劉啟能， 劉 沁

(1. 重慶工商大學(xué) 重慶市檢測控制集成系統(tǒng)工程實驗室， 重慶 400067;2. 重慶工商大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院， 重慶 400067; 3. 重慶工商大學(xué) 設(shè)計藝術(shù)學(xué)院， 重慶 400067)

1 引 言

作為一種新型光源，發(fā)光二極管(LED)由于其發(fā)光效率高(節(jié)能)、使用壽命長已被廣泛地使用于各種照明環(huán)境。怎樣讓這種新型的光源在照明領(lǐng)域內(nèi)得到更充分的使用，發(fā)揮出更大的應(yīng)用價值。這就促使人們越來越重視在理論上對LED照明特性進(jìn)行研究[1-5]。近年來對LED照明特性的研究在很多方面都取得了成果，文獻(xiàn)[6]對利用自由曲面透鏡來實現(xiàn)單個LED光源的大視場角準(zhǔn)直照明問題開展了研究，文獻(xiàn)[7-8]對自由曲面重新配光來實現(xiàn)單個LED光源的均勻照明問題開展了研究。隨著對LED光源照明特性的深入研究，人們把注意力放在了對LED陣列的照明特性的研究上，文獻(xiàn)[9-11]對方形和圓形兩種典型LED陣列的照明特性展開了研究，得出了其照明的變化規(guī)律和光斑的發(fā)散規(guī)律。文獻(xiàn)[12-13]分別對LED圓形陣列和LED方形陣列照度的均勻性問題開展了研究，得出了LED圓形陣列和LED方形陣列照度的均勻度與陣列結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系。

目前對LED陣列照度均勻度的研究中還存在3個問題有待進(jìn)一步深入：一是對光斑的范圍沒有做準(zhǔn)確的定義，使得研究照度均勻度沒有準(zhǔn)確的范圍；二是研究的對象僅是LED小型陣列(由一百個以內(nèi)的LED燈芯構(gòu)成的陣列)，而對大型LED矩形陣列(由一萬個以上的LED燈芯構(gòu)成的陣列)的照度均勻度問題沒有做研究；三是僅對方形和圓形兩種典型陣列的照度均勻度進(jìn)行了研究，而對更一般的矩形陣列的照度均勻度問題未開展研究。而對現(xiàn)代的照明環(huán)境使用LED大型陣列的情況越來越多、越來越廣，因此在理論上弄清大型LED矩形陣列這種非常具有代表性陣列的照度均勻度的變化規(guī)律有著重要的理論價值和應(yīng)用價值。本文將對大型LED矩形陣列的照度均勻度展開研究，根據(jù)單個LED燈芯的照度公式以及大型LED矩形陣列在目標(biāo)平面上照度分布的對稱性，建立了研究大型LED矩形陣列光斑的照度均勻度的物理模型，推導(dǎo)出計算大型LED矩形陣列光斑的照度均勻度公式。利用該公式研究了大型LED矩形陣列照度均勻度隨目標(biāo)距離、矩形長寬比以及m值的變化規(guī)律。這些規(guī)律的獲得為提高大型LED矩形陣列的照度均勻性提供了理論依據(jù)，也為大型LED矩形陣列的照度均勻性設(shè)計提供了研究方向和方法。

2 理論建立

LED大型圓形陣列的照度公式建立在單個LED芯片的照度公式的基礎(chǔ)上。對于LED單個芯片，其視角θ與光強(qiáng)I由下式確定[14]：

I=I0cosmθ，

(1)

式中的m值由半角θ1/2決定(θ1/2為光強(qiáng)降為中心光強(qiáng)一半對應(yīng)的視角)，I0為視角為0°方向的光強(qiáng)。LED芯片的m值根據(jù)制造工藝確定，由生產(chǎn)廠家提供。

圖1 單個LED芯片的照度

目標(biāo)平面上的照明點P的坐標(biāo)在(x,y,h)處，LED芯片的坐標(biāo)為(X，Y,0)，見圖1。在P點處LED芯片產(chǎn)生的照度E與光強(qiáng)I由下式確定[14]：

(2)

其中l(wèi)為芯片到P點的距離。結(jié)合式(1)和式(2)，可得在P點處單個LED芯片產(chǎn)生的照度為：

(3)

如果在平面z=0上有N個LED芯片，由于N個LED芯片發(fā)出的光彼此為非相干光，因此它們發(fā)出光的疊加為非相干疊加，即在P點處產(chǎn)生的照度為：

E(x,y,h)=

(4)

其中Xn、Yn為第n個LED芯片的坐標(biāo)。

圖2 大型LED矩形陣列的照度

下面研究的大型LED矩形陣列采用的設(shè)計為：矩形陣列的長邊邊長為A,平行于x軸；寬邊邊長為B，平行于y軸。將長邊和寬邊都用奇數(shù)M個點等分，構(gòu)成矩形陣列網(wǎng)格。每個小矩形網(wǎng)格的長為a=A/(M+1)、寬為b=B/(M+1)。在該矩形陣列網(wǎng)格的每個節(jié)點上放置一個LED芯片，則該大型LED矩形陣列的LED芯片總數(shù)N=(M+2)×(M+2)。該大型LED矩形陣列放置于z=0平面內(nèi)，陣列中心處的芯片的坐標(biāo)在(0,0,0)處，目標(biāo)平面為z=h,如圖2。由(4)式可得在目標(biāo)平面上P點該大型LED矩形陣列產(chǎn)生的照度為：

(5)

利用式(5)可以研究該大型LED矩形陣列在目標(biāo)平面上光斑的照度規(guī)律。照度在目標(biāo)平面上x軸和y軸上的公式分別為：

(6)

由于該大型LED矩形陣列芯片的分布相對于x軸、y軸以及z軸是對稱的，所以陣列在目標(biāo)平面產(chǎn)生的照度分布也是以z軸為對稱軸。由對稱性可知光斑的照度峰值出現(xiàn)在目標(biāo)平面上的(0,0,h)處，由式(5)可得光斑的照度峰值E0滿足：

(7)

對于聚光性較好的LED芯片，照度E大于光斑中心照度0.2E0的范圍內(nèi)匯集了90%以上的光通量。由此可以確定照度光斑的范圍滿足的關(guān)系為[9]：

E≥0.2E0，

(8)

由于該大型LED矩形陣列的芯片在x軸和y軸方向分布不同，因此其光斑邊緣到光斑中心的距離在x軸和y軸上是不同的。設(shè)在x軸上光斑中心到光斑邊緣的距離為Rx，在y軸上光斑中心到光斑邊緣的距離為Ry,由式(6)和式(8)可得Rx和Ry滿足方程：

(9)

取M=99,則陣列的LED芯片總數(shù)N=101×101=10 201個，m=20,A=8 m，B=5 m，單個芯片的I0=2 cd。由式(5)、(6)、(9)計算出在目標(biāo)距離h=10 m處光斑的形狀以及在x軸和y軸上照度的分布曲線，如圖3所示。由圖3(a)可知，該陣列的光斑為橢圓。由圖3(b)和圖3(c)可知，照度在x軸和y軸上的分布具有對稱性。

下面在上述光斑和照度分布的對稱性基礎(chǔ)上建立大型LED矩形陣列照度均勻度的評價方法。在文獻(xiàn)[12-13]中建立的研究LED陣列照度均勻度的計算方法中，由于沒有對光斑的區(qū)域作鑒定，再加上大型LED矩形陣列的燈芯數(shù)巨大，因此用文獻(xiàn)[12-13]中的照度均勻度的計算方法來研究大型LED方形陣列照度均勻度會遇到困難。為了解決上述困難，首先在光斑和照度分布的對稱性基礎(chǔ)上建立照度均勻度u的概念。由于該陣列的光斑的對稱性以及照度在x軸和y軸上的分布具有對稱性，可以引入x軸和y軸上的照度均勻度ux和uy的概念來描述光斑內(nèi)照度在x軸和y軸上的均勻程度，即：

(10)

圖3 大型LED矩形陣列的光斑和照度分布曲線

(11)

式(11)中ux和uy的幾何意義是：在圖3(b)和圖3(c)中的照度曲線在光斑內(nèi)的面積與照度峰值在光斑內(nèi)的面積之比。ux和uy越大表明照度曲線在光斑內(nèi)的面積越接近照度峰值在光斑內(nèi)的面積，其照度的均勻性就越好。因此可以分別用ux和uy的大小來衡量照度在x軸和y軸上的均勻程度。但是ux和uy還不能準(zhǔn)確地描述整個光斑內(nèi)照度的均勻程度。為了描述整個光斑內(nèi)照度的均勻程度，利用該陣列光斑照度的對稱性，對ux和uy做光斑長度的加權(quán)平均，即：

(12)

式(12)中的u就能夠描述該陣列的照度均勻程度，利用式(12)即可以研究大型LED矩形陣列的照度均勻度的變化規(guī)律。

3 照度均勻度

下面應(yīng)用式(6)～(12)，利用數(shù)值計算法研究大型LED矩形陣列的照度均勻度隨目標(biāo)距離、矩形長寬比以及m值的變化規(guī)律。該大型LED矩形陣列仍取M=99,則陣列的LED芯片總數(shù)N=101×101=10 201個，單個芯片的I0=2 cd。

3.1 照度均勻度與目標(biāo)距離的關(guān)系

固定m=20、長A=8 m、寬B=5 m(長寬比A/B=1.6)，取目標(biāo)距離z為8，9，10，11，12，13，14，15，16，17 m 10組數(shù)據(jù)，計算出對應(yīng)的照度均勻度ux、uy、u的數(shù)據(jù)，見表1。

利用表1中的數(shù)據(jù)繪出照度均勻度ux、uy、u隨目標(biāo)距離的響應(yīng)曲線，如圖4所示。在圖4中實線、虛線、點劃線分別為u、ux、uy隨目標(biāo)距離的響應(yīng)曲線。由圖4可知：目標(biāo)距離對照度均勻度u、ux、uy都有明顯的影響，照度均勻度u、ux、uy都隨目標(biāo)距離的增加而非線性地減小。當(dāng)目標(biāo)距離為8 m時，其照度均勻度u、ux、uy分別為0.687，0.707，0.661；當(dāng)目標(biāo)距離增大為17 m時，其照度均勻度u、ux、uy分別減小為0.649，0.652，0.645。 照度均勻度隨目標(biāo)距離變化的這一規(guī)律為提高大型LED矩形陣列照度均勻度的設(shè)計提供了方向，要想獲得較好的照度均勻度其目標(biāo)距離不能太遠(yuǎn)。

表1 不同目標(biāo)距離下的照度均勻度ux、uy、u

圖4 均勻度隨目標(biāo)距離的響應(yīng)曲線

3.2 照度均勻度與長寬比的關(guān)系

固定目標(biāo)距離z=10 m、m=20、寬B=5 m。取長寬比A/B為1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0等10 組數(shù)據(jù)，計算出對應(yīng)的照度均勻度ux、uy、u的數(shù)據(jù)，見表2。

表2 不同長寬比A/B下的照度均勻度ux、uy、u

利用表2中的數(shù)據(jù)繪出照度均勻度ux、uy、u隨長寬比的響應(yīng)曲線，如圖5所示。在圖5中，實線、虛線、點劃線分別為u、ux、uy隨長寬比的響應(yīng)曲線。由圖5可知：長寬比對照度均勻度u、ux有明顯的影響，照度均勻度u、ux都隨長寬比的增加而非線性地增大。當(dāng)長寬比為1.1時，其照度均勻度u、ux分別為0.655，0.656；當(dāng)長寬比增大為2.0時，其照度均勻度u、ux分別增大為0.684，0.705。 在圖5中，uy不隨長寬比的增加而變化，其原因是計算中其寬邊B保持不變。照度均勻度隨長寬比變化的這一規(guī)律為提高大型LED矩形陣列照度均勻度的設(shè)計提供了方向，要想獲得較好的照度均勻度可以適當(dāng)增加矩形陣列的長寬比。

圖5 均勻度隨長寬比的響應(yīng)曲線

3.3 照度均勻度與m值的關(guān)系

固定目標(biāo)距離z=10 m、長A=8 m、寬B=5 m。取m=15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，計算出對應(yīng)的照度均勻度ux、uy、u的數(shù)據(jù)，見表3。

利用表3中的數(shù)據(jù)繪出照度均勻度ux、uy、u隨m值的響應(yīng)曲線，如圖6所示。在圖6中，實線、虛線、點劃線分別為ux、uy、u隨長寬比的響應(yīng)曲線。由圖6可知：m值對照度均勻度ux、uy、u有明顯的影響，照度均勻度ux、uy、u都隨m值的增加近似成線性地增大。當(dāng)m值為15時，其照度均勻度ux、uy、u分別為0.660，0.669，0.649；當(dāng)m值增大為24時，其照度均勻度ux、uy、u分別增大為0.674 5，0.689 1，0.655 8。照度均勻度隨m值變化的這一規(guī)律為提高大型LED矩形陣列照度均勻度的設(shè)計提供了方向，要想獲得較好的照度均勻度應(yīng)該選擇m值較大的芯片。

表3 不同m值下的照度均勻度ux、uy、u

圖6 均勻度隨m值的響應(yīng)曲線

4 結(jié) 論

應(yīng)用LED燈芯的照度公式以及大型LED矩形陣列在目標(biāo)平面上照度分布的對稱性，建立了研究大型LED矩形陣列光斑的照度均勻度的物理模型，推導(dǎo)出計算大型LED矩形陣列光斑照度均勻度的公式。利用該公式研究了大型LED矩形陣列光斑的照度均勻度隨目標(biāo)距離、長寬比以及m值的變化規(guī)律。得出照度均勻度隨目標(biāo)距離的增加而非線性地減??；照度均勻度隨長寬比的增加而非線性地增大；照度均勻度隨m值的增加而近似成線性地增大。這些規(guī)律為提高大型LED矩形陣列的照度均勻性提供了理論依據(jù)，也為大型LED矩形陣列的照度均勻性設(shè)計提供了研究方向和計算方法，彌補(bǔ)了之前研究大型LED矩形陣列照度均勻性方法上的不足。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1] DING Y， LIU X， ZHENG Z R. Freeform LED lens foruniform illumination [J].Opt.Express, 2008, 16(17) :12958-12966.

[2] 蘇宙平, 闕立志, 朱焯煒. 用于LED 光源準(zhǔn)直的緊湊型光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計 [J]. 激光與光電子學(xué)進(jìn)展, 2012, 49(2):022203.

SU Z P, QUE L Z, ZHU Z W. Optical system design of the compact collimator for LED source [J].LaserOptoelectron.Prog., 2012, 49(2):022203. (in Chinese)

[3] SUN C C， CHEN C Y， HE H Y. Precise optical modeling for silicate-based white LEDs [J].Opt.Express, 2008, 16:20060.

[4] SUN C C， CHIEN W T， MORENO I. Analysis of the far-field region of LEDs [J].Opt.Express, 2009, 17(12):13918-13922.

[5] WANG K, LIU S， CHEN F，etal.. Freeform LED lens for rectangularly prescribed illumination [J].J.Opt. A-PureAppl.Opt., 2009, 11(10):105501-105505.

[6] 羅曉霞, 劉華, 盧振武, 等. 實現(xiàn)LED 準(zhǔn)直照明的優(yōu)化設(shè)計 [J]. 光子學(xué)報， 2011, 40(9):1351-1355.

LUO X X, LIU H, LU Z W,etal.. Automated optimization of free-form surface lens for LED collimation [J].ActaPhoton.Sinica, 2011, 40(9):1351-1355. (in Chinese)

[7] 丁毅， 顧培夫. 實現(xiàn)均勻照明的自由曲面反射器 [J]. 光學(xué)學(xué)報， 2007, 27(3):540-544.

DING Y, GU P F. Freeform reflector for uniform illumination [J].ActaOpt.Sinica, 2007, 27(3):540-544. (in Chinese)

[8] 丁毅， 鄭臻榮, 顧培夫. 實現(xiàn)LED 照明的自由曲面透鏡設(shè)計 [J]. 光子學(xué)報， 2009, 38(6):1486-1490.

DING Y, ZHENG Z R, GU P F. Freeform lens design foe LED illumination [J].ActaPhoton.Sinica, 2009, 38(6):1486-1490. (in Chinese)

[9] 劉沁， 劉啟能. 方形LED陣列光斑發(fā)散特性的冪函數(shù)擬合 [J]. 光子學(xué)報， 2015, 44(1):56-60.

LIN Q, LIU Q N. Power function fitting methods of light spot divergence characteristics of LED square array [J].ActaPhoton.Sinica, 2015, 44(1):56-60. (in Chinese)

[10] 劉沁， 劉啟能. 圓形LED陣列的光斑發(fā)散特性研究 [J]. 激光技術(shù)， 2015, 39(6):701-704.

LIN Q, LIU Q N. Divergence characteristics of light spot of LED roundness array [J].LaserTechnol.， 2015, 39(6):701-704. (in Chinese)

[11] 劉啟能， 代洪霞. 冪函數(shù)擬合研究LED圓形陣列光斑的發(fā)散特性 [J]. 人工晶體學(xué)報， 2015， 44(5):685-689.

LIU Q N, DAI H X. Power function fitting methods of light spot divergence characteristics of LED circular array [J].J.Synth.Cryst., 2015, 44(5):685-689. (in Chinese)

[12] 王加文， 蘇宙平， 袁志軍, 等. LED 陣列模組化中的照度均勻性問題 [J]. 光子學(xué)報, 2014, 43(6):919-924.

WANG J W, SU Z P, YUAN Z J,etal.. Study on uniformity of LED array illumination distribution on target plane [J],ActaPhoton.Sinica, 2014, 43(6):919-924. (in Chinese)

[13] 趙芝璞， 季凌燕， 沈艷霞, 等. 基于PSO 粒子群算法的LED 照明系統(tǒng)光照均勻性研究 [J]. 發(fā)光學(xué)報， 2013, 34(12):1677-1681.

ZHAO Z P, JI L Y， SHEN Y X,etal.. Research of illumination uniformity for LED arrays based on PSO algorithm [J].Chin.J.Lumin., 2013, 34(12):1677-1681. (in Chinese)

[14] 姚家祎. 照明設(shè)計手冊 [M]. 北京：中國電力出版社， 2006:187-188.

YAO J W.LightingDesignManual[M]. Beijing: China Power Press， 2006:187-188. (in Chinese)