李明偉

摘 要：常微分方程作為高等數(shù)學(xué)當(dāng)中一門基礎(chǔ)性的課程是用來專門描述客觀存在的事物之間數(shù)量關(guān)系的重要模型?，F(xiàn)存的傳統(tǒng)方式的常微分方程教學(xué)方法已經(jīng)越來越不能滿足學(xué)生興趣型與主動性學(xué)習(xí)的要求，這也給教師的教學(xué)帶來了相當(dāng)大的難度。為了能夠更好的解決這個問題，文章就如何將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程的教學(xué)當(dāng)中來進(jìn)行探討，并對常微分方程的教學(xué)方法提出創(chuàng)新改革。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模思想；常微分方程；融合；教學(xué)

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）01-0093-03

Abstract： Ordinary differential equation， as a basic course in higher mathematics， is an important model used to describe the quantitative relationship between objective things. The current and traditional teaching method of ordinary differential equations has become increasingly unable to meet the students' requirements for interest and learning initiative， which has also brought considerable difficulty for teachers' teaching. In order to solve these problems better， how the mathematical modeling is integrated into ordinary differential equation teaching is discussed， and the teaching methods of ordinary differential equations are carried out in innovation and reform.

Keywords： mathematical modeling thought； ordinary differential equation； integration； teaching

目前我國很多地方高等院校已經(jīng)積極開展高等教育向應(yīng)用型教育方向轉(zhuǎn)變，開始更加注重學(xué)生發(fā)現(xiàn)力、創(chuàng)造力、創(chuàng)新力以及實際動手能力的提升。而作為高等院校當(dāng)中最基礎(chǔ)的學(xué)科——高等數(shù)學(xué)，也在教育改革的大背景下開始進(jìn)行著多方面的改革創(chuàng)新。

一、常微分方程在數(shù)學(xué)中的發(fā)展與建模

很多人對數(shù)學(xué)的第一印象大多都是代數(shù)方程或者公式之類，我們常見的方程有指數(shù)方程以及線性方程等等。雖然方程的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個非常重要的板塊，但是有時候方程卻并不能解決所有的數(shù)學(xué)問題，所以往往我們需要根據(jù)問題的實際要求結(jié)合問題中所給出的條件來探索新的方程式。另外，很多稍微高深一點的數(shù)學(xué)問題并不能夠由一個方程式或者數(shù)值就能推算出來結(jié)果，一般都還需要建立一個復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系。這種函數(shù)關(guān)系看似復(fù)雜其實也并不是很難，因為我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能夠知道，很多方程式之間是存在著很大的關(guān)聯(lián)性的，這些關(guān)聯(lián)性能夠根據(jù)已有的方程式條件來推導(dǎo)出另一種方程公式用來解答。數(shù)學(xué)解題中大多數(shù)時候方式都不是一成不變的，往往會隨著給出條件的變化而改變，我們研究的常微分方程就是這樣的。

何為數(shù)學(xué)建模？常微分方程當(dāng)中的數(shù)學(xué)建模就是指在面對一些較為復(fù)雜困難的問題時，通過對問題進(jìn)行詳盡的研究與分析來找出其中所存在的數(shù)學(xué)規(guī)律，歸納問題中的抽象關(guān)系。并利用這些問題中規(guī)律與關(guān)系來解決實際生活中能夠遇到的一些相關(guān)問題。在這整個過程當(dāng)中就被稱為數(shù)學(xué)建模。

二、常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的特點

在數(shù)學(xué)當(dāng)中很多既定的關(guān)系都是可以千變?nèi)f化的，方程式也是一樣。在一個給出具體的特定環(huán)境當(dāng)中，由于研究的個體對象不能確定從而會產(chǎn)生很多的變化，但是這些變化是有規(guī)律可循的。清晰的掌握住這些規(guī)律，從這些規(guī)律當(dāng)中來研究出既定的原理，這個原理就是整個問題解決的重點。對于這種由于形式的變化而產(chǎn)生規(guī)律從而利用規(guī)律解決問題的過程就是建模的一種固有狀態(tài)。關(guān)于數(shù)學(xué)建模，我們首先必須要對所給出的問題展開全面的分析，要對數(shù)學(xué)建模目的有個清晰的了解。之后根據(jù)所給出的方程形式找出規(guī)律列出常微分方程解答出答案，最后對答案進(jìn)行研究分析，數(shù)學(xué)建模具有很強的邏輯性。數(shù)學(xué)建模一般都是來自于實際生活中的一些經(jīng)驗與方法，借助數(shù)學(xué)知識中某個切入點進(jìn)行深入探討。由于數(shù)學(xué)建模中很多問題的解決都不能唯一確定的，所以解答起來也較為繁瑣。這時候我們可以利用常微分方程的解答方式來幫助數(shù)學(xué)建模過程的探索。

三、數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)的必要性

常微分方程是高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的學(xué)習(xí)內(nèi)容，而高等數(shù)學(xué)則是我國目前大多數(shù)高等院校當(dāng)中最為基礎(chǔ)的課程，尤其對應(yīng)用與教學(xué)類專業(yè)的同學(xué)更為重要。同時常微分方程也是經(jīng)管類、工科類等專業(yè)的學(xué)生必須學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，是其他多個專業(yè)性學(xué)科的理論與實踐基礎(chǔ)。常微分方程作為一種重要模型用來專門描述客觀事物中的數(shù)量關(guān)系，能夠有效的解決人們?nèi)粘Ｉ钪兴龅降臄?shù)學(xué)問題，并且常微分方程已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在很多數(shù)學(xué)相關(guān)領(lǐng)域的研究當(dāng)中。

目前我國大多數(shù)高校的常微分方程教學(xué)都還是保持著傳統(tǒng)模式的教學(xué)方法，在這樣的教學(xué)模式之下，學(xué)生們根據(jù)書本內(nèi)容結(jié)合老師上課時所教授的解題技巧與方法可以很好的熟知常微分方程的解題方法。但這僅僅只是為了解題而解題，忽略了學(xué)習(xí)的目的性是為了付諸實踐應(yīng)用，學(xué)生們大都覺得只需要知道如何解題就可以了，對其題目的實際應(yīng)用卻知之甚少。這也就導(dǎo)致學(xué)生在運用常微分方程來解決生活實際問題時會有所短缺。另外，對于很多大學(xué)生來說，高等數(shù)學(xué)這門課程是讓人比較害怕的學(xué)科，常微分方程的學(xué)習(xí)也是相對有著很大的難度，這樣也會使得很多學(xué)生對學(xué)習(xí)這門課程失去了信心與興趣。這一點對于我國高校教育改革來說是一個需要注重的地方。很明顯，傳統(tǒng)陳舊的常微分方程教學(xué)模式已經(jīng)慢慢開始不能夠適應(yīng)新時代下的高校大學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，改革創(chuàng)新常微分方程的教學(xué)方式已經(jīng)迫在眉睫。而在常微分方程的教學(xué)創(chuàng)新改革當(dāng)中，引入數(shù)學(xué)建模思想就是一個比較好的切入點。數(shù)學(xué)建模思想的融合可以將數(shù)學(xué)當(dāng)中的知識運用到生活實際當(dāng)中去解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，是數(shù)學(xué)與社會生活的交集點。從另外一個層面來說，數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)還可以在很大程度上加強學(xué)生的思維能力擴散以及實際應(yīng)用能力的提升?，F(xiàn)已有相關(guān)數(shù)學(xué)教學(xué)委員會正式提出在高校常微分方程教學(xué)當(dāng)中要注重學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)，并且要加強學(xué)生解決實際問題時的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。由此可見，加強數(shù)學(xué)建模思想與常微分方程教學(xué)的有機融合，能夠非常有效的提升學(xué)生在日常生活中運用常微分方程來解決問題。此外，作為一種具有創(chuàng)新意義的教學(xué)方法，數(shù)學(xué)建?？梢苑e極引導(dǎo)學(xué)生充分了解高數(shù)常微分方程學(xué)習(xí)的方法與實際意義，并能夠極大的培養(yǎng)學(xué)生實際操作應(yīng)用能力。

四、數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)的具體內(nèi)涵

（一）數(shù)學(xué)建模過程階段分析

數(shù)學(xué)建模一開始提出來的目的就是為了解決生活中的某一個實際問題。設(shè)定一個特定內(nèi)容作為研究對象，通過對其進(jìn)行系列假設(shè)與簡化將數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)給科學(xué)具體的構(gòu)建出來。運用這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對現(xiàn)實存在的問題現(xiàn)象進(jìn)行合理解釋最后得出研究結(jié)果與規(guī)律，并從研究結(jié)果與規(guī)律當(dāng)中對問題未來發(fā)展進(jìn)行預(yù)測。所以，數(shù)學(xué)建模并不只是在理論上實施出來的，而是來源于社會實踐。其建設(shè)的方法要與實踐相一致，建設(shè)結(jié)果也必須要反作用與實踐當(dāng)中。關(guān)于數(shù)學(xué)建模的過程我們可以分為具體以下幾個階段：

1. 模型準(zhǔn)備：模型準(zhǔn)備就是在建設(shè)模型之前對即將要研究對象的內(nèi)容、背景以及方向進(jìn)行系統(tǒng)性的了解，并且還需要對研究對象的實際意義進(jìn)行探索。模型準(zhǔn)備是數(shù)學(xué)建模的前提與基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)建模前所必須要充分準(zhǔn)備的內(nèi)容。2.模型假設(shè)：模型假設(shè)是在模型準(zhǔn)備之后，針對具體的社會實際對研究問題進(jìn)行簡化，并對所要研究的問題進(jìn)行合理、精準(zhǔn)的推測與假設(shè)。3.模型建立：模型假設(shè)之后，我們要將具體的社會實際問題給抽象化，讓其轉(zhuǎn)換為我們所研究的數(shù)學(xué)問題，根據(jù)數(shù)學(xué)問題在常微分方程中的所屬種類來建立一個對應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。4.模型求解：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)建立之后，我們就已經(jīng)將實際問題給轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，之后結(jié)合所學(xué)常微分方程內(nèi)容對這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算解答。5.模型分析：對模型求解出來的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)層面的專業(yè)分析。6.模型檢驗：將模型分析之后的結(jié)果與實際問題當(dāng)中的具體情況進(jìn)行比較研究，以確保建構(gòu)模型的合理性與準(zhǔn)確性。7.模型應(yīng)用：模型檢驗之后如果確定了數(shù)學(xué)模型的實用性，我們就可以根據(jù)一開始建構(gòu)模型的目的將其應(yīng)用到實際問題的解決當(dāng)中。

（二）數(shù)學(xué)建構(gòu)模型思想的具體內(nèi)涵

我們這里所提到的數(shù)學(xué)建模思想具體指的是將我們的理論知識與解答方法與我們生活實際當(dāng)中的問題進(jìn)行的有機結(jié)合這樣一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)新思想。具體從兩個方面來認(rèn)知建構(gòu)模型融入常微分方程教學(xué)當(dāng)中的內(nèi)涵：一方面來說，實際生活當(dāng)中存在著很多很難解決的問題，需要我們通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來將其抽象化，轉(zhuǎn)化為我們認(rèn)知的數(shù)學(xué)問題。然后依靠我們的專業(yè)知識與數(shù)學(xué)解答方法來合理有效的解決這一問題。從另外一個方面來說，我們目前所有的包括數(shù)學(xué)、語文、物理等等各個領(lǐng)域的知識都是依靠人們通過對現(xiàn)實生活中的認(rèn)識不斷轉(zhuǎn)變而來，是人們對生活實踐的總結(jié)與延伸。所以，要想將數(shù)學(xué)建模思想融入到常微分方程的日常教學(xué)當(dāng)中，我們首先就需要積極引導(dǎo)學(xué)生對常微分方程中數(shù)學(xué)模型的全方位認(rèn)識。

五、將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)的具體措施

（一）充分利用常微分方程教材中的應(yīng)用素材

就目前而言，我國大多數(shù)高校所使用的常微分方程教學(xué)教材都是王高雄編著的《常微分方程》，亦或者我們在《高等數(shù)學(xué)》教材中也可以接觸到少量的常微分方程學(xué)習(xí)。關(guān)于這些教材，普遍都包含著非常強的邏輯性思維以及較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撔哉J(rèn)知。在這些當(dāng)中都不乏具有一些較為典型的數(shù)學(xué)建模案例的分析，最為典型的就是鐘擺問題。這些具有較強抽象性的知識一般很少會出現(xiàn)在人們生活實際當(dāng)中，不僅對專業(yè)外學(xué)生來說有很大的難度，就算是專業(yè)內(nèi)學(xué)生遇到這些問題也會很頭疼。所以，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，首先教師就可以充分利用教材中所含有的數(shù)學(xué)建模素材來進(jìn)行案例分析。這些教材上的數(shù)學(xué)模型案例一般都是具有很典型的研究意義，通俗易懂具有趣味性，并且與我們現(xiàn)代生產(chǎn)生活都有著密切的聯(lián)系。教師通過教材當(dāng)中的數(shù)學(xué)模型素材來積極引導(dǎo)學(xué)生們對數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的認(rèn)識與理解，讓學(xué)生能夠分析研究抽象意義上的數(shù)學(xué)問題，從而也可以讓學(xué)生能夠進(jìn)一步利用常微分方程數(shù)學(xué)建模思想來解決日常生活中所遇到的實際問題。這樣不僅鍛煉了學(xué)生們的專業(yè)數(shù)學(xué)知識，還提高了學(xué)生的相關(guān)應(yīng)用能力，并且還在很大程度上激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣與積極性。

（二）結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)模型應(yīng)用案例教學(xué)

為了能夠強化學(xué)生們對在課堂書本當(dāng)中所學(xué)習(xí)到的理論知識的理解，鍛煉學(xué)生們運用數(shù)學(xué)相關(guān)知識來解決生活實際中問題的能力，老師在日常的常微分方程教學(xué)當(dāng)中，要帶有目的性地將常微分方程理論專業(yè)知識與生活實際中形成的具體案例進(jìn)行緊密相連，并且還要讓學(xué)生能夠自發(fā)主動的把社會實際中的問題抽象化之后構(gòu)建成數(shù)學(xué)模型。這種結(jié)合生活應(yīng)用案例教學(xué)的方法，既可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維能力，還可以提升學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的直觀認(rèn)識，并且提高了學(xué)生面對實際問題的解決能力。就比如當(dāng)我們在學(xué)習(xí)一階常微分方程的時候，老師可以根據(jù)社會生產(chǎn)生活中經(jīng)常出現(xiàn)的問題如我國人口增長模型、產(chǎn)品的銷售問題等等進(jìn)行舉例說明。讓學(xué)生能夠把具體存在的社會問題抽象化成一個數(shù)學(xué)概念再對其進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建立、分析與研究。

以國民經(jīng)濟(jì)的增長模型問題來舉例。收入的來源是生產(chǎn)，而國民的收入主要用來消費、資金積累以及公共開支。我們需要對國民收入與這三種用途之間存在的數(shù)學(xué)抽象關(guān)系，并建立相關(guān)數(shù)學(xué)增長模型。解：我們假設(shè)Y（t）為國民平均收入水平，用C（t）來表示平均消費水平，用G表示用于公共設(shè)施的開支水平，這里我們可以把它當(dāng)作一個常數(shù)；I（t）是時刻用于投入再生產(chǎn)的投資水平。根據(jù)實際情況可以看出國民的消費水平與國家生產(chǎn)水平成正比，比例系數(shù)為k，即C=Yk，k∈（0，1），稱k是消費系數(shù)，S=1-k稱為積累系數(shù)。對于t時刻國民這三方面總的需求水平表示為D（t），則有：D=kY+I+G（1）。通過對國民經(jīng)濟(jì)增長模型的建立與具體分析，我們能夠很好的運用常微分方程的知識來分析出國民收入與消費資金、資金積累以及公共開支這三者之間的關(guān)系，這種模型也可以為國家制定相應(yīng)政策提供參考價值與理論基礎(chǔ)。

（三）引入“面向問題”式的教學(xué)模式

傳統(tǒng)的教學(xué)邏輯下教師教學(xué)一般都是先讓學(xué)生理解定義與原理再對學(xué)習(xí)方法進(jìn)行討論，之后再教授解題技巧這樣一個流程。然而，一個科學(xué)的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程卻并不是如此，通過這種系列方法固然可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)到理論意義上的知識，但是終歸是缺乏實踐基礎(chǔ)?，F(xiàn)在我國學(xué)習(xí)的最大問題并不是學(xué)不好，而是在于應(yīng)用不好。所以，學(xué)生在這樣的傳統(tǒng)教學(xué)模式下并不是學(xué)習(xí)不到知識，只是這種學(xué)習(xí)方法已經(jīng)老化，讓學(xué)生學(xué)習(xí)起來更加難以掌握理解，那就更不用說將常微分方程應(yīng)用到實際生活當(dāng)中去解決問題了。傳統(tǒng)教學(xué)下的常微分方程學(xué)習(xí)太過注重概念與理論的學(xué)習(xí)，對其理論如何推導(dǎo)、如何演算的方法方面缺乏重視。教師講解一般都是一筆帶過，也不會關(guān)心學(xué)生是否理解，只需要學(xué)生能夠記住理論結(jié)果。這種教學(xué)方式太過機械化，壓抑了學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，容易讓學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生枯燥無趣的厭學(xué)心理。然后，運用“面向問題”教學(xué)方式來教學(xué)，可以讓學(xué)生對自己感興趣的生活實際問題進(jìn)行研究分析，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性就有了保障，并且還能讓學(xué)生的問題理解能力有所提升。之后根據(jù)學(xué)生自身所學(xué)習(xí)的專業(yè)常微分方程知識基礎(chǔ)上對其實際問題進(jìn)行理解總結(jié)，讓學(xué)生能夠切身體會到課堂上所學(xué)習(xí)到的理論知識應(yīng)用于實踐所帶來的成就感，以此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的興趣與熱情。

（四）采用啟發(fā)討論的教學(xué)方法

在傳統(tǒng)常微分方程教學(xué)當(dāng)中一般都是以教師作為課堂主導(dǎo)者，學(xué)生雖然作為學(xué)習(xí)的主體，但大多都只是作為一個聽眾被動接受知識。這樣的教學(xué)不僅讓學(xué)生的學(xué)習(xí)缺乏積極性主動性，而且還非常不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握與理解。所以，在常微分方程教學(xué)創(chuàng)新當(dāng)中應(yīng)該積極改變教學(xué)方式，注重加強教師與學(xué)生之間的交流與溝通。學(xué)生與教師的溝通一旦到位，不僅可以活躍課堂教學(xué)氛圍，還可以帶動教師教學(xué)積極性與學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，最重要的是能讓學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量與實際應(yīng)用能力能夠有極大地提升。能夠具體加強教師與學(xué)生溝通交流的方法有許多，教師可以通過提問問題或者組織課堂學(xué)習(xí)活動等方法來引導(dǎo)學(xué)生們自主發(fā)現(xiàn)問題并能夠分析解決問題。尤其在我們數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)當(dāng)中時，老師首先要帶領(lǐng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模的整體過程，學(xué)生與教師一起參與到建模過程的各個環(huán)節(jié)。在這個過程當(dāng)中，教師可以與學(xué)生展開自由討論，充分發(fā)揮學(xué)生思考的自主性與能動性，學(xué)生也可以就不懂的數(shù)學(xué)問題向老師及時請教。這樣一個方式就可以讓學(xué)生能夠最大效率的提升學(xué)習(xí)能力自己實際問題的解決能力。

（五）采用多媒體教學(xué)手段

既然是創(chuàng)新教學(xué)，那么在常微分方程教學(xué)當(dāng)中自然不能離開現(xiàn)代科技的支撐。計算機多媒體教學(xué)現(xiàn)在已經(jīng)被廣泛運用于各階段教學(xué)當(dāng)中，其在高校教學(xué)中的應(yīng)用最為廣泛，基本貫穿整個高等教育的教學(xué)過程。所以在常微分方程的教學(xué)過程當(dāng)中，我們可以將常微分方程教學(xué)與計算機多媒體緊密聯(lián)系在一起，借助多媒體讓學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)知識有一個直觀的認(rèn)識，并且可以借助計算機軟件來幫助計算方程式或者數(shù)值。這種教學(xué)手段一方面可以使得教師的教學(xué)更加便捷，另一方面也提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且還讓學(xué)生能夠?qū)W習(xí)得更加有效率。

（六）改變考核方法，將學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力納入考核體系

一般來說，我們要檢驗一個學(xué)生的學(xué)習(xí)成果都是通過考試的方式來進(jìn)行。就目前而言，大多數(shù)高校的考試方法還是屬于閉卷類理論考試為主，這種方法從理論考核本身來說并沒有什么弊端，但是如果從應(yīng)用性方面來考慮的話就存在缺失了。所以在常微分方程考核試卷中應(yīng)該多增加一些應(yīng)用性思維較強的題型，還可以將數(shù)學(xué)建模思想給融合到試卷當(dāng)中讓學(xué)生進(jìn)行分析解答，這樣就進(jìn)一步鍛煉和培養(yǎng)了學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模解決實際問題的意識和能力。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想是一個長期而漫長的過程，既需要教師的積極引導(dǎo)也需要學(xué)生主動積極學(xué)習(xí)。將數(shù)學(xué)建模思想融入到常微分方程教學(xué)當(dāng)中可以將常微分方程的內(nèi)涵不斷延伸與分化，能夠更深層次的解析社會生活，從而可以促進(jìn)社會生產(chǎn)發(fā)展進(jìn)步。

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