孔祥雯，郭貴春

(山西大學(xué) 科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心，山西 太原 030006)

數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究離不開數(shù)學(xué)學(xué)科的繁榮發(fā)展，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展提供了堅(jiān)固保障。集合論對(duì)數(shù)學(xué)概念的統(tǒng)一解釋奠定了其在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中的核心地位，范疇論對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的闡釋啟發(fā)了新的基礎(chǔ)研究思路，撼動(dòng)了ZFC*策梅洛-弗蘭克爾的公理化集合論(Zermelo-Fraenkel Set Theory)，包含選擇公理(AC)時(shí)記為ZFC。長(zhǎng)期以來的基礎(chǔ)定位。那么范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究起點(diǎn)是什么？范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)具有怎樣的研究特點(diǎn)？根據(jù)研究性質(zhì)，范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能否充分地闡釋集合論？以這些問題為契機(jī)，我們可以分析范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)于集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)具有的研究?jī)?yōu)勢(shì)，并論證范疇論在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中超越集合論的可能性。

一 范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究起點(diǎn)

集合論對(duì)無窮的全新解讀在數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意義，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的解釋又促使其在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中率先占據(jù)了核心地位。范疇論基于對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的闡釋躋身數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究，成為集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的有力競(jìng)爭(zhēng)者。闡明范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究起點(diǎn)，為探求數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中范疇論對(duì)集合論的超越奠定基礎(chǔ)。

闡明范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究起點(diǎn)，實(shí)際上是對(duì)范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行理論溯源，如此，既可明晰范疇論被提議為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的動(dòng)因，又有利于深入分析范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究特點(diǎn)。

二 范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究特點(diǎn)

范疇論基于對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的闡釋，創(chuàng)立了一種不同于集合論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究進(jìn)路。聚焦范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究特點(diǎn)，比較分析范疇論與集合論在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中存在的差異性，探究范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)于集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究?jī)?yōu)勢(shì)。

(一)重構(gòu)研究重心

范疇論與集合論最顯著的區(qū)別在于集合論的研究重心是數(shù)學(xué)對(duì)象，范疇論則將研究重心轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)對(duì)象間的關(guān)系。研究重心的不同揭示了范疇論與集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的本質(zhì)差異，直接決定了數(shù)學(xué)對(duì)象在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中的重要性。在集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究思想中，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是集合，也就是說，集合可以表示所有的數(shù)學(xué)對(duì)象。那么表示不同對(duì)象的集合有什么不同，它們是由什么確定的呢？集合論者通過集合所包含的元素來確定集合，但由于表示同一個(gè)數(shù)的集合其包含的元素可能存在不同，使得集合會(huì)面臨選擇上的困難。以范疇論為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究思想中，數(shù)學(xué)研究的是結(jié)構(gòu)，而結(jié)構(gòu)是對(duì)象之間的關(guān)系所形成的，因而范疇論研究的重心在于對(duì)象之間的關(guān)系，范疇論中的概念如態(tài)射、函子、自然轉(zhuǎn)換、同構(gòu)、伴隨等都是對(duì)關(guān)系的表述。在范疇中，對(duì)象只需滿足其中的態(tài)射關(guān)系即可。范疇論者不需要指出、也不關(guān)心對(duì)象由什么構(gòu)成，并且單個(gè)對(duì)象在范疇中沒有作為個(gè)體的研究意義，對(duì)象間的關(guān)系才是范疇論的研究重點(diǎn)。通過以上分析可知，范疇論重構(gòu)了數(shù)學(xué)的研究重心。相對(duì)于集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而言，范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究?jī)?yōu)勢(shì)在于其通過結(jié)構(gòu)來闡釋數(shù)學(xué)，無須考慮數(shù)學(xué)對(duì)象的具體構(gòu)造。

(二)重建關(guān)系表述

集合論中涉及的關(guān)系表述都是直觀的；范疇論則是將包含關(guān)系的數(shù)學(xué)系統(tǒng)抽象為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，重建理論中的關(guān)系表述。我們通過分析理論中涉及的關(guān)系來具體解釋表述的不同。在集合論中，元素與集合之間的從屬關(guān)系，集合與集合之間的包含關(guān)系實(shí)質(zhì)上都是在確定元素是否屬于某一集合，是直觀的。范疇由對(duì)象和態(tài)射組成，本質(zhì)上是態(tài)射決定了對(duì)象，進(jìn)而確定了范疇。范疇論中的關(guān)系都包含在結(jié)構(gòu)中，對(duì)數(shù)學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行抽象，就能得到一個(gè)由關(guān)系組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在關(guān)系的表述過程中可以得出，集合論中的關(guān)系都是依附于集合的，因?yàn)橹挥屑洗_定了，才能談及集合涉及的從屬關(guān)系、包含關(guān)系；反之，范疇是依附于關(guān)系的，是關(guān)系確定了范疇。就理論中的關(guān)系而言，拉夫爾(F. William Lawvere)曾表示，“集合論基于二元的從屬關(guān)系，范疇論基于三元的復(fù)合關(guān)系(如圖表的交換性)。通過這種方式，范疇論專注于結(jié)構(gòu)，集合論則專注于恒等式……。在范疇論中對(duì)象之間的關(guān)系表示結(jié)構(gòu)的形成，尤其當(dāng)確定出箭頭的上域時(shí)，就能明確區(qū)分包含映射與恒等映射。集合論則不能完全地區(qū)別f：R→R與f：R→N”[1]。顯然，范疇論是借由關(guān)系來理解數(shù)學(xué)，故而對(duì)關(guān)系的表述更加精細(xì)、全面。

(三)重聚理論闡述的對(duì)象域

相較于集合論，范疇論可描述的對(duì)象域更顯寬廣?？紤]理論闡述的對(duì)象域首先要解析集合和范疇的定義。集合的元素都是具體對(duì)象，集合中的映射一般通過函數(shù)表示；由范疇的定義可知，范疇的對(duì)象不需要包含元素，態(tài)射也不必是函數(shù)。例如，一個(gè)有關(guān)形式邏輯系統(tǒng)的范疇，該范疇的對(duì)象是邏輯系統(tǒng)中的公式，態(tài)射是從前提公式到結(jié)論公式之間的推導(dǎo)關(guān)系。[2]可見，范疇的定義更一般化。麥克萊恩(Saunders Mac Lane)對(duì)集合論提出了質(zhì)疑，認(rèn)為集合論不能闡述兩類范疇：(1)由于自我指涉的悖論，集合論不能闡述涉及結(jié)構(gòu)全體的范疇，如所有集合的范疇、所有群的范疇，所有范疇的范疇等；(2)任意兩個(gè)給定的范疇所形成的指數(shù)范疇BA，[1]該范疇是函子范疇，其中的態(tài)射是函子之間的自然轉(zhuǎn)換。然而，我們可以通過單位態(tài)射、恒等態(tài)射等態(tài)射的使用將集合看作范疇中的對(duì)象。結(jié)合上述分析可知，集合論對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象域的描述并不充分，范疇論重新聚焦理論闡述的對(duì)象域，憑借定義的一般化闡述了更大范圍的數(shù)學(xué)對(duì)象域。

(四)重釋數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

與集合論對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的闡釋相比，范疇論的闡釋方式更符合數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的研究宗旨，能夠更高效地重釋數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)哲學(xué)家為結(jié)構(gòu)的闡釋提供了多種思路。布爾巴基學(xué)派(Bourbaki School)最早完成了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的定義，并選用集合論的語言闡釋數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。拉夫爾、麥克拉蒂(Colin McLarty)等支持范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，主張使用范疇論的語言闡釋數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從范疇論與集合論對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的闡釋中可對(duì)比得出兩點(diǎn)：(1)在集合論的闡釋中，交換群與模表示的是同樣的結(jié)構(gòu)，也就是說集合論對(duì)任意給定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)有多種不同的解釋模式；而表示相同結(jié)構(gòu)的范疇是同構(gòu)的，范疇論對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的闡釋保持在恒定的語法中。(2)集合是由元素組成的，故而集合論對(duì)結(jié)構(gòu)的闡釋始終包含與結(jié)構(gòu)無關(guān)的性質(zhì)。范疇論研究的是對(duì)象間的關(guān)系，不關(guān)注對(duì)象由什么組成。在范疇論的闡釋中，數(shù)學(xué)對(duì)象都處于特定的關(guān)系中，不存在與結(jié)構(gòu)無關(guān)的性質(zhì)。顯然，范疇論對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的重新闡釋與結(jié)構(gòu)主義的思想更加契合。阿沃弟(Steve Awodey)對(duì)此表示，“相比于型論以及集合論的構(gòu)造，范疇論支持的結(jié)構(gòu)主義進(jìn)路更為堅(jiān)定、強(qiáng)大以及恒定”[3]124。應(yīng)該說，范疇論更適用于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的研究進(jìn)路。

綜上，范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)具有不同于集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究特點(diǎn)，這源于范疇論自身的構(gòu)造方式。范疇的定義是建立在關(guān)系而不是數(shù)學(xué)對(duì)象之上的，如此決定了范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究重心，以及對(duì)關(guān)系的抽象表述方式，也同時(shí)決定了范疇論所描述的對(duì)象域相對(duì)于集合論而言更為寬廣。結(jié)構(gòu)是范疇論通往數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之路的重要媒介，范疇論在闡釋數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中表現(xiàn)出的恒定與契合突出了其相對(duì)于集合論的研究?jī)?yōu)勢(shì)。

三 范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究性質(zhì)

范疇論與集合論被同時(shí)提及必定源于對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)爭(zhēng)論的探討。盡管是在不同的時(shí)期被提議為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但這兩種理論還是具有明顯的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。究竟是集合論能夠?yàn)榘懂犝撛趦?nèi)的數(shù)學(xué)提供基礎(chǔ)，還是范疇論能夠闡釋所有的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)后來者居上呢？顯然，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的分散式研究不足以回答這一問題，需要從整體角度出發(fā)進(jìn)行解答。因此，我們將從研究特點(diǎn)轉(zhuǎn)向研究性質(zhì)，并依據(jù)范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究性質(zhì)，探索范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)超越集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的可能性。

(一)集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)范疇論闡釋的不充分性

集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究思路是將所有的數(shù)學(xué)對(duì)象都表示為集合；范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)則認(rèn)為數(shù)學(xué)研究的是結(jié)構(gòu)，范疇論可以闡釋所有結(jié)構(gòu)。使用集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)闡釋范疇論就是要解釋數(shù)學(xué)中的結(jié)構(gòu)。貝納塞拉夫(Paul Benacerraf)曾指出數(shù)不是集合；結(jié)構(gòu)主義者主張數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系是滿足了某些特定條件的結(jié)構(gòu)，數(shù)是該結(jié)構(gòu)中的某個(gè)位置。按照這樣的理解，集合論必定不能解釋數(shù)的結(jié)構(gòu)，自然也無法詮釋所有的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。范疇由對(duì)象和態(tài)射構(gòu)成，如果將范疇看作對(duì)象，范疇間的函子看作態(tài)射，又可以形成新的范疇?？紤]到范疇的構(gòu)造，格羅滕迪克(Grothendieck)對(duì)范疇進(jìn)行了區(qū)分，將可以用集合表示的范疇稱作小范疇。顯然，范疇論中還存在一些集合論無法解釋的大范疇。面對(duì)這一難題，集合論者想要通過借助一些理論為所有范疇提供集合論的闡釋。一種思路是借助格羅騰迪克全域(universe)，使那些不能稱作小范疇的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)借助不可達(dá)基數(shù)表示為累積分層(Cumulativehierarchy)中更高級(jí)別的層級(jí)。但是這其中借助的不可達(dá)基數(shù)，其存在超出了ZFC公理系統(tǒng)的包含范圍。因此，集合論采用的這種闡釋方式并不成立。另一種思路源自布拉斯(Andreas Blass)，他指出不需要假定不可達(dá)基數(shù)的存在，“假定當(dāng)變量遍及所有集合或遍及所有小集合時(shí)，每個(gè)一階陳述都有同樣的意義。換言之，所有小集合的全域是所有集合全域的子結(jié)構(gòu)”[4]。這種假設(shè)是想要借助反射原理(Reflectionprinciple)完成，如果依據(jù)大范疇得到了某個(gè)結(jié)論，那么小范疇自然也有同樣的結(jié)論。我們認(rèn)為，利用反射原理并不能完成這樣的假設(shè)。因?yàn)槿绻患俣ú豢蛇_(dá)基數(shù)的存在，集合的語言就不能表述大范疇，范疇的全域與集合的全域沒有包含關(guān)系，自然不能將集合中的結(jié)論應(yīng)用于大范疇。綜上，我們有理由認(rèn)為集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究性質(zhì)并不能完全地適用于范疇論。

對(duì)于集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能否闡釋范疇論，還有一種簡(jiǎn)單的回答，即范疇論與集合論是相互獨(dú)立的，范疇論不需要集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。按照這樣的思路，無論集合論能否充分地闡釋范疇論，都是不必要的?？v觀數(shù)學(xué)史的發(fā)展，集合論在范疇論出現(xiàn)之前已取得輝煌的成就，確實(shí)不需要依賴范疇論。此外，范疇論的出現(xiàn)比較滯后，但是這并不表明范疇論就必然依賴于集合論的相關(guān)概念和理論。林博(?ystein Linnebo)及佩蒂格魯(Richard Pettigrew)在“范疇論作為自主的基礎(chǔ)”[5]一文中論證了范疇論在邏輯、概念上的自主性，表明了范疇論相對(duì)于集合論的獨(dú)立性。由此可見，范疇論確實(shí)不需要集合論的闡釋，它可以依據(jù)公理系統(tǒng)斷言自身存在，范疇論的對(duì)象也不需要集合論的表述，因?yàn)榉懂犝撽P(guān)注的是對(duì)象之間的關(guān)系，不考慮對(duì)象的組成。因此，范疇論自身的發(fā)展不需要借助任何有關(guān)集合論的概念、性質(zhì)等。

簡(jiǎn)言之，集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究性質(zhì)的確可以適用于部分范疇，但不適用于所有的范疇。由此可知，集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)范疇論的闡釋是不充分的。

(二)范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)集合論的闡釋及深化

更重要的是，范疇論不僅可以闡釋集合論，而且能以范疇的方式處理集合，對(duì)集合論進(jìn)行進(jìn)一步深化。以集合范疇為例，將所有的集合看作對(duì)象，集合間的函數(shù)關(guān)系作為態(tài)射，就形成了集合范疇。值得注意的是，范疇與集合的深入聯(lián)系不僅僅局限于集合范疇，而是朝向更一般化的拓?fù)渌?。?yīng)該說，范疇論與集合論在拓?fù)渌构硐到y(tǒng)中的聯(lián)系最為緊密。拓?fù)渌沟某霈F(xiàn)歸功于格羅滕迪克，他認(rèn)為空間屬于范疇，而一般的拓?fù)淇臻g可以表示為拓?fù)渌?。?dāng)然，拓?fù)渌沟暮w范圍遠(yuǎn)不止此。20世紀(jì)70年代，拉夫爾與蒂爾尼(Myles Tierney)對(duì)拓?fù)渌惯M(jìn)行了一階公理化，豐富了拓?fù)渌构硐到y(tǒng)。拓?fù)渌构硎窃谝话愕姆懂牴砩咸砑觾蓚€(gè)涉及終對(duì)象和冪集的公理。顯而易見，所有的拓?fù)渌苟际欠懂?，確切地說，拓?fù)渌故翘厥獾姆懂牎Ｔ谕負(fù)渌构硐到y(tǒng)中，經(jīng)典數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、證明等依然存在及成立，只是不同于原先的構(gòu)造方式。集合范疇作為最一般的拓?fù)渌?，其?duì)集合的處理方式與公理化集合論中的處理方式必然不同。但是，公理化集合論中的定義和證明在拓?fù)渌怪卸际沁m用的，并且使用拓?fù)渌构碇械膬缂?、子集等概念可以替代集合論中的力迫法、?duì)稱子模型等；另外，拓?fù)渌惯€能作用于集合論中一些結(jié)論的證明，例如科恩(Paul Cohen)的獨(dú)立性證明、選擇公理的獨(dú)立性證明。簡(jiǎn)言之，范疇論不僅能夠闡釋集合論中的概念、性質(zhì)、定理等，而且能夠通過結(jié)構(gòu)的方式對(duì)集合論進(jìn)一步深化，使其不同于公理化集合論的構(gòu)造，更加方便、有效地證明數(shù)學(xué)理論。

總之，集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在闡釋范疇的過程中表現(xiàn)出了不充分性，無法闡釋全體數(shù)學(xué)。與之相比，范疇論表現(xiàn)出了一定的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)，不僅范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究性質(zhì)可作用于集合論，而且范疇論還能以結(jié)構(gòu)的方式處理集合論的相關(guān)內(nèi)容。由此，我們認(rèn)為相較于集合論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在描述數(shù)學(xué)的過程中具有一定的優(yōu)勢(shì)，值得數(shù)學(xué)哲學(xué)家繼續(xù)深入研究。

四 范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究意義

范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的發(fā)展深刻地沖擊了集合論長(zhǎng)期以來的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地位，憑借對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的闡釋范疇論在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中脫穎而出，以結(jié)構(gòu)的方式更加清晰地建構(gòu)數(shù)學(xué)。剖析范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究特點(diǎn)及研究性質(zhì)，有助于闡明范疇論不同于集合論的基礎(chǔ)研究進(jìn)路。通過具體的分析比較，范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)展現(xiàn)出了一定的研究?jī)?yōu)勢(shì)。為此，我們將探求范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究意義，彰顯其深遠(yuǎn)的研究?jī)r(jià)值。

(一)研究?jī)?nèi)容上，范疇論的基礎(chǔ)進(jìn)路扭轉(zhuǎn)了傳統(tǒng)基礎(chǔ)研究對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的單一關(guān)注，使數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向了對(duì)關(guān)系的研究

從對(duì)象到對(duì)象之間的關(guān)系，這種轉(zhuǎn)向一方面揭示了范疇論被提議為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的動(dòng)因，另一方面表明了范疇論是不同于集合論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)思路。在結(jié)構(gòu)主義思潮的推動(dòng)下，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義在數(shù)學(xué)哲學(xué)中應(yīng)運(yùn)而生。結(jié)構(gòu)主義者摒除了以集合論為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究思想，嘗試以結(jié)構(gòu)的方式建構(gòu)數(shù)學(xué)，將數(shù)學(xué)看作是由結(jié)構(gòu)構(gòu)成的學(xué)科。范疇論的研究重心是對(duì)象之間的關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的關(guān)系進(jìn)行抽象就得到了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)共同作用形成了數(shù)學(xué)整體，由此產(chǎn)生了從數(shù)學(xué)到結(jié)構(gòu)再到范疇的基礎(chǔ)研究思路，范疇論也因此成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的有力競(jìng)爭(zhēng)者，使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究邁上了新的征程，打破了長(zhǎng)期以來以集合論為主的基礎(chǔ)研究狀態(tài)。

(二)研究方法上，范疇論轉(zhuǎn)向了以方法論為主的基礎(chǔ)研究思路，超越了集合論以本體論為主的基礎(chǔ)研究思路

集合論最顯著的基礎(chǔ)特征是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的闡述，主要在本體論的意義上探討數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。范疇論關(guān)注對(duì)象間的關(guān)系，由關(guān)系決定該結(jié)構(gòu)中的對(duì)象，范疇論確實(shí)有本體論上的斷言，但是與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相比，數(shù)學(xué)中的對(duì)象顯然不是結(jié)構(gòu)主義的研究重心。范疇論的基礎(chǔ)特征源自對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的闡釋，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的研究方法?！拔覀儸F(xiàn)在想要確定一種特定的結(jié)構(gòu)主義方法，這種方法是許多當(dāng)代數(shù)學(xué)家所共用的。它涉及數(shù)學(xué)家所做的工作，我們將其稱作結(jié)構(gòu)主義的方法論?！盵6]考慮到結(jié)構(gòu)主義方法論在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用以及范疇論與結(jié)構(gòu)的闡述關(guān)系，數(shù)學(xué)哲學(xué)家更多的是在方法論這一意義上闡明范疇論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為范疇論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究提供方法論意義上的論證。

(三)研究思路上，范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)遵循著從數(shù)學(xué)到結(jié)構(gòu)再到范疇的研究思路，這一思路既呈現(xiàn)了范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理論淵源，也表明了范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是數(shù)學(xué)哲學(xué)家的任意選擇，而是基于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義思想的合理優(yōu)選

在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的發(fā)展過程中，不只有范疇論的結(jié)構(gòu)主義進(jìn)路，還主要包括先物結(jié)構(gòu)主義及模態(tài)結(jié)構(gòu)主義的進(jìn)路。遺憾的是，先物結(jié)構(gòu)主義無法逃脫認(rèn)識(shí)論的劫難[7]，模態(tài)結(jié)構(gòu)主義對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)中立主義態(tài)度，使其難以表明數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性，也難以規(guī)避語義學(xué)難題。[8]布爾巴基作為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的奠基者，試圖通過集合論闡釋數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，但是這一進(jìn)路并沒有行進(jìn)太遠(yuǎn)就夭折了。范疇論依據(jù)自身的態(tài)射、函子及同構(gòu)等一些概念充分合理地闡釋了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，催生了范疇結(jié)構(gòu)主義的研究進(jìn)路，也由此帶動(dòng)了范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。

(四)研究目的上，隨著數(shù)學(xué)在理論及應(yīng)用中的不斷進(jìn)步，數(shù)學(xué)學(xué)科日益精進(jìn)，但始終無法繞開“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”這一研究主題，范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的興起是解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)爭(zhēng)論的一大重要嘗試

范疇結(jié)構(gòu)主義進(jìn)路極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，尤其在對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的解讀、對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的組織統(tǒng)一等方面。相較于集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在研究特點(diǎn)和研究性質(zhì)上都展現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢(shì)和研究?jī)r(jià)值。另外，盡管ZFC面臨著選擇公理的一致性難題，但在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究中似乎仍具有不可取代的地位，一個(gè)重要的原因就是，數(shù)學(xué)尚缺乏一個(gè)全新的理論來替代傳統(tǒng)的集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究模式。范疇論為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究提供了這樣的可能，它以結(jié)構(gòu)主義方法論為切入點(diǎn)，依據(jù)自身語言闡釋數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的新模式，使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)邁進(jìn)了一個(gè)新的研究階段。

綜上，結(jié)合范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究起點(diǎn)、研究特點(diǎn)及研究性質(zhì)可知，范疇論因自身的研究特性、關(guān)系表述及對(duì)結(jié)構(gòu)的詮釋顯示了其替代集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的可能性，在與集合論的相互闡釋中表現(xiàn)出了相對(duì)的充分性?；诖?，我們認(rèn)為范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在特定方面超越了集合論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是最具發(fā)展前景的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)路之一。盡管數(shù)學(xué)哲學(xué)家對(duì)范疇論能否替代集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)始終保持相對(duì)謹(jǐn)慎的態(tài)度，但這種結(jié)構(gòu)主義的進(jìn)路革新了數(shù)學(xué)哲學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的傳統(tǒng)研究模式，使其具有深刻的研究意義。

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