張莜燕， 苗紅意, 趙翠芳

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004;2.浙江師范大學(xué) 文化創(chuàng)意傳媒學(xué)院，浙江 金華，321004)

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和生活水平的提高，人們對(duì)通信系統(tǒng)的要求也向著高性能、大容量和更靈活的方向邁進(jìn).協(xié)作中繼技術(shù)作為一種全新的通信模式，有效提高了頻譜效率和系統(tǒng)容量，在研究領(lǐng)域及工程界都受到了廣泛關(guān)注，成為研究的熱點(diǎn)之一[1-4]，其核心問題是尋求各種能夠提高頻譜利用率和傳輸性能的有效手段作為支撐.由于協(xié)作通信系統(tǒng)和MIMO(multiple-input multiple-output)系統(tǒng)的相似性，大量針對(duì)MIMO技術(shù)與協(xié)作通信相結(jié)合的深層次研究已經(jīng)涌現(xiàn)，如空時(shí)編碼、預(yù)編碼技術(shù)等.

空時(shí)編碼技術(shù)無需獲知信道狀態(tài)信息，通過對(duì)抗無線信道的衰落獲得空間分集增益和編碼增益[5].預(yù)編碼技術(shù)通常運(yùn)用于發(fā)射端，依據(jù)接收機(jī)反饋的信道信息對(duì)發(fā)射信號(hào)進(jìn)行預(yù)變換，進(jìn)而抑制干擾，使系統(tǒng)誤碼等性能得到有效提升.若空時(shí)編碼系統(tǒng)恰好能獲知信道狀態(tài)信息，則可以在不改變發(fā)送端和接收端硬件裝置的前提下，充分利用該信息進(jìn)行預(yù)編碼設(shè)計(jì)，即將預(yù)編碼與空時(shí)碼技術(shù)相結(jié)合，同時(shí)獲得空間增益和角度選擇性增益，對(duì)容量及誤碼性能均有顯著改善，稱為“預(yù)編碼的空時(shí)碼技術(shù)”.針對(duì)MIMO系統(tǒng)中預(yù)編碼的空時(shí)碼技術(shù)，國內(nèi)外的學(xué)者進(jìn)行了大量的研究[6-7].文獻(xiàn)[6]研究了在與發(fā)送接收均相關(guān)的MIMO信道上，使符號(hào)錯(cuò)誤概率最小化的空時(shí)碼的預(yù)編碼問題，但問題的求解需要多次迭代才能實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)[7]在此基礎(chǔ)上提出了采用凸優(yōu)化的方法解決該優(yōu)化問題，并對(duì)2根和3根接收天線的特殊情況提出了閉式解，降低了問題求解的復(fù)雜度.中繼技術(shù)是MIMO技術(shù)的延伸，因此,針對(duì)預(yù)編碼的空時(shí)碼技術(shù)在中繼系統(tǒng)的研究也陸續(xù)出現(xiàn)[8-10].

文獻(xiàn)[8]研究了有限反饋下，從碼本中選擇預(yù)編碼矩陣的多中繼空時(shí)編碼系統(tǒng)，但該預(yù)編碼僅應(yīng)用于中繼端，并未在發(fā)送端采用；文獻(xiàn)[9]在發(fā)送端和中繼端均采用了預(yù)編碼與空時(shí)編碼的結(jié)合，但中繼端選擇了對(duì)設(shè)備要求較高的解碼轉(zhuǎn)發(fā)協(xié)議(decode-and-forward，DF)；文獻(xiàn)[10]采用較為簡單的放大轉(zhuǎn)發(fā)協(xié)議(amplify-and-forward,AF)，以最小接收信噪比最大化為目標(biāo)，在信道信息存在誤差的條件下，研究了空時(shí)編碼中預(yù)編碼矩陣設(shè)計(jì)的魯棒性問題，但并未考慮MIMO信道間的相關(guān)性.

本文研究源與中繼節(jié)點(diǎn)均采用預(yù)編碼的空時(shí)碼技術(shù)的中繼系統(tǒng)，采用放大轉(zhuǎn)發(fā)協(xié)議，對(duì)完備和不完備2種信道信息反饋下的情況進(jìn)行探討.與文獻(xiàn)[10]研究魯棒性不同，筆者將采用通用Kronecker模型，分析MIMO信道的相關(guān)性，通過推導(dǎo)誤符號(hào)率的近似表達(dá)式，分別建立接收信噪比最大化和誤符號(hào)率最小化的優(yōu)化目標(biāo)，求解發(fā)送功率為約束條件的聯(lián)合預(yù)編碼矩陣，并利用相關(guān)性，對(duì)聯(lián)合優(yōu)化問題采用兩步法求解.

1 系統(tǒng)模型

yRl=‖H1V1‖sl+nRl,l=1,2,…,L.

(1)

圖1 預(yù)編碼的空時(shí)碼系統(tǒng)框圖

yDl=‖H2V2‖tl+nDl,l=1,2,…,L.

(2)

(3)

(4)

2 系統(tǒng)的誤符號(hào)率分析

MγD(s)=Mγ1(s)+Mγ2(s)-Mγ1(s)Mγ2(s).

(5)

(6)

MPSK調(diào)制下的誤碼率表示為

(7)

將式(6)代入式(7)可求得誤碼率的近似表達(dá)式

(8)

3 不同信道條件下的預(yù)編碼矩陣

3.1 完備信道狀態(tài)信息下的預(yù)編碼矩陣

本節(jié)將基于推導(dǎo)的接收信噪比和誤碼率來設(shè)計(jì)完備和統(tǒng)計(jì)信道狀態(tài)信息下的預(yù)編碼矩陣.首先研究完備信道狀態(tài)信息.假定發(fā)送和接收之間存在高速反饋鏈路，發(fā)送端能獲得完備的信道信息，系統(tǒng)可以直接通過提高接收信噪比來降低誤碼率.因此,建立的優(yōu)化問題為：在各端點(diǎn)發(fā)射功率的約束下，求解源和中繼端的最優(yōu)預(yù)編碼矩陣，使系統(tǒng)總的接收信噪比最大化,即

(9)

(10)

(11)

由此，最大化問題可以轉(zhuǎn)化為兩式均通用的線性規(guī)劃問題:

該線性規(guī)劃問題可以采用專門軟件進(jìn)行求解.觀察問題的解，可知最優(yōu)化的功率分配方案為所有的功率均加載在對(duì)應(yīng)的信道矩陣最大特征值的特征方向上，而其他方向的功率為零.由此可知完備信道狀態(tài)信息下的預(yù)編碼矩陣的設(shè)計(jì)是特征波束成形.

3.2 統(tǒng)計(jì)信道狀態(tài)信息下的預(yù)編碼矩陣

在實(shí)際的移動(dòng)通信環(huán)境中，發(fā)送端獲知完備的信道信息十分困難，但統(tǒng)計(jì)信息的獲取則要簡單得多，因此,本節(jié)將對(duì)已知天線相關(guān)系數(shù)矩陣的中繼系統(tǒng)進(jìn)行探討，設(shè)計(jì)源和中繼端的預(yù)編碼矩陣，使系統(tǒng)的誤符號(hào)率最小，該優(yōu)化問題可以歸結(jié)為

(12)

(13)

式(12)中,誤碼率用式(8)代入.考慮到該優(yōu)化問題是一個(gè)非線性非凸的問題，并不容易解決，因此,與完備下的方式類似，采用先確定最優(yōu)化的方向，再確定最優(yōu)功率分配的方法.相對(duì)完備信道信息，統(tǒng)計(jì)信道信息下的求解相對(duì)較復(fù)雜，因此,將其總結(jié)為下面2個(gè)推論.

推論1當(dāng)預(yù)編碼矩陣的最優(yōu)化方向與發(fā)送端的天線相關(guān)系數(shù)矩陣的特征向量方向一致時(shí)，系統(tǒng)的誤符號(hào)率最小化，即預(yù)編碼矩陣可以分解為Vi=URtiEVi，其中URti是發(fā)送天線相關(guān)系數(shù)矩陣Rti的特征向量矩陣，EVi是決定功率分配的對(duì)角矩陣.

要證明推論1，首先要給出引理1及其證明.

引理1對(duì)于2個(gè)非負(fù)的獨(dú)立隨機(jī)變量w1與w2，滿足w1,w2∈(0,1)，函數(shù)f(w1,w2)=w1+w2-w1w2是單調(diào)遞增函數(shù).

因此,當(dāng)w1,w2最小化時(shí)，f(w1,w2)的函數(shù)值達(dá)到最小.

推論1的證明 假定W1(θ)，W2(θ)對(duì)任意θ∈[θ1,θ2]均為正定矩陣.定義Λ(X)：返回一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素是原矩陣X的對(duì)角值.對(duì)于所有θ∈[θ1,θ2]，與文獻(xiàn)[6]相似，有

det-1(Wi(θ))≥det-1(Λ(Wi(θ))),i=1,2.

等式當(dāng)且僅當(dāng)Wi(θ)為對(duì)角矩陣時(shí)取得.對(duì)det-1(Wi(θ))∈(0,1)，運(yùn)用引理1可得

f[det-1(W1(θ)),det-1(W2(θ))]≥f[det-1(Λ(W1(θ))),det-1(Λ(W2(θ)))].

將積分看成求和的特殊形式，對(duì)所有θ∈[θ1,θ2]，可以得到以下不等式[6]：

(14)

(15)

(16)

式(16)中,EVi為對(duì)角矩陣，即最優(yōu)化的方向與發(fā)送相關(guān)系數(shù)矩陣的特征向量方向一致.推論1證畢.

推論1亦表明:最優(yōu)化預(yù)編碼矩陣的方向只與發(fā)送端的天線相關(guān)矩陣有關(guān)，而與接收端的天線相關(guān)矩陣無關(guān).

推論2發(fā)送功率的分配問題可以分解為如下的子問題:對(duì)i=1,2，有

(17)

(18)

證明 預(yù)編碼矩陣的方向已經(jīng)確定，式(15)可以進(jìn)一步表示為

該積分式隨著θ的增大單調(diào)遞增，積分的最大值當(dāng)θ等于π/2時(shí)取得，因此,誤碼率的值可以等價(jià)于一個(gè)矩陣區(qū)域的面積，即

Ps(error)=F(θmax)Δθ.

(19)

由于Δθ是一個(gè)固定的值，所以式(19)可以由等式minPs(error)=minF(θmax)取代.由推論1的證明可知，minF(θmax)可以轉(zhuǎn)化為maxgθmax(V1)與maxgθmax(V2).由于ln(·)也是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)，所以最優(yōu)化準(zhǔn)則可以分解為以下子問題：在發(fā)射功率的條件限制下，對(duì)i=1,2，有

(20)

圖2 統(tǒng)計(jì)信息下預(yù)編碼系統(tǒng)誤碼率理論值和仿真值的比較

推論2證畢.

對(duì)于式(20)的求解，可以參照文獻(xiàn)[6]的方法求得.

4 仿真結(jié)果

圖3 發(fā)送相關(guān)系數(shù)為0.95時(shí)的中繼系統(tǒng)

例1固定Rri=(0.3|k-j|)，將Rti中ρkj的值從0.8改變至0.3，i=1,2.圖2比較了統(tǒng)計(jì)信道狀態(tài)信息下預(yù)編碼的空時(shí)碼系統(tǒng)誤碼率的仿真值和理論值.從結(jié)果看，二者之間存在一定偏差，其原因在于推導(dǎo)近似誤碼率的過程中，采用了矩生成函數(shù)的近似值.該理論值可以作為衡量中繼系統(tǒng)性能的準(zhǔn)則.

例2固定Rri=(0.3|k-j|)，將Rti中ρkj的值從0.95改變?yōu)?.80，即發(fā)送端天線相關(guān)性不同時(shí)的誤碼率曲線(見圖3和圖4).從圖3和圖4可以看出，預(yù)編碼與空時(shí)分組碼相結(jié)合的系統(tǒng)，完備信道狀態(tài)信息下誤碼性能最好.在已知條件僅為統(tǒng)計(jì)信道信息時(shí)，其誤碼性能也優(yōu)于單空時(shí)分組碼的系統(tǒng)，且當(dāng)發(fā)送天線相關(guān)性較強(qiáng)(ρkj=0.95)時(shí)，在低信噪比區(qū)域中的性能優(yōu)勢(shì)明顯；但隨著發(fā)送天線相關(guān)性從0.95減小到0.80時(shí)，預(yù)編碼帶來的性能增益也有所降低，當(dāng)信噪比逐漸增大時(shí)，統(tǒng)計(jì)信道的預(yù)編碼系統(tǒng)增益與單空時(shí)分組碼系統(tǒng)的增益接近.這是因?yàn)樵诟咝旁氡葏^(qū)域中，預(yù)編碼中功率的分配轉(zhuǎn)變?yōu)榻?jīng)典的等功率分配.

圖4 發(fā)送相關(guān)系數(shù)為0.80時(shí)的中繼系統(tǒng)

圖5 信噪比為8 dB時(shí)發(fā)送端相關(guān)系數(shù)與系統(tǒng)誤碼率的關(guān)系

例3圖5給出了源節(jié)點(diǎn)發(fā)送端的相關(guān)矩陣系數(shù)從0.1增加到1.0時(shí)，中繼和目的端的接收系數(shù)分別固定為0.8和0.3時(shí)兩系統(tǒng)的誤碼率，信噪比固定為8 dB.從圖5可以看出:當(dāng)發(fā)送端的相關(guān)性較小時(shí)，預(yù)編碼系統(tǒng)與單空時(shí)碼的系統(tǒng)性能幾乎一樣；當(dāng)相關(guān)系數(shù)逐漸增加時(shí)，預(yù)編碼系統(tǒng)的優(yōu)越性逐漸體現(xiàn).由此可見，預(yù)編碼的空時(shí)碼系統(tǒng)在發(fā)送相關(guān)性較大時(shí)誤碼率性能的改善更為明顯.

圖6給出信噪比為8 dB下，中繼節(jié)點(diǎn)接收端相關(guān)系數(shù)在[0.1,1]區(qū)間變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)誤碼率的影響，源和中繼端發(fā)送系數(shù)分別為0.8和0.3.由圖6可得，當(dāng)發(fā)送端相關(guān)性較小(即發(fā)送系數(shù)為0.3)時(shí)，無論接收端相關(guān)性如何，預(yù)編碼系統(tǒng)較空時(shí)分組碼系統(tǒng)獲得的增益并不明顯；當(dāng)發(fā)送端相關(guān)性較大(即發(fā)送系數(shù)為0.8)時(shí)，預(yù)編碼系統(tǒng)的的優(yōu)越性才逐漸體現(xiàn).這一結(jié)果與我們之前得到的推論一致.

圖6 信噪比為8 dB時(shí)接收端相關(guān)系數(shù)與系統(tǒng)誤碼率的關(guān)系

5 結(jié) 論

本文分別針對(duì)完備與統(tǒng)計(jì)信道狀態(tài)信息，研究了采用空時(shí)分組碼的中繼系統(tǒng)預(yù)編碼矩陣的設(shè)計(jì)問題.完備信息下，直接以接收信噪比最大化為目標(biāo)；統(tǒng)計(jì)信息下，推導(dǎo)了相關(guān)瑞利衰落信道上的近似誤碼率表達(dá)式，并以誤碼率最小化為目標(biāo)設(shè)計(jì)矩陣.研究發(fā)現(xiàn)：預(yù)編碼矩陣最優(yōu)化的方向與發(fā)送端相關(guān)系數(shù)矩陣的特征向量一致，功率分配方案可以通過數(shù)值計(jì)算求得.仿真結(jié)果表明：預(yù)編碼與空時(shí)編碼相結(jié)合的中繼系統(tǒng)，其誤碼性能優(yōu)于單空時(shí)分組碼的系統(tǒng)，且性能增益的提高依賴于發(fā)送端的相關(guān)性.

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