梁志紅

【摘 要】本文分析數(shù)學(xué)名題在高考命題中的應(yīng)用情況，指出這種應(yīng)用有直接采用數(shù)學(xué)名題、采用數(shù)學(xué)名題的變形、以數(shù)學(xué)名題為基本素材這三種主要形式，以例講解，為高三學(xué)生提供良好有效的復(fù)習(xí)策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)名題 數(shù)學(xué)典籍 高考命題

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）01B-0154-02

隨著新課標(biāo)改革的進(jìn)行，高考命題中開始越來越多地出現(xiàn)一些數(shù)學(xué)名題的身影，對(duì)其稍加整合或變形，很容易就成為了高考中數(shù)學(xué)的命題新形式。因?yàn)閿?shù)學(xué)名題一般都極具知識(shí)點(diǎn)代表性和考查重心特點(diǎn)，這些題目的解法具有較為獨(dú)到的構(gòu)思和較為新穎的解題技巧，使學(xué)生得到較好的考查，這些名題在高考命題中受到一定程度上的歡迎。我們知道，每一年高考數(shù)學(xué)命題都是高中師生關(guān)注的焦點(diǎn)，教師摸清楚命題者在設(shè)計(jì)高考數(shù)學(xué)題時(shí)的思路與方向，便于為高三學(xué)子提供良好的有效的復(fù)習(xí)方向，提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效率。而研究數(shù)學(xué)名題的原題、變形、改編等是非常有效的途徑，因此，本文研究數(shù)學(xué)名題在高考命題中的應(yīng)用。下面從具體的幾個(gè)方面加以闡述。

一、直接采用數(shù)學(xué)名題

在高考命題中直接采用數(shù)學(xué)名題來進(jìn)行命題的例子并不少見，因?yàn)閿?shù)學(xué)名題中蘊(yùn)藏的考點(diǎn)很多，所以有些高考命題中會(huì)直接選取這些數(shù)學(xué)名題來作高考命題的參考。比較常見的直接采用數(shù)學(xué)名題內(nèi)容來命制高考試題的有歐拉定理、中國(guó)剩余定理、丟潘圖的墓志銘、不說話的學(xué)術(shù)報(bào)告，等等。將數(shù)學(xué)名題直接用在高考命題中的例子有：

〖例 1〗（2014 年湖北高考數(shù)學(xué) 理科）8.《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一。該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng) L 與高 h，計(jì)算其體積 V 的近似公式 ，它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率 π 近似取為 3，那么近似公式 ，相當(dāng)于將圓錐體積公式中的 π 近似取為（ ）

無需過多解釋，單從這道高考題的題干來看，就知道其借用的是“囷蓋算術(shù)”這一經(jīng)典的數(shù)學(xué)名題，其中也無多大的變形，它幾乎是直接運(yùn)用數(shù)學(xué)名題，但是，其中考查的數(shù)學(xué)要點(diǎn)不容忽視。這一題主要考查圓錐體的體積公式，考查學(xué)生的閱讀理解能力。它雖是一道基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)題目，但題干較長(zhǎng)，使得學(xué)生在面對(duì)此類題目的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)一定的初始暈題效應(yīng)?！端阈g(shù)書》作為我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)典籍，其中蘊(yùn)藏了許多數(shù)學(xué)奧秘，像這里提出來的“囷蓋算術(shù)”就是圓錐體積公式的早期形成與運(yùn)用。它雖以文字的形式出現(xiàn)，但其中的數(shù)學(xué)道理都是經(jīng)過后代無數(shù)的驗(yàn)證的。在此題目中，可以直接運(yùn)用 這個(gè)公式作為中間站點(diǎn)，建立方程來進(jìn)行求解。設(shè)圓錐底面圓的半徑為 r，高為 h，則 L=2πr，然后就比較容易通過方程求出這里 π 近似取值的大小。除此之外，平時(shí)還要注意如“秦九韶算法”等古代名題，這些也是高考命題中的熱點(diǎn)。就“秦九韶算法”而言，求多項(xiàng)式的時(shí)候，可以將它直接轉(zhuǎn)移應(yīng)用。像這些數(shù)學(xué)名題，較好地考查學(xué)生的思維能力、理解能力、解題能力。這在提倡素質(zhì)教育的今天，它成為高考數(shù)學(xué)命題中的一個(gè)重點(diǎn)，我們要給予更多關(guān)注。

二、采用數(shù)學(xué)名題的變形式

在高考數(shù)學(xué)名題當(dāng)中，與數(shù)學(xué)名題的直接運(yùn)用相比，采用數(shù)學(xué)名題的變形來進(jìn)行高考命題更為常見。在近些年來，幾乎各地的高考數(shù)學(xué)卷子上都有此類題目出現(xiàn)。經(jīng)過對(duì)數(shù)學(xué)名題進(jìn)行適當(dāng)變形，把數(shù)學(xué)名題中所蘊(yùn)藏的道理經(jīng)過整合后更好地運(yùn)用到高考命題當(dāng)中，拓寬考查點(diǎn)，更好地考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和掌握解題技巧的能力，這在高考命題中受到廣泛歡迎。

〖例 2〗（2012 年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題——新課標(biāo)）2.（5分）將 2 名教師和 4 名學(xué)生分成 2 個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)。每個(gè)小組由 1 名教師和 2 名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（ ）

A.12 種 B.10 種 C.9 種 D.8 種

2012 年高考全國(guó)卷考的這道有關(guān)計(jì)數(shù)原理的題目，其中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)名題就是四色定理，它在這個(gè)數(shù)學(xué)名題的基礎(chǔ)上，經(jīng)過適當(dāng)變形而來，在解題的技巧上仍然存在一定的相通之處。學(xué)生在解答這道高考數(shù)學(xué)題的時(shí)候，可以分為三步進(jìn)行。第一步，為甲地選擇一名老師，有 C21=2 種選法；第二步，為甲地選擇兩名老師，則有 C42=6 種；第三步，為乙地選 1 名教師和 2 名學(xué)生，有 1 種選法。綜合求解，則共有 12 種（2×6×1=12）不同安排的方案，這道選擇題的答案 A 就自然而言地顯現(xiàn)出來。而在四色定理中，其作為世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，主要內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同顏色”。這其中就考察了計(jì)數(shù)原理的問題，但其可能更為復(fù)雜，可能還會(huì)運(yùn)用到幾何雙面屬性的問題，在其分析中，對(duì)學(xué)生思想層面的要求較高。但在這道高考題中，它就進(jìn)行了變形，重點(diǎn)考查學(xué)生分析題目的條理性和步驟性。除此之外，還有許多高考試題都是由一些數(shù)學(xué)名題變形而來。有的還出現(xiàn)在數(shù)學(xué)大題的考查當(dāng)中，但它一般并不會(huì)進(jìn)行全部變形，使其中某一小問的解題思路與這些名題類似。運(yùn)用這些數(shù)學(xué)名題的思維來解答這些高考數(shù)學(xué)題，是解答數(shù)學(xué)問題的捷徑，有效提高解題效率。

三、以數(shù)學(xué)名題為基本素材

高考命題中以數(shù)學(xué)名題為基本素材是近些年來數(shù)學(xué)名題在高考命題中應(yīng)用的一個(gè)重要的趨勢(shì)，特別是以世界數(shù)學(xué)名題為基本素材的高考題，從題目的表面來看，其似乎與這些數(shù)學(xué)名題無多大關(guān)系，但是仔細(xì)來看，其命題思路與相應(yīng)的數(shù)學(xué)名題有極大的相通之處，但并不是說學(xué)生掌握此類數(shù)學(xué)名題之后就可以很輕松地解出答案。學(xué)生可以借助這些名題的思想方法當(dāng)作輔助工具，在復(fù)雜多樣的題型新穎的高考題中找到熟悉感。但其中也會(huì)有陷阱，因此備受高考數(shù)學(xué)命題者的偏愛，使得其在如今的高考命題中占據(jù)了越來越大的比重。

〖例 3〗（2015 年高考數(shù)學(xué)浙江卷）18.（15 分）已知函數(shù) f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），記 M（a，b） 是 |f（x）| 在區(qū)間 [-1，1]上的最大值。

（1）證明：當(dāng) |a| ≥2 時(shí)，M（a，b）≥2；

（2）當(dāng) a，b 滿足 M（a，b）≤2 時(shí)，求 |a|+|b| 的最大值。

看這道題目，似乎沒有什么特別之處，但第（2）問在求解 |a|+|b| 的最大值時(shí)，當(dāng) a=b=0 時(shí)，|a|+|b|=0，又 |a|+|b|≥0，所以 0 為最小值，符合題意；對(duì)任意 x∈[-1，1]，有 -2≤x2+ax+b≤2，得到 -3≤a+b≤1，且 -3≤b-a≤1，易知 |a|+|b|=max{|a-b|，|a+b|}=3，在 b=-1，a=2 時(shí)符合題意，所以 |a|+|b| 的最大值為 3。這里的解答就間接運(yùn)用了數(shù)學(xué)名題中的“彭羅斯階梯”，它指的是一個(gè)始終向上或向下但卻走不到頭的階梯。這表面看似與求最大值不相關(guān)，但是命題思路上存在較大的相關(guān)性，需要學(xué)生考慮數(shù)值的各個(gè)方面，運(yùn)用其中的回歸原點(diǎn)的中心思想，考慮題目的全面性。這里只是以此類數(shù)學(xué)名題為基本素材，進(jìn)行變形、拓展，抓取其中的一個(gè)要點(diǎn)，作為高考命題的中心，再結(jié)合高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點(diǎn)進(jìn)行整合，成為高考命題中的一個(gè)亮點(diǎn)。

總的來說，數(shù)學(xué)名題在高考命題中的應(yīng)用主要有直接采用數(shù)學(xué)名題、采用數(shù)學(xué)名題的變形、以數(shù)學(xué)名題為基本素材這三種主要形式，其中直接采用數(shù)學(xué)名題做高考題并不十分多見，但是后兩種卻在高考命題中有著較為廣泛的應(yīng)用，因其具有更為廣大的思考的空間，考查的內(nèi)容更為貼合高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)際。新課改后，高考命題的形式更注重對(duì)學(xué)生各方面能力的考查，而不僅考查學(xué)生的基礎(chǔ)理論知識(shí)。數(shù)學(xué)名題蘊(yùn)藏豐富的知識(shí)，這些名題的變換在很大程度上貼合新課改的要求，因此研究數(shù)學(xué)名題在高考命題中的應(yīng)用具有進(jìn)一步探析的意義。

【參考文獻(xiàn)】

[1]董裕華.高等數(shù)學(xué)背景下的高考數(shù)學(xué)命題探析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2007（7）

[2]鐘詠鋒.新課程標(biāo)準(zhǔn)下數(shù)學(xué)高考命題的研究[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：教師教育，2017（2）

[3]張乃貴.高考命題設(shè)計(jì)思路探析——研究課本題，創(chuàng)造新問題[J].數(shù)學(xué)通訊，2009（2）

[4]張夏強(qiáng).邱 云.數(shù)學(xué)名題在高考命題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（1）

[5]彭 鋒，鄧元潔.數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)高考題中的滲透[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2016（6）