程 遠(yuǎn)，范元?jiǎng)?/p>

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

行星滾柱絲杠是一種將螺旋運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為直線運(yùn)動(dòng)的裝置，由于其沒有自鎖能力，也可將直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。行星滾柱絲杠具有承載能力強(qiáng)、剛度大、效率高以及壽命長等優(yōu)點(diǎn)。目前，主要應(yīng)用在航空航天、精密機(jī)床、工業(yè)機(jī)器人及醫(yī)療器械等領(lǐng)域[1]。

受加工制造誤差的影響，裝配后的行星滾柱絲杠各零件之間的嚙合狀態(tài)，即嚙合干涉量或嚙合間隙量偏離預(yù)先設(shè)定值，在嚙合區(qū)出現(xiàn)間隙過大或過度的干涉現(xiàn)象。間隙過大會(huì)導(dǎo)致行星滾柱絲杠傳動(dòng)精度降低[2]；過度的干涉會(huì)導(dǎo)致行星滾柱絲杠初期劇烈的摩擦磨損[3]，降低絲杠傳動(dòng)效率及使用壽命[4]。

在行星滾柱絲杠嚙合分析方面，文獻(xiàn)[4-5]建立了嚙合運(yùn)動(dòng)方程，對初始嚙合點(diǎn)及相對滑動(dòng)速度進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[6]通過將螺旋面進(jìn)行離散，對嚙合間隙進(jìn)行了計(jì)算。文獻(xiàn)[7]通過建立行星滾柱絲杠螺紋螺旋曲面方程，建立行星滾柱絲杠嚙合方程，并進(jìn)行了求解。但以上分析都是對理論螺旋面進(jìn)行的分析，未對行星滾柱絲杠嚙合干涉及間隙情況進(jìn)行分析，更沒有考慮加工誤差對行星滾柱絲杠嚙合狀態(tài)的影響。

本文基于行星滾柱絲杠結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立行星滾柱絲杠空間嚙合方程，采用數(shù)值算法對空間嚙合方程進(jìn)行求解，計(jì)算出零側(cè)隙嚙合條件下行星滾柱絲杠絲桿和螺母螺紋的幾何中徑。在此基礎(chǔ)上，分析了行星滾柱絲杠螺紋幾何中徑誤差，螺距誤差，牙型半角誤差，滾柱型面圓弧半徑誤差對行星滾柱絲杠嚙合狀態(tài)的影響。結(jié)果表明，幾何中徑，螺距誤差對嚙合狀態(tài)的影響較大，滾柱型面圓弧半徑對嚙合狀態(tài)的影響很小。誤差分析結(jié)果與實(shí)際生產(chǎn)情況一致，驗(yàn)證了方法和分析結(jié)果的有效性。

1 行星滾柱絲杠結(jié)構(gòu)

行星滾柱絲杠有多種形式，考慮到分析的典型性，本文以標(biāo)準(zhǔn)型行星滾柱絲杠為研究對象。其主要由絲桿、滾柱、螺母、齒環(huán)、保持架以及擋圈等組成[8]，如圖1所示。當(dāng)絲杠運(yùn)動(dòng)時(shí)，絲桿繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，滾柱繞絲桿軸線做行星運(yùn)動(dòng)，螺母直線運(yùn)動(dòng)。

圖1 行星滾柱絲杠結(jié)構(gòu)

通常情況下，為獲得良好的接觸狀態(tài)，絲桿、螺母的軸向截面內(nèi)牙型輪廓為直線，滾柱軸向截面牙型輪廓為圓弧形，從而獲得點(diǎn)接觸形式。行星滾柱絲杠牙型輪廓如圖2所示。

圖2 牙型輪廓

圖中，P0表示螺距，β為型面牙型半角，Rr為滾柱型面圓弧半徑。

2 空間嚙合方程

2.1 坐標(biāo)系的建立

根據(jù)行星滾柱絲杠的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立如圖3所示的空間坐標(biāo)系。主要有固定坐標(biāo)系(Oxyz)、滾柱坐標(biāo)系(ORxRyRzR)、滾柱截面坐標(biāo)系(Orxryrzr)、絲桿截面坐標(biāo)系(Osxsyszs)、螺母截面坐標(biāo)系(Onxnynzn)。

圖3 嚙合接觸分析坐標(biāo)系

圖中，rs、rr、rn分別表示滾柱、絲桿和螺母螺紋中徑半徑，a為滾柱軸線與絲桿軸線之間的距離。

2.2 螺旋面方程

考慮到對稱性，僅對行星滾柱絲杠滾柱、絲桿以及螺母一側(cè)螺旋曲面建立參數(shù)方程[9]。

在滾柱截面坐標(biāo)系Orxryrzr中，滾柱左側(cè)母線上一點(diǎn)M在滾柱坐標(biāo)系ORxRyRzR中的參數(shù)方程為：

(1)

式中，ur為角參變量，xrM、yrM、zrM為M點(diǎn)在滾柱坐標(biāo)系中坐標(biāo)。

固定坐標(biāo)系Oxyz內(nèi)，滾柱母線繞滾柱軸線做螺旋運(yùn)動(dòng)所形成的螺旋曲面參數(shù)方程為：

(2)

式中，θr為滾柱母線繞滾柱軸線zr的轉(zhuǎn)角，Pr為滾柱導(dǎo)程。

為獲得零側(cè)隙嚙合接觸狀態(tài)，將行星滾柱絲杠絲桿、螺母螺紋幾何中徑設(shè)為未知參數(shù)。絲桿右側(cè)母線繞絲桿軸線z形成的螺旋曲面可以分別表示為：

(3)

式中，θs為絲桿右側(cè)母線繞絲桿軸線z的轉(zhuǎn)角，Ps為絲桿導(dǎo)程，us為參變量。

同理，螺母右側(cè)母線繞螺母軸線z形成的螺旋曲面可以分別表示為：

(4)

式中，θn為絲桿右側(cè)母線繞絲桿軸線z的轉(zhuǎn)角，Pn為絲桿導(dǎo)程，un為參變量。

2.3 嚙合方程

根據(jù)空間嚙合原理，行星滾柱絲杠滾柱與絲桿滾柱與絲杠滿足連續(xù)嚙合的條件為[10]：

vrs·n=0

(5)

式中，vrs為嚙合點(diǎn)相對運(yùn)動(dòng)速度，n為嚙合點(diǎn)螺紋螺旋面法向矢量。

(6)

式中，u為ur或us，θ為θr或θs。

因螺旋面任意點(diǎn)切向矢量與該點(diǎn)處法向矢量垂直，有vr·nr=vs·ns=0。則當(dāng)二者在任一點(diǎn)有公法線時(shí)，滿足嚙合條件。nr=kns，k為比例系數(shù)。

由此，滾柱與絲桿的嚙合方程為：

(7)

求解上述方程，可解得(ur,θr,us,θs,rs)，最終獲得滾柱、絲桿嚙合點(diǎn)坐標(biāo)P(Px,Py,Pz)和絲桿螺紋幾何中徑rs。

同理得滾柱與螺母的嚙合方程為：

(8)

求解方程，可解得(ur,θr,un,θn,rn)，最終獲得滾柱、螺母嚙合點(diǎn)坐標(biāo)Q(Qx,Qy,Qz)和螺母螺紋幾何中徑rn。

2.4 嚙合計(jì)算

行星滾柱絲杠嚙合方程為非線性方程組，可以通過牛頓-拉弗遜算法對其進(jìn)行計(jì)算[11]。

以某一規(guī)格的標(biāo)準(zhǔn)型行星滾柱絲杠為例，對行星滾柱絲杠嚙合方程進(jìn)行計(jì)算。行星滾柱絲杠理論參數(shù)如表1所示，此參數(shù)滿足行星滾柱絲杠運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[8]。

表1 行星滾柱絲杠理論幾何參數(shù)

基于表1參數(shù)及嚙合方程，分別求出零側(cè)隙嚙合情況下行星滾柱絲杠絲桿、螺母螺紋幾何中徑rs、rn。計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 滾柱與絲桿和螺母實(shí)際嚙合中徑值

以上實(shí)際結(jié)果表明，在按行星滾柱絲杠運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行參數(shù)計(jì)算所得到的理論參數(shù)設(shè)計(jì)行星滾柱絲杠時(shí)，滾柱與螺母之間干涉很小，工程上可以忽略不計(jì)，但滾柱與絲杠之間存在嚴(yán)重的干涉問題。

3 螺紋型面誤差分析

在實(shí)際加工過程中，行星滾柱絲杠螺紋型面與理論參數(shù)存在偏差，本節(jié)以表1行星滾柱絲杠實(shí)際參數(shù)為例，從螺紋幾何中徑誤差，螺距誤差，牙型半角誤差，滾柱型面圓弧半徑誤差等四個(gè)方面對嚙合狀態(tài)的影響進(jìn)行分析。

3.1 螺紋幾何中徑誤差

行星滾柱絲杠螺紋幾何中徑誤差對行星滾柱絲杠的嚙合狀態(tài)的影響如圖4所示。圖中，嚙合點(diǎn)軸向間隙量正值表示存在嚙合間隙，負(fù)值表示存在嚙合干涉。所分析的滾柱、絲桿以及螺母的幾何中徑直徑誤差在±0.1mm范圍內(nèi)。

圖4 幾何中徑誤差分析

從圖4可見，嚙合間隙量與滾柱、絲桿以及螺母的幾何中徑誤差成線性關(guān)系。滾柱、絲桿螺紋幾何中徑誤差值增大，嚙合點(diǎn)軸向間隙量減小；螺母螺紋幾何中徑值增大，嚙合間隙量增大。行星滾柱絲杠螺紋幾何中徑誤差對行星滾柱絲杠嚙合狀態(tài)有明顯影響。

3.2 螺距誤差

行星滾柱絲杠螺距誤差對行星滾柱絲杠的嚙合狀態(tài)的影響如圖5所示。其中，由于行星滾柱絲杠螺距值一般較小，誤差值也較小。所分析滾柱、絲桿以及螺母的螺距誤差在±0.05mm范圍內(nèi)。

圖5 螺距誤差分析

從圖5可見，嚙合點(diǎn)軸向間隙量與滾柱、螺母、絲桿螺距誤差成線性關(guān)系。絲桿螺距誤差值增大，滾柱與絲桿軸向間隙減小；滾柱螺距誤差值增大，滾柱與絲桿嚙合軸向間隙增大，滾柱與螺母嚙合軸向間隙減??；螺母螺距誤差值增大，滾柱與螺母嚙合軸向間隙增大。螺距誤差對嚙合點(diǎn)軸向間隙量的影響略小于幾何中徑，依然很大，工程中不可忽略。

3.3 牙型半角誤差

行星滾柱絲杠牙型半角差對行星滾柱絲杠的嚙合狀態(tài)的影響如圖6所示。其中，滾柱、絲桿以及螺母的牙型半角誤差在±0.5°范圍內(nèi)。

圖6 牙型半角誤差

從圖6可見，嚙合間隙量與滾柱、絲桿和螺母的牙型半角誤差均成非線性關(guān)系，類似于二次拋物線。滾柱和螺母誤差的嚙合間隙量拋物線頂點(diǎn)在誤差零點(diǎn)；絲桿誤差嚙合間隙量拋物線頂點(diǎn)在誤差為正的某一點(diǎn)。當(dāng)滾柱與螺母牙型半角存在偏差時(shí)，均會(huì)產(chǎn)生嚙合干涉；絲桿的牙型半角誤差為負(fù)時(shí)，產(chǎn)生嚙合干涉，誤差為正時(shí)，存在嚙合間隙，且間隙先增大后減小，誤差大于一定值時(shí)存在嚙合干涉。絲桿牙型半角誤差對嚙合狀態(tài)的影響大于滾柱和螺母牙型半角誤差，牙型半徑對嚙合狀態(tài)的影響較小。

3.4 滾柱型面圓弧半徑誤差

行星滾柱絲杠滾柱圓弧半徑對行星滾柱絲杠的嚙合狀態(tài)的影響如圖7所示。所分析滾柱圓弧半徑誤差在±0.5mm范圍內(nèi)。

從圖7可見，滾柱與絲桿嚙合點(diǎn)軸向間隙量與滾柱型面圓弧半徑誤差近似成線性關(guān)系，誤差值增大，嚙合間隙量減?。粷L柱行星圓弧半徑對滾柱與螺母之間嚙合間隙量無影響。

圖7 滾柱型面圓弧半徑誤差

3.5 小結(jié)

分析結(jié)果表明，在行星滾柱絲杠螺紋幾個(gè)參數(shù)中：螺紋幾何中徑誤差與嚙合間隙量在同一數(shù)量級(jí)上，對嚙合點(diǎn)軸向間隙量的影響最大，螺距誤差次之，誤差會(huì)導(dǎo)致嚙合干涉或間隙量過大，工程中需重點(diǎn)關(guān)注；牙型半角誤差引起的嚙合間隙量在10-4mm數(shù)量級(jí)，滾柱型面圓弧半徑誤差對嚙合間隙量在10-9mm數(shù)量級(jí)，工程中均可以忽略。

在實(shí)際生產(chǎn)加工過程中，螺紋幾何中徑誤差和螺距誤差對嚙合干涉或嚙合間隙影響明顯。誤差分析結(jié)果與實(shí)際生產(chǎn)加工情況一致，證明方法和分析結(jié)果有效。

4 結(jié)論

本文通過建立行星滾柱絲杠螺旋型面空間嚙合坐標(biāo)系以及空間嚙合方程，分析了行星滾柱絲杠螺紋螺旋面參數(shù)誤差對行星滾柱絲杠嚙合狀態(tài)的影響，得出如下結(jié)論：

(1)在按行星滾柱絲杠運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系對行星滾柱絲杠螺紋參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，滾柱與絲桿之間存在嚴(yán)重的干涉問題，實(shí)際絲桿螺紋幾何中徑值應(yīng)小于運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算所得理論值。

(2)行星滾柱絲杠螺紋幾何中徑及螺距誤差對嚙合狀態(tài)影響明顯，牙型半角誤差、滾柱型面圓弧半徑誤差對嚙合狀態(tài)影響較小，工程上可以忽略。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 劉更，馬尚君，佟瑞庭,等.行星滾柱絲杠副的新發(fā)展及關(guān)鍵技術(shù)[J].機(jī)械傳動(dòng)，2012，36(5)：103-108.

[2] Lemor P C. The roller screw, an efficient and reliable mechanical component of electro mechanical actuators[C]. Energy Conversion Engineering Conference, 1996. Iecec 96. Proceedings of the, Intersociety. IEEE, 2002:215-220.

[3] Jones M H, Velinsky S A. Kinematics of Roller Migration in the Planetary Roller Screw Mechanism [J]. Journal of Mechanical Design, 2012, 134(6):579-580.

[4] Velinsky S A, Chu B, Lasky T A. Kinematics and Efficiency Analysis of the Planetary Roller Screw Mechanism[J]. Journal of Mechanical Design, 2009, 131(1):011016.

[5] Jones M H, Velinsky S A. Contact Kinematics in the Roller Screw Mechanism[C]. ASME 2012 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, 2012:451-459.

[6] 趙英, 倪潔, 呂麗娜. 滾柱絲杠副的嚙合計(jì)算[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì), 2003, 20(3):34-36.

[7] 付曉軍，劉更，馬尚君,等.行星滾柱絲杠副螺旋曲面嚙合機(jī)理研究[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2016，52(3)：26-33.

[8] 靳謙忠, 楊家軍. 行星式滾柱絲杠副的運(yùn)動(dòng)特性及參數(shù)選擇[J]. 制造技術(shù)與機(jī)床, 1998(5):13-15.

[9] 吳序堂.齒輪嚙合原理[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2009.

[10] 徐強(qiáng), 王水銘, 趙國平,等. PWG型差動(dòng)絲杠的嚙合干涉分析與消除[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù), 2015(9):107-109.

[11] 陳寶林. 最優(yōu)化理論與算法[M]. 北京:清華大學(xué)出版社, 2005.

(編輯李秀敏)