羌達(dá)勛

類(lèi)比法是人們探索問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的一個(gè)非常有效的方法。學(xué)生在運(yùn)用類(lèi)比法解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)候，似乎駕輕就熟，但實(shí)質(zhì)上存在許多盲區(qū)和錯(cuò)誤。

類(lèi)比法在學(xué)生中存在的主要問(wèn)題

1.形式上的類(lèi)比構(gòu)成錯(cuò)誤。如：在解分式不等式時(shí)，學(xué)生會(huì)把分式不等式類(lèi)比為分式方程來(lái)解。

例1： 解不等式[2x+1x-2]>1

分析：分式問(wèn)題整式化，不少同學(xué)會(huì)將不等式的兩邊同時(shí)乘以[x-2]，這樣就導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤，因?yàn)槲覀儧](méi)有辦法明確[x-2]的正負(fù)。若[x-2]是正的，不等號(hào)不發(fā)生改變；如果[x-2]是負(fù)的，不等號(hào)要發(fā)生改變。

解：∵[2x+1x-2]>1

∴[2x+1x-2]-1>0

∴[x+3x-2]>0

∴（[x+3]）（[x-2]）>0

解得：[x]>2或[x]<-3

故原不等式的解集為：{[x]|[x]>2或[x]<-3}

如果學(xué)生類(lèi)比方程的解法來(lái)解分式不等式，那么就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果。

2.學(xué)生沒(méi)有良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致結(jié)論目標(biāo)發(fā)生偏差。如：在平面中，我們有熟悉的結(jié)論——同一個(gè)平面內(nèi)，一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必與另一條直線相交。如果類(lèi)比到空間中，則顯然不成立。再如：在平面內(nèi)，若兩條直線同時(shí)與第三條直線垂直，則這兩條直線平行。類(lèi)比到空間中，則此結(jié)論亦錯(cuò)誤。

3.類(lèi)比法是一種猜想，僅簡(jiǎn)單地用類(lèi)比的過(guò)程代替證明的過(guò)程，容易得到一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。

例2：判斷下列橢圓和圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

2[x]2+[y]2=8，（[x+2]）2+[y]2=15

錯(cuò)解：聯(lián)立方程

[2x2+y2=8（x+2）2+y2=15]

兩式相減消去y，得[x]2-4[x]+3=0

由△>0，得方程有兩個(gè)不同的解，則橢圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)。之所以會(huì)產(chǎn)生上述的錯(cuò)誤，是因?yàn)閷W(xué)生在解題時(shí)“生搬硬套”，沒(méi)有認(rèn)真考慮本道題的特點(diǎn)，盲目類(lèi)比直線與圓錐曲線的位置關(guān)系造成的。

4.消極的定勢(shì)思維影響，引起負(fù)遷移效果，導(dǎo)致表面的類(lèi)比錯(cuò)誤。如許多學(xué)生會(huì)把求函數(shù)的“零點(diǎn)”與求函數(shù)與[x]軸“交點(diǎn)”坐標(biāo)類(lèi)比，從而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

類(lèi)比法教學(xué)對(duì)策

數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，選出一個(gè)類(lèi)似的、較容易的問(wèn)題，去解決它，改造它的解法，以便它可以作為一個(gè)模型，之后，利用剛建立起來(lái)的模型，以達(dá)到原來(lái)問(wèn)題的解決。如何有效解決數(shù)學(xué)中的類(lèi)比問(wèn)題，需要做到以下幾點(diǎn)：

1.要有正確的類(lèi)比思維過(guò)程

（1）平面中的性質(zhì)正確地類(lèi)比到空間中

在運(yùn)用類(lèi)比法解決問(wèn)題中，平面幾何與立體幾何作類(lèi)比是常見(jiàn)題型。如何正確地進(jìn)行類(lèi)比呢？

例3：（2009年江蘇，8）在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比是1：2，則它們的面積比為1：4，類(lèi)似地，在空間，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1：2，則它們的體積比為 。

解：在空間，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1：2，則它們的底面積之比為1：4，又它們的高之比為1：2，所以它們的體積之比為1：8。

教學(xué)中理清平面與空間基本元素、基本量之間，基本圖形之間的關(guān)系才能認(rèn)識(shí)事物的性質(zhì)與規(guī)律，注意善于運(yùn)用類(lèi)比的思想可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，鞏固新知，從而建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（2）在代數(shù)中要有縝密的類(lèi)比推理

例4：定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作數(shù)列的公和。已知數(shù)列[an]是等和數(shù)列，且[a]1=2，公和為5，那么[a]15的值為 ，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為 。

分析：本題以“等和數(shù)列”為載體，解決的關(guān)鍵是類(lèi)比所學(xué)的等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)及其解題經(jīng)驗(yàn)，突出創(chuàng)新能力的考察，根據(jù)事物之間共同的屬性來(lái)解決問(wèn)題。

2.數(shù)學(xué)思想、方法的類(lèi)比要合理有效

（1）公式、概念、定理的教學(xué)

數(shù)學(xué)中，有許多公式，概念、定理性質(zhì)的教學(xué)，它們中許多可以相互之間找到影子或者痕跡，所以在授課的時(shí)候，教師設(shè)計(jì)問(wèn)題必須層層深入，環(huán)環(huán)相扣，引導(dǎo)學(xué)生由表及里深入思考，讓學(xué)生類(lèi)比猜出所學(xué)新知識(shí)的內(nèi)容，使學(xué)生由被動(dòng)學(xué)習(xí)變主動(dòng)學(xué)習(xí)。如在學(xué)習(xí)等比數(shù)列相關(guān)知識(shí)的時(shí)候，可以類(lèi)比等差數(shù)列學(xué)習(xí)過(guò)程，通過(guò)公式的結(jié)構(gòu)相似來(lái)記憶等比數(shù)列中的公式。再如學(xué)習(xí)柱體體積公式，可以類(lèi)比推導(dǎo)錐體體積公式，再如橢圓與雙曲線的教學(xué)等。

（2）運(yùn)用生活中的事物或現(xiàn)象進(jìn)行類(lèi)比教學(xué)

在講分式不等式的性質(zhì)“若[a]>[b]>0，[b+ca+c]>[ba]”時(shí)，我們用學(xué)生比較熟知的生活常識(shí)“糖水加糖甜又甜”來(lái)做類(lèi)比，非常形象生動(dòng)，學(xué)生也易理解，且記得住。但運(yùn)用類(lèi)比這種方法時(shí)，要正確掌握概念和性質(zhì)的本質(zhì)，有區(qū)別地認(rèn)識(shí)他們的某種相似，如果上述題目中，把條件“[a]>[b]>0”去掉，就是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。

（3）“數(shù)”與“形”相互推測(cè)，做到合理類(lèi)比

例5：已知[ab+c]=[bc+a]=[ca+b]=[K]，求[K]的值。

解：由已知，可設(shè)直線[l1]：[ax]+[by]+[c]=0和直線[l2]：（[b]+[c]）[x]+（[c]+[a]）[y]+[a]+[b]+0重合，從而（[a]+[b]+[c]）（[x]+[y]+[1]）=0

故當(dāng)（[a]+[b]+[c]）=0時(shí)，[K]=-1；[a]+[b]+[c]≠0時(shí)，[K]=[12]。上述例題中，數(shù)與形相互類(lèi)比，相得益彰，可以使問(wèn)題迅速得到解決。

類(lèi)比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的一種思維方法，特別是在把已知事物的性質(zhì)推廣到類(lèi)似事物方面有重大作用。在教學(xué)中，類(lèi)比法是一把雙刃劍，合理地運(yùn)用類(lèi)比法，對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，思維的發(fā)展及能力的提高有著非常大的作用。

（本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題2016年度課題（課題立項(xiàng)號(hào)D/2016/02/07）“普通高中自主課堂的個(gè)性品質(zhì)與文化境界”的研究成果。）

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)）