鄭立婷，桂進(jìn)斌，劉 超

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500)

全息術(shù)作為能夠提供人眼視覺系統(tǒng)所需全部深度信息的三維顯示技術(shù)，越來越受到人們的關(guān)注。然而，在涉及空間曲面衍射場計算的三維物體計算全息圖的生成過程中，通常將三維物體離散為大量面光源[1-5]或點(diǎn)光源[6-9]的集合。其中，點(diǎn)源的計算較為直觀，實現(xiàn)操作簡單，但由于點(diǎn)源采樣量巨大，將每個物點(diǎn)衍射計算到全息面并進(jìn)行疊加計算形成全息圖需要消耗大量時間；因此，如何能快速的生成計算全息圖成為制約全息三維顯示的瓶頸問題之一。

為減少計算時間，Shimobaba等[10]提出了一種波前記錄方法(WRP)，該方法是在物面和記錄面之間定義一個虛擬平面，將組成三維物體的每一點(diǎn)球面波計算到虛擬平面上，然后對虛擬平面通過傅里葉變換，從而得到記錄平面的全息圖。由于該方法只計算到虛擬平面一個很小的有效區(qū)域，因而能夠減少計算全息的空間冗余度，從而減少生成計算全息圖的時間。在WRP算法的基礎(chǔ)上， P. Tsang等[11]給出了IWRP 的方法，提高了數(shù)字全息圖的刷新速率。Hoang-Anh Phan等[12]給出了基于GPU并行計算下雙層WRP算法，該方法是將WRP面放置在全息面和物體之間，考察不同位置的WRP對重建像質(zhì)量的影響；但對目前文獻(xiàn)中存在點(diǎn)源WRP方法進(jìn)行實際研究中發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)中的方法沒有給出三維物點(diǎn)與WRP虛擬平面有效距離，也沒有具體的WRP虛擬平面放置的最優(yōu)位置，以及WRP分層計算中三維物體的最優(yōu)分割層數(shù)來減少計算過程的計算量。

本文通過對WRP理論方法的實際研究，給出WRP虛擬平面采樣像素間距與三維物點(diǎn)在WRP平面有效像素距離的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上，通過對相近景深不同三維物體及不同景深同一三維物體，根據(jù)WRP方法進(jìn)行實際分層的數(shù)值模擬計算分析，得出三維物體WRP分層計算的最優(yōu)化分層數(shù)目。模擬及光電再現(xiàn)結(jié)果表明，該方法能在一定程度上減少全息圖生成的計算量，并且重建像質(zhì)量較高。

1 WRP簡介

WRP算法過程示意圖如圖1所示。將與全息面同等大小且像素間距相同的虛擬的波前記錄平面(WRP虛擬平面)，放置在靠近物體并與全息面平行的位置。在計算過程中，只需計算物體點(diǎn)與有限大小全息面形成的立體角與靠近物體的WRP面相交的有效區(qū)域的像素點(diǎn)。由于無需計算每個物體點(diǎn)與全息面所有像素點(diǎn)衍射計算的疊加運(yùn)算，其計算量大大減小，并將點(diǎn)光源轉(zhuǎn)換為WRP面光源，利用衍射理論進(jìn)行計算，使得計算速度得到很大提高。

圖1 WRP算法過程示意圖

WRP面光場計算式為：

(1)

(2)

式中，F(xiàn)-1為傅立葉逆變換；h(x,y)為傳遞函數(shù)。h(x,y)計算公式如下：

(3)

全息面的最大衍射角θ0計算式為：

(4)

式中，p為全息面像素大?。沪?為全息面最大記錄角度。由式4可知，θ0取決于入射波長λ及像素間距p。設(shè)WRP有效的像素區(qū)域的半徑為w,則由式5計算得到WRP面x軸、y軸有效像素尺寸w為：

(5)

由式5可看出，WRP有效像素尺寸隨zj的增大而增大，從而影響計算時間。從理論上講，當(dāng)WRP虛擬平面與最近物點(diǎn)相切(即zj=0)時，有效區(qū)域像素最小，此時計算速度最快；而要保證每個物點(diǎn)在WRP虛擬平面至少有一個有效像素，因此存在物點(diǎn)靠近WRP虛擬平面最小距離δ問題。由式5可知，當(dāng)三維物體景深較大時，遠(yuǎn)距離物體點(diǎn)計算到WRP平面有效像素區(qū)域增大，從而造成計算全息圖生成時間增加，此時可以考慮將組成三維物體點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行分層計算，將遠(yuǎn)距離WRP平面物體點(diǎn)球面波計算到臨近的物體點(diǎn)的WRP層平面上，長景深物體可以進(jìn)行多次分層計算，從而減少遠(yuǎn)距離物體點(diǎn)在WRP平面上的有效區(qū)域像素點(diǎn)，加快計算速度。

2 WRP方法的三維物體優(yōu)化分層

由于WRP虛擬平面的有效像素面積Lx×Ly線性的取決于zj的平方，所以，如果zj的距離增加，則相應(yīng)WRP有效區(qū)域面積變大，計算時間增長；反之，WRP有效區(qū)域面積越小，計算量越少，計算時間縮短。理論上講，當(dāng)WRP虛擬平面與距離物體最近點(diǎn)相切時，WRP有效區(qū)域面積最小，但應(yīng)保證每個物體點(diǎn)在WRP面上至少有1個有效像素。

WRP分層原理圖如圖2所示。由圖2可知，物體點(diǎn)與WRP虛擬平面最近的微小距離δ與WRP面像素間隔Δp，物點(diǎn)與全息面距離H及LCOS尺寸L滿足：

(6)

因此，為了保證每個三維物體點(diǎn)在WRP平面上至少有1個有效區(qū)域像素值，組成三維物體點(diǎn)云數(shù)據(jù)靠近WRP平面最近距離點(diǎn)的距離應(yīng)大于最小距離δ。

圖2 WRP分層原理圖

當(dāng)三維物體景深較大時，由于遠(yuǎn)距離物體點(diǎn)zj較大，WRP平面有效區(qū)域像素增加，導(dǎo)致WRP平面計算量增加，計算速度較慢，此時應(yīng)將三維物體進(jìn)行分層。將三維物體點(diǎn)分為多層，每層對應(yīng)的物體點(diǎn)由式1將球面波計算到臨近的WRP平面上，再由式2將每層WRP平面面光源衍射計算到全息面進(jìn)行疊加運(yùn)算，此時全息面物光場可表示為：

(7)

將參考光與式7計算物光場計算得全息圖。由WRP分層原理可知，三維物體分層越多，三維物體點(diǎn)到對應(yīng)每層WRP虛擬平面計算量越少。由式7可知，由于全息面物光場是每層WRP平面面光源衍射到全息面光場的疊加，每層面光源衍射計算都需要相應(yīng)的時間，因此，三維物體分割層數(shù)存在最優(yōu)分割層數(shù)的問題。

為了得到不同三維物體的最優(yōu)化分層，分別進(jìn)行景深為z=6.16 mm,23 982物點(diǎn)的恐龍三維模型和景深為z=6.03 mm，35 947物點(diǎn)的兔子三維模型的相近景深不同三維物體，以及景深分別為z=6.22 mm,z=10.26 mm,49 960物點(diǎn)的凳子的同一物體不同景深的2組優(yōu)化分割模擬計算。根據(jù)式6計算，取δ=0.8 mm，WRP0平面位于z=0處，其余WRP平面位置依據(jù)景深均分，衍射距離d=500 mm，實驗?zāi)M環(huán)境采用Windows 7 64位操作系統(tǒng)，8 GB內(nèi)存，Intel(R) Core (TM) i5-3470 CPU @3.2 GHz，模擬軟件使用MATLAB 2014b，生成全息面像素為1 000×1 000，計算時間包括物點(diǎn)球面波計算到對應(yīng)WRP平面及所有WRP面光源衍射計算到全息面的疊加時間，結(jié)果分別見表1和表2。

表1 相近景深不同三維物體全息圖生成時間 (s)

表2 同一三維物體不同景深全息圖生成時間 (s)

由表1和表2可知，不管對于相近景深不同三維物體還是不同景深同一三維物體，當(dāng)三維物體分層在3層或者4層時，全息圖生成計算時間最快；因此，對于點(diǎn)云數(shù)據(jù)組成的三維物體，當(dāng)使用WRP方法進(jìn)行計算時，將三維物體分為3層或4層計算都得能到最快的計算速度。

3 光電再現(xiàn)實驗

光電再現(xiàn)實驗光路圖如圖3所示。采用波長為λ=0.532×10-3mm的綠光半導(dǎo)體激光器作為重現(xiàn)參考光，激光自左向右依次經(jīng)過衰減片P,經(jīng)擴(kuò)束鏡及準(zhǔn)直透鏡L后，投向分辨率為1 920×1 080 pixels，像元寬度為0.006 4 mm的純相位反射式空間逛調(diào)制器(LCOS)的液晶面板，經(jīng)SLM反射后在觀察屏獲取三維物體再現(xiàn)像。

圖3 光電再現(xiàn)光路圖

將景深為z=6.22 mm不同景深同一三維物體按最優(yōu)化分割層數(shù)分為3層，模擬分層及光電再現(xiàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同景深同一三維物體模擬分層及光電再現(xiàn)圖

將景深為z=6.16 mm的恐龍三維模型和景深為z=6.03 mm的兔子三維模型，分別進(jìn)行4層WRP分割，并進(jìn)行疊加衍射逆運(yùn)算重建在第1層，模擬及光電再現(xiàn)結(jié)果如圖5所示。

圖5 相近景深不同三維物體重建及光電再現(xiàn)圖

從模擬及實驗結(jié)果中可以看出，本文所提點(diǎn)云三維物體WRP分層優(yōu)化方法，不僅能夠得到最優(yōu)化的分層及計算速度，而且三維模擬及光電再現(xiàn)成像質(zhì)量較高，說明了本文所提方法在三維物體分割及重建方面是可行的，是一種優(yōu)化三維物體分割的有效方法。

4 結(jié)語

本文通過對WRP波前記錄平面方法的理論研究，主要對點(diǎn)云三維物體的WRP分層優(yōu)化問題進(jìn)行了細(xì)致的數(shù)值計算。通過對相近景深不同三維物體及不同景深同一三維物體進(jìn)行WRP分層計算研究結(jié)果表明，將三維物體分為3層或4層計算能得到最快的計算速度。模擬及光電再現(xiàn)實驗的結(jié)果表明，本文所提優(yōu)化分割方法能夠優(yōu)化三維物體分層及計算速度，而且成像質(zhì)量較高。該方法對全息三維顯示計算全息圖的快速計算提供了有益的參考。

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