趙 元，杜 瑩

(沈陽(yáng)工學(xué)院 a.機(jī)械與運(yùn)載學(xué)院； b.基礎(chǔ)課部，遼寧 撫順 113122)

0 引言

近年來(lái)，柔順機(jī)構(gòu)已經(jīng)成為精密超精密運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中定位平臺(tái)的常用解決方案。柔順機(jī)構(gòu)是一種利用運(yùn)動(dòng)構(gòu)件中構(gòu)件自身的彈性變形，從而實(shí)現(xiàn)定位機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)傳遞、力傳遞及轉(zhuǎn)換的機(jī)構(gòu)。由于彈性變形具有可逆性，構(gòu)件自身受到力作用產(chǎn)生變形，卸除載荷后變形消失，實(shí)現(xiàn)傳遞變形的同時(shí)保證不會(huì)產(chǎn)生摩擦磨損和傳動(dòng)間隙[1-2]。柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)主要分為兩種，并聯(lián)和串聯(lián)。其中，柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)能夠克服反向間隙、遲滯效應(yīng)以及鉸鏈加工誤差等缺陷，并且承載能力大、定位精度高、分辨率高以及操作靈活等優(yōu)點(diǎn)，從而柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)廣泛應(yīng)用于超精密定位以及微納制造領(lǐng)域[3-4]。然而，柔順關(guān)節(jié)傳遞位移較大，降低了在非運(yùn)動(dòng)方向的剛度，從而影響了其動(dòng)態(tài)特性。因此，具有較高的剛度比、大的工作空間以及快速的動(dòng)態(tài)相應(yīng)的多自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)仍然是柔順機(jī)構(gòu)領(lǐng)域內(nèi)的重要研究課題。

為得到較為理想的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)，國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者針對(duì)柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)、自由度數(shù)目、剛度優(yōu)化方法以及動(dòng)力學(xué)優(yōu)化方法進(jìn)行了相關(guān)研究，并得到了較為顯著的成果。傳統(tǒng)柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)是通過(guò)鉸接在剛體運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)上不同的柔順鉸鏈，形成全柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)。但是這種方法得到的機(jī)構(gòu)復(fù)雜性較高，剛度分析和動(dòng)力分析太過(guò)復(fù)雜，且無(wú)法滿足超精密定位及微納制造的需要[5-6]，另外還有多自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)等[7-9]。針對(duì)柔順機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析方法，Midha等[10]提出了偽剛體模型法，主要通過(guò)用兩根相鉸接的剛性桿模擬柔性片段的彎曲變形，剛性桿末端軌跡可以通過(guò)改變鉸接點(diǎn)位置和扭簧的剛度逼近柔性片段的軌跡。該模型法在柔順機(jī)構(gòu)的研究中具有較高的精度，但是不能真實(shí)的反應(yīng)柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度和動(dòng)力學(xué)優(yōu)化過(guò)程，不能滿足精密定位的技術(shù)要求[11]。朱大昌等[12]提出一種多支鏈組合成新型全柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)，利用柔性鉸鏈集成在一塊整體材料上，經(jīng)線切割加工得到整體集成式機(jī)構(gòu)，但柔性鉸鏈的整體分布沒(méi)有固定規(guī)則，具有較強(qiáng)的隨意性，因此提出一種針對(duì)柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度和動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法具有實(shí)際意義。

本文提出針對(duì)多自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度優(yōu)化和動(dòng)力學(xué)特性優(yōu)化的新的優(yōu)化方法，包括剛度優(yōu)化與動(dòng)力學(xué)優(yōu)化兩個(gè)過(guò)程，稱為梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。剛度優(yōu)化過(guò)程中對(duì)彎-扭梁結(jié)構(gòu)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)對(duì)剛度矩陣每個(gè)元素單位進(jìn)行統(tǒng)一，動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的目的是在保持最佳剛度的同時(shí)獲得所需要的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性。為了驗(yàn)證該方法的有效性，綜合3自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)并利用Matlab遺傳算法求解器和ANASY有限元仿真軟件對(duì)其進(jìn)行計(jì)算以及仿真分析。

1 基于梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

1.1 梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化原理

柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)包括由數(shù)個(gè)柔順關(guān)節(jié)聯(lián)接的移動(dòng)平臺(tái)，柔順關(guān)節(jié)作為無(wú)摩擦支撐軸承。為綜合多自由度空間運(yùn)動(dòng)柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)，提出一種新的基于梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法對(duì)各柔順關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。以具有3個(gè)柔順關(guān)節(jié)的柔順機(jī)構(gòu)為例，如圖1所示。3個(gè)柔順關(guān)節(jié)關(guān)于移動(dòng)平臺(tái)中心旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，柔順關(guān)節(jié)的設(shè)計(jì)為立方體，其中與移動(dòng)平臺(tái)聯(lián)接的面為可移動(dòng)聯(lián)接面，與其相對(duì)應(yīng)的為固定面。在每個(gè)柔順關(guān)節(jié)空間中設(shè)置初始柔順結(jié)構(gòu)為彎-扭梁，如圖2a。由于本文提出的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法適用于綜合多自由度的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)，因此彎-扭梁的彈性變形可以為每個(gè)柔順關(guān)節(jié)提供至少6個(gè)自由度。其中，貝塞爾曲線基于理想運(yùn)動(dòng)軌跡為每個(gè)柔順關(guān)節(jié)提供可行解。為計(jì)算彎-扭梁的初始方位和扭轉(zhuǎn)性能，設(shè)置梁的初始扭轉(zhuǎn)角和最終扭轉(zhuǎn)角，因此，在自由端運(yùn)動(dòng)聯(lián)接面可以實(shí)現(xiàn)6個(gè)自由度。然后，以一個(gè)薄矩形截面區(qū)域沿三次貝塞爾曲線進(jìn)行掃面，同時(shí)改變兩端的方向就可以得到特定的幾何結(jié)構(gòu)，如彎-扭梁。另外，相比于其他的曲線結(jié)構(gòu)如螺旋線等，具有初始扭轉(zhuǎn)角的貝塞爾曲線也可以改變成任何形式的彎曲結(jié)構(gòu)(如傳統(tǒng)的直梁型)，這也是選擇貝塞爾曲線作為彎-扭梁結(jié)構(gòu)生成掃描路徑的主要原因。如圖2a所示，當(dāng)貝塞爾曲線中兩個(gè)控制點(diǎn)呈一條直線時(shí)，也就是初始扭轉(zhuǎn)角αA和最終扭轉(zhuǎn)角αB等于零，以薄矩形截面區(qū)域掃描貝塞爾曲線得到的梁結(jié)構(gòu)為直梁型結(jié)構(gòu)。具體柔順關(guān)節(jié)空間設(shè)計(jì)為沿Y′Z′平面對(duì)稱的兩個(gè)彎-扭梁作為主要柔順結(jié)構(gòu)，如圖2b。

以上分析可知，彎-扭梁的形成是用薄矩形截面區(qū)域?qū)ρ豗′Z′平面對(duì)稱的三次貝塞爾曲線掃描得到的，起始點(diǎn)和終點(diǎn)分別曲線上的A點(diǎn)和B點(diǎn)。參照?qǐng)D2a，定義彎-扭梁上任意位置上的局部加載點(diǎn)的坐標(biāo)系，其中，Z′軸對(duì)應(yīng)貝塞爾曲線的切線方向，X′軸為整體加載點(diǎn)坐標(biāo)系X軸在平面X′Y′平面上的投影。X′軸與矩形截面區(qū)域的長(zhǎng)邊之間的夾角成為扭轉(zhuǎn)角，如初始扭轉(zhuǎn)角和最終扭轉(zhuǎn)角定義為αA和αB。

圖1 三關(guān)節(jié)柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

(a)彎-扭梁

(b)柔順關(guān)節(jié)圖2 結(jié)構(gòu)示意圖

基于彎-扭梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程如下：首先，定義柔順并聯(lián)結(jié)構(gòu)的自由度以及彎-扭梁的初始參數(shù)，如邊界尺寸和矩形界面區(qū)域的初始參數(shù)等；其次是為剛度優(yōu)化過(guò)程定義柔順關(guān)節(jié)的幾何設(shè)計(jì)變量，剛度優(yōu)化的目的是求出剛度矩陣的最優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)，如式(10)。該過(guò)程中，為找到最佳的彎-扭梁幾何結(jié)構(gòu)預(yù)先定義其截面參數(shù)而不考慮其附加質(zhì)量，從而為柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)目標(biāo)工作空間提供一個(gè)最優(yōu)剛度比；然后進(jìn)行動(dòng)態(tài)相應(yīng)優(yōu)化，考慮到彎-扭梁截面區(qū)域面積參數(shù)、梁附加質(zhì)量分布和位置來(lái)制定動(dòng)態(tài)優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量。考慮到柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的高柔順性和快速動(dòng)態(tài)相應(yīng)性是相互矛盾的，動(dòng)態(tài)優(yōu)化過(guò)程的適應(yīng)度函數(shù)用式(13)表示，分別表示柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的對(duì)期望值的動(dòng)態(tài)相應(yīng)以及在最小化適應(yīng)度函數(shù)值f的同時(shí)盡可能保證較高的剛度性能。最后，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)能夠獲得期望剛度值的同時(shí)得到最佳的動(dòng)態(tài)相應(yīng)特性。

1.2 剛度建模

剛度優(yōu)化的目的是找到彎-扭梁結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)，從而使柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)在目標(biāo)工作空間和尺寸約束的前提下達(dá)到最高的剛度比。利用有限元分析方法將梁離散成為若干段，每一部分都代表標(biāo)準(zhǔn)梁?jiǎn)卧?。假設(shè)所有柔順關(guān)節(jié)對(duì)稱且相同，則彎-扭梁共存在14個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)作為剛度優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量。其中基于坐標(biāo)系(xi,yi,zi)和4個(gè)控制點(diǎn)定義貝塞爾曲線結(jié)構(gòu)的參數(shù)有12個(gè)，剩余兩個(gè)則代表彎-扭梁的扭轉(zhuǎn)角。

每個(gè)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚳梢员硎緸镵e，那么設(shè)柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)中有N個(gè)梁?jiǎn)卧?，則整個(gè)柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的總體剛度矩陣可以表示為下式：

(1)

進(jìn)一步，柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)6×6剛度矩陣可以寫成以下基本形式：

(2)

結(jié)合施加在移動(dòng)平臺(tái)上的外部載荷P以及對(duì)應(yīng)的位移向量U(Δx,Δy,Δz,θx,θy,θz)，上式可以表示為：

(3)

KU=P

(4)

柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度集為D={1,2,…,6}，6自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)中數(shù)字1,2,3分別表示三個(gè)沿X、Y和Z軸運(yùn)動(dòng)的直線自由度；4,5,6分別表示繞X、Y和Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。另外，N和M分別表示期望自由度集和非期望自由度集，即N∪M=D，分別用η和μ表示其個(gè)數(shù)。同時(shí)Pi和Ui、Pj和Uj為期望自由度和非期望自由度對(duì)應(yīng)的載荷和位移。由此可知對(duì)應(yīng)的做功為：

(5)

(6)

式中,Ki(或Kj)代表第i(或第j)個(gè)組件中對(duì)角線剛度矩陣。

對(duì)于特定自由度的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)，用單個(gè)期望做功值與全部組件的非期望做功值的比值表示機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)解耦能力，用R表示其比值關(guān)系，具體如下式：

(7)

根據(jù)式(5)和式(7)，表示柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)最佳剛度值的最小適應(yīng)度函數(shù)值f可以表示為：

(8)

給定柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度，通過(guò)期望做功值可以實(shí)現(xiàn)最大化機(jī)構(gòu)的工作空間，對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)解耦能力可以通過(guò)增大期望自由度和非期望自由度之間的剛度比實(shí)現(xiàn)最大化。

1.3 動(dòng)態(tài)建模

動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的目的是實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的目標(biāo)相應(yīng)，也就是一階共振模式。主要包括兩個(gè)方面，一是彎-扭梁的矩形橫截面參數(shù)，二是柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的材料分布情況，具體見(jiàn)圖3。由圖可知，代表彎-扭梁設(shè)計(jì)變量參數(shù)值有6個(gè)，分別為彎-扭梁矩形橫截面參數(shù)(b1,h1)，附加質(zhì)量塊橫截面參數(shù)(b2,h2)，以及附加質(zhì)量塊的位置和尺寸參數(shù)(P,L)；表示移動(dòng)平臺(tái)參數(shù)變量有2個(gè)(R,T)。

每個(gè)梁?jiǎn)卧馁|(zhì)量矩陣用Me表示，則整個(gè)柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的質(zhì)量矩陣可以表示為：

(9)

其中，柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的固有頻率可以表示為F，則頻率向量可以表示為下式：

(10)

(a)彎-扭梁結(jié)構(gòu) (b)移動(dòng)平臺(tái)圖3 動(dòng)態(tài)優(yōu)化基本參數(shù)

提高柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)裝置的剛度可以獲得機(jī)構(gòu)的最佳動(dòng)態(tài)響應(yīng)。動(dòng)態(tài)優(yōu)化的目標(biāo)是綜合多自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)以獲得目標(biāo)一階共振頻率，此時(shí)F1=Fd。動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型中適應(yīng)度應(yīng)滿足兩個(gè)條件，一是保持較高的剛度比，另外一個(gè)條件是獲得該機(jī)構(gòu)的最佳質(zhì)量分布。因此，動(dòng)態(tài)優(yōu)化過(guò)程中的適應(yīng)度函數(shù)可以用下式表示：

(11)

2 自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化

以3自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)(θx-θy-Z)為例對(duì)提出的結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法進(jìn)行分析。柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最小工作空間設(shè)置為5°×5°×5mm，最小剛度比和理想一階共振頻率分別為100和100Hz，移動(dòng)平臺(tái)材料為Al7075-T6，楊氏模量為71.7GPa，泊松比0.33，密度為2.81g/cm3以及屈服強(qiáng)度為503MPa。柔順關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)空間為50×50×50mm3，彎-扭梁分為15個(gè)梁?jiǎn)卧?/p>

2.1 剛度優(yōu)化

剛度優(yōu)化過(guò)程中得到的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣為對(duì)角占優(yōu)矩陣，也就是說(shuō)在3自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，對(duì)角占優(yōu)矩陣中第3、4和5個(gè)對(duì)角分量分別對(duì)應(yīng)期望自由度Z、θx和θy。相應(yīng)的期望自由度與非期望自由度可以表示為N={4,5,3};η=3和M={1,2,6};μ=3。則相應(yīng)的做功可以表示為：

(12)

(13)

適應(yīng)度函數(shù)為：

(14)

若P為單位載荷，相當(dāng)于κ=1，則上式可以簡(jiǎn)化為：

(15)

根據(jù)剛度優(yōu)化過(guò)程中的變量參數(shù)設(shè)置，定義適應(yīng)度函數(shù)初始參數(shù)值以及各變量的取值范圍，利用Matlab遺傳算法工具箱求解器進(jìn)行求解。由剛度優(yōu)化過(guò)程合成得到的單個(gè)柔順關(guān)節(jié)如圖4a所示，由圖可知，該單個(gè)柔順關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)角為零。通過(guò)設(shè)置兩個(gè)彎-扭梁之間不相交這一約束條件，可以在剛度優(yōu)化過(guò)程中避免減小誤差，兩個(gè)彎-扭梁之間的偏移量設(shè)置為1mm?；趦?yōu)化設(shè)計(jì)變量，對(duì)合成的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行3D模型的建立，如圖4b。得到柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的柔順矩陣Cs，則剛度優(yōu)化過(guò)程可以表示為下式：

(16)

(a)單個(gè)柔順關(guān)節(jié) (b)柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)圖4 剛度優(yōu)化結(jié)構(gòu)

2.2 動(dòng)力學(xué)優(yōu)化及仿真

根據(jù)本文提出的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)優(yōu)化方法對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化，從而得到多自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的質(zhì)量分布優(yōu)化結(jié)構(gòu)。機(jī)構(gòu)的目標(biāo)固有頻率為100Hz，同樣利用Matlab遺傳算法工具箱求解器進(jìn)行多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化。圖5a為最終得到的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)3D模型，利用ANASY有限元仿真軟件對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真得到的一階共振模態(tài)，其結(jié)果符合目標(biāo)值100Hz，如圖5b。動(dòng)力學(xué)優(yōu)化得到的柔順矩陣Cd為：

(17)

根據(jù)柔順矩陣得到剛度比為：

(18)

(a)柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)3D模型 (b)仿真分析一階模態(tài) 圖5 柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)

根據(jù)式(17)和(18)可知，由于柔順矩陣對(duì)角線元素相對(duì)于非對(duì)角線元素大，綜合的多自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有良好的運(yùn)動(dòng)解耦能力。同時(shí)剛度比較大，對(duì)應(yīng)該機(jī)構(gòu)具有較大的工作空間。ANASY數(shù)值仿真過(guò)程中屈服強(qiáng)度設(shè)置為503MPa，工作空間能夠達(dá)到8°×8°×5.5mm，其中，相較于優(yōu)化前的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對(duì)其進(jìn)行剛度優(yōu)化和動(dòng)力學(xué)優(yōu)化后的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)中彎-扭梁的扭轉(zhuǎn)角度提高了60%，機(jī)構(gòu)伸長(zhǎng)量增加了10%，因此，相比目標(biāo)工作空間有較大的提升。因此，基于梁機(jī)構(gòu)優(yōu)化方法得到的3自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)不僅僅能夠得到較好的剛度，而且還能保持較高運(yùn)動(dòng)解耦能力的同時(shí)獲得較大的工作空間。

3 結(jié)論

本文提出針對(duì)多自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度優(yōu)化和動(dòng)力學(xué)特性優(yōu)化的新的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，包括剛度優(yōu)化與動(dòng)力學(xué)優(yōu)化兩個(gè)過(guò)程，稱為梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。該柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要由移動(dòng)平臺(tái)和3個(gè)柔順關(guān)節(jié)空間組成。柔順關(guān)節(jié)空間中，每個(gè)柔順關(guān)節(jié)通過(guò)一組相互對(duì)稱的彎-扭梁進(jìn)行鉸接。剛度優(yōu)化過(guò)程中對(duì)彎-扭梁結(jié)構(gòu)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)對(duì)剛度矩陣每個(gè)元素單位進(jìn)行統(tǒng)一，動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的目的是在保持最佳剛度的同時(shí)獲得所需要的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性。為了驗(yàn)證該方法的有效性，綜合3自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)(θx-θy-Z)并利用Matlab遺傳算法求解器和ANASY有限元仿真軟件對(duì)其進(jìn)行計(jì)算以及仿真分析。計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果顯示，優(yōu)化得到的3自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)不僅能夠?qū)崿F(xiàn)較大的工作空間8°×8°×5.5mm，而且其移動(dòng)剛度比和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度比分別大于200和4000。

本文提出的柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化方法不僅僅局限于3自由度的柔順機(jī)構(gòu)的優(yōu)化過(guò)程，同時(shí)也為合成更高自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)提供了基礎(chǔ)，如5自由度以及6自由度。另外，合成柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)的新方法也將用于探索3D打印技術(shù)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜幾何形狀的制備等問(wèn)題。

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(編輯李秀敏)