(qū)發(fā)展。

表7 三種模型結(jié)果比較

三、結(jié)論

由于社會消費零售總額受到趨勢性和季節(jié)性的雙重影響，選取三種季節(jié)時間序列模型對成都市社會消費品零售額進(jìn)行擬合和預(yù)測。雖然簡單季節(jié)模型和乘積季節(jié)模型考慮了序列短期相關(guān)性和季節(jié)效應(yīng)的關(guān)聯(lián)性，但是預(yù)測效果都不是很好，而采用X-12加法模型對成都市社會消費零售總額進(jìn)行預(yù)測時，預(yù)測效果較好。相比其他兩種模型，其季度總額平均相對誤差和年度總額誤差都較小。因此，在實際應(yīng)用中，可采用X-12加法模型對社會消費品零售總額做預(yù)測。這不僅為政府部門制定政策提供了參考依據(jù)，也可以引導(dǎo)消費者合理消費，對地方經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展具有指導(dǎo)意義。

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