于翰文， 馮顯英， 李沛剛， 李 慧

(1.聊城大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院， 山東 聊城 252000；2.山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，濟(jì)南 250061)

0 引言

絲杠螺母的溫升熱變形是接觸件間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)摩擦發(fā)熱造成的，是系統(tǒng)的主要熱源，且絲杠熱誤差尤其是軸向熱誤差對(duì)最終的加工精度影響較大。因此研究系統(tǒng)溫度場(chǎng)分布及滾珠絲杠軸向熱誤差的變化規(guī)律是提高進(jìn)給系統(tǒng)傳動(dòng)精度的重要方向。

陳誠(chéng)等[1]結(jié)合理論分析和經(jīng)驗(yàn)公式，采用分段建模的方法研究了滾珠絲杠溫度場(chǎng)的分布。李醒飛等[2]基于滾珠絲杠的熱傳導(dǎo)方程，通過(guò)引入隨溫度變化的參數(shù)來(lái)修正所建立的滾珠絲杠溫度場(chǎng)理論模型，并預(yù)測(cè)滾珠絲杠熱誤差。陳學(xué)尚[3]針對(duì)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)熱誤差進(jìn)行了理論分析，計(jì)算了主要產(chǎn)熱部件的發(fā)熱量，溫升及絲杠的軸向熱誤差;夏軍勇[4]基于最小二乘系統(tǒng)辨識(shí)理論建立了滾珠絲杠熱變形的動(dòng)態(tài)模型，并在DM4600立式銑床上驗(yàn)證了預(yù)測(cè)模型的正確性和有效性；文獻(xiàn)[5]通過(guò)一維桿的傳熱分組顯式數(shù)值解，分析熱彈性效應(yīng)的變化規(guī)律，并結(jié)合非線性時(shí)序模型與前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(NARMAX-NN)，來(lái)辨識(shí)熱彈性效應(yīng)；劉昌華[6]和黃東洋[7]均利用熱阻網(wǎng)絡(luò)法求解主軸溫度，將主軸系統(tǒng)中不同單元和部件用熱節(jié)點(diǎn)表示，通過(guò)計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)間的熱阻并構(gòu)建熱網(wǎng)絡(luò)模型，同時(shí)建立不同節(jié)點(diǎn)的熱平衡方程，數(shù)值計(jì)算得到各節(jié)點(diǎn)溫度。蘇妍穎[8]以螺母旋轉(zhuǎn)式滾珠絲杠副為研究對(duì)象，根據(jù)熱量傳遞路線和溫度節(jié)點(diǎn)的布置，建立了熱網(wǎng)絡(luò)模型，并得到穩(wěn)態(tài)時(shí)溫度場(chǎng)分布。以上均以單驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，而本文中是以一種新型的雙驅(qū)動(dòng)微量進(jìn)給機(jī)構(gòu)為分析目標(biāo)，其驅(qū)動(dòng)方式和傳動(dòng)部件結(jié)構(gòu)不同于常規(guī)系統(tǒng)。

本文在多熱源作用下根據(jù)絲杠熱傳導(dǎo)方程建立雙驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的溫度場(chǎng)模型，基于機(jī)械熱變形理論，預(yù)測(cè)雙驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠的軸向熱誤差，并在雙驅(qū)動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行熱實(shí)驗(yàn)，對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。由于熱變形是制約高精度微量進(jìn)給的主要因素，因此非常有必要對(duì)該新型微量進(jìn)給系統(tǒng)的熱動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究，其結(jié)果為進(jìn)一步的熱誤差補(bǔ)償?shù)於ɑA(chǔ)。

1 雙驅(qū)動(dòng)精密傳動(dòng)機(jī)構(gòu)

圖1所示為以螺母旋轉(zhuǎn)式滾珠絲杠副為傳動(dòng)部件的微量進(jìn)給機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖。

通過(guò)“螺母旋轉(zhuǎn)式滾珠絲杠副”把動(dòng)力和位移傳遞給工作臺(tái)，絲杠伺服電機(jī)通過(guò)聯(lián)軸器驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠旋轉(zhuǎn)；螺母伺服電機(jī)則通過(guò)同步帶驅(qū)動(dòng)螺母旋轉(zhuǎn)；絲杠采用“固定-支撐” 的安裝方式，固定端采用一對(duì)角接觸球軸承，支撐端采用向心球軸承；工作臺(tái)在滾動(dòng)導(dǎo)軌上做往返運(yùn)動(dòng)。

1.底座 2.導(dǎo)軌 3.螺母電機(jī) 4.滑塊 5.主同步帶輪 6.螺母電機(jī)安裝板 7.絲杠電機(jī) 8.電機(jī)傳動(dòng)座 9.滾珠絲杠 10.從同步帶輪 11.旋轉(zhuǎn)螺母 12.工作臺(tái) 13.支撐軸承座

圖1雙驅(qū)動(dòng)精密傳動(dòng)機(jī)構(gòu)

2 雙驅(qū)動(dòng)進(jìn)給系統(tǒng)溫度場(chǎng)與熱誤差建模

2.1 滾珠絲杠熱傳導(dǎo)

由于機(jī)床進(jìn)給精度主要受到絲杠軸線方向熱變形的影響，將絲杠視為只存在軸線方向有溫度梯度的一維熱傳導(dǎo)體。一維桿的熱傳導(dǎo)方程為[9]：

(1)

式中，T(x,t)是絲杠上的溫度函數(shù)，表示在t時(shí)刻距離熱源為x位置處的溫度變化；α為導(dǎo)溫系數(shù)，α=κ/ρc，κ為熱導(dǎo)率，ρ為絲杠的密度，c為比熱容；h為絲杠與空氣的對(duì)流換熱系數(shù)；d0為絲杠的公稱直徑；Tf為環(huán)境溫度。

如圖2所示，雙驅(qū)動(dòng)微量進(jìn)給系統(tǒng)中的主要熱源有五個(gè)：端部絲杠電機(jī)的熱源QM，靠近電機(jī)端絲杠軸承熱源1QB1，螺母組件軸承處的熱源2QB2，絲杠螺母熱源QN，遠(yuǎn)離電機(jī)端絲杠軸承熱源3QB3；在運(yùn)行過(guò)程中，螺母組件沿絲杠軸線方向在絲杠有效行程范圍內(nèi)做往返運(yùn)動(dòng)，因此將熱源QN和QB2之和看做是絲杠表面的環(huán)狀固定熱源。

圖2 系統(tǒng)熱源分布示意圖

2.2 恒定熱源作用下絲杠溫度場(chǎng)分析

絲杠溫度場(chǎng)即為熱傳導(dǎo)方程式(1)的解，然而卻無(wú)法得到其解析解[10]。絲杠在快速升溫或降溫的非穩(wěn)態(tài)階段，絲杠內(nèi)部熱傳導(dǎo)率遠(yuǎn)大于其與空氣的對(duì)流換熱效率，此時(shí)κ?h，因此在絲杠溫度變化的非穩(wěn)態(tài)階段可以忽略熱傳導(dǎo)方程中的對(duì)流換熱項(xiàng)，得絲杠的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程為：

(2)

以絲杠單端為恒定功率熱源作為邊界條件，研究恒定熱源引起的絲杠溫度場(chǎng)。假設(shè)系統(tǒng)初始溫度與環(huán)境一致，則初始條件為T(x,0)=Tf；恒定熱源的溫度為Tm，則邊界條件為T(0,t)=Tm；求解式(2)可以得到絲杠的瞬態(tài)溫度場(chǎng)分布：

(3)

式中，Tt(x,t)表示絲杠瞬態(tài)溫度值；Γmax=Tm-Tf，表示絲杠達(dá)到穩(wěn)態(tài)后各點(diǎn)的溫升值；erf(x)在數(shù)學(xué)中定義為誤差函數(shù)：

(4)

當(dāng)絲杠溫度場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，各點(diǎn)的溫度將不隨時(shí)間變化，即?T(x,t)/?t=0，由式(1)得到絲杠穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程：

(5)

求解式(5)得到絲杠穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)分布為：

(6)

式中，Ts(x,t)表示絲杠穩(wěn)態(tài)溫度值；C1和C2是代表絲杠溫度上升程度和分布情況的系數(shù)。

在考慮對(duì)流換熱的情況下，絲杠穩(wěn)態(tài)時(shí)的溫升值為Γmax=Ts(x,t)-Tf。聯(lián)立式(3)、式(4)和式(6)得到絲杠在單側(cè)恒定熱源作用下的溫度場(chǎng)理論模型為：

(7)

2.3 進(jìn)給系統(tǒng)的熱阻網(wǎng)絡(luò)法分析

2.3.1 雙驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠副熱節(jié)點(diǎn)布置

通過(guò)對(duì)雙驅(qū)動(dòng)螺母旋轉(zhuǎn)式滾珠絲杠副的熱傳遞分析得知，因功率損耗而產(chǎn)生的熱量對(duì)整個(gè)滾珠絲杠副的溫度場(chǎng)影響很大，因此需要在熱源點(diǎn)處布置溫度節(jié)點(diǎn)；此外在滾珠絲杠副中與內(nèi)部空氣或外界環(huán)境有熱對(duì)流的部件處也要布置上溫度節(jié)點(diǎn)。如圖3所示為在絲杠螺母熱源和螺母組件軸承熱源的作用下雙驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠副的溫度節(jié)點(diǎn)布置情況，圖4、圖5分別為在絲杠電機(jī)和左側(cè)軸承熱源作用時(shí)絲杠的溫度節(jié)點(diǎn)布置圖以及在絲杠右側(cè)軸承熱源作用時(shí)絲杠的溫度節(jié)點(diǎn)布置圖。

圖3 雙驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠副的溫度節(jié)點(diǎn)布置圖

圖4 絲杠電機(jī)和左側(cè)軸承熱源作用時(shí)絲杠的溫度節(jié)點(diǎn)布置圖

圖5 絲杠右側(cè)軸承熱源作用時(shí)絲杠的溫度節(jié)點(diǎn)布置圖

圖3～圖5中的“·”代表系統(tǒng)中所布置的溫度節(jié)點(diǎn)位置。

2.3.2 雙驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠副熱網(wǎng)絡(luò)建立

如圖6～圖8所示，建立該雙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的熱阻網(wǎng)絡(luò)模型。符號(hào)“?”代表系統(tǒng)的熱源點(diǎn)；R代表兩溫度節(jié)點(diǎn)之間的熱阻，其中下標(biāo)“C”代表兩部件之間是以熱傳導(dǎo)的方式進(jìn)行熱量傳遞，下標(biāo)“V”代表部件與系統(tǒng)內(nèi)部空氣或外界環(huán)境進(jìn)行熱對(duì)流換熱；箭頭代表兩溫度節(jié)點(diǎn)之間熱流的方向。

圖6 絲杠電機(jī)和左側(cè)軸承熱源作用時(shí)熱網(wǎng)絡(luò)模型

圖7 絲杠右側(cè)軸承熱源作用時(shí)熱網(wǎng)絡(luò)模型

圖8 雙驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠副的熱阻網(wǎng)絡(luò)模型

2.3.3 雙驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠副熱平衡方程

為方便對(duì)系統(tǒng)溫度場(chǎng)的分析，在列出系統(tǒng)熱平衡方程之前，首先對(duì)雙驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠系統(tǒng)作如下假設(shè)和簡(jiǎn)化：

(1)該雙驅(qū)動(dòng)螺母旋轉(zhuǎn)式滾珠絲杠副已達(dá)到熱平衡狀態(tài)；

(2)由于機(jī)械傳動(dòng)過(guò)程中各零部件間的溫差低于200℃，因此忽略熱輻射的影響；

(3)假設(shè)滾珠絲杠副中零部件的材料各向同性，熱流方向不影響熱阻的大??；

(4)假設(shè)在溫度變化過(guò)程中，系統(tǒng)各零部件的導(dǎo)熱系數(shù)是不變的；

(5)忽略滾珠絲杠副中各零部件間的接觸熱阻；

(6)假設(shè)系統(tǒng)所處的外界環(huán)境為25℃的恒溫狀態(tài)；

根據(jù)基爾霍夫定律和以上的假設(shè)，列出雙驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠系統(tǒng)中各溫度節(jié)點(diǎn)的熱平衡方程如下：

TA=25℃

將該雙驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠系統(tǒng)的熱平衡方程組寫成矩陣的形式，如下：

Am×nTn×1=Bm×1

(8)

式中，Am×n是由熱阻倒數(shù)組成的溫度系數(shù)矩陣；Tn×1是節(jié)點(diǎn)溫度矩陣；Bm×1熱源點(diǎn)組成的矩陣，非熱源點(diǎn)的值視為零。

2.4 滾珠絲杠的熱誤差計(jì)算

本文微量進(jìn)給機(jī)構(gòu)中的絲杠采用一端固定支撐，一端自由伸長(zhǎng)的安裝方式，絲杠末端的熱伸長(zhǎng)量即為絲杠總的熱誤差值。忽略絲杠的螺紋，將絲杠視為光滑的圓柱體，絲杠熱誤差的原理如圖9所示。

圖9 絲杠熱誤差原理圖

將絲杠劃分成一個(gè)個(gè)的“微單元”ΔL0，為了精確的預(yù)測(cè)熱誤差令ΔL0→0，熱源作用一段時(shí)間后，溫度變化為(T(x,t)-T0)，絲杠上“微單元”的熱誤差為：

ΔL(x)-ΔL0=αT[T(x,t)-T0]ΔL0

(9)

式中，ΔL(x)-ΔL0代表“微單元”的熱伸長(zhǎng)量；αT為絲杠的平均線膨脹系數(shù)。

絲杠末端的熱誤差可由各個(gè)“微單元”的熱伸長(zhǎng)量積分得到，絲杠總的熱誤差為：

(10)

3 仿真與分析

表1給出了雙驅(qū)動(dòng)微量進(jìn)給系統(tǒng)的參數(shù)，絲杠固定端采用的角接觸球軸承型號(hào)為7210AC，自由支撐端的向心球軸承型號(hào)為6201，并根據(jù)圖1所示的雙驅(qū)動(dòng)進(jìn)給機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)以及經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，利用Matlab數(shù)值計(jì)算軟件編制分析程序。

表1 系統(tǒng)的熱分析參數(shù)

3.1 多熱源的節(jié)點(diǎn)溫度

圖10～圖15為多熱源作用時(shí)雙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)溫度值隨螺母旋轉(zhuǎn)速度及合成旋轉(zhuǎn)速度變化的情況，根據(jù)線性疊加原理多熱源的節(jié)點(diǎn)溫度等于各個(gè)單一熱源作用時(shí)溫度的疊加，節(jié)點(diǎn)的合成溫度是求解絲杠熱誤差的前提。當(dāng)螺母旋轉(zhuǎn)速度nN=0r/min時(shí)，即為絲杠單驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，節(jié)點(diǎn)溫度隨絲杠轉(zhuǎn)速的提高而迅速增大；當(dāng)螺母旋轉(zhuǎn)速度nN>0r/min且合成旋轉(zhuǎn)速度Δ≠0r/min時(shí)，即為雙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，在相同進(jìn)給速度時(shí)，雙驅(qū)動(dòng)工況下節(jié)點(diǎn)溫度值要高于單驅(qū)動(dòng)時(shí)的節(jié)點(diǎn)溫度值。鑒于雙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)獨(dú)特的傳動(dòng)部件及驅(qū)動(dòng)方式，其溫度場(chǎng)的分布要比同等參數(shù)下的單驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)復(fù)雜的多。

3.2 滾珠絲杠穩(wěn)態(tài)熱誤差

圖10 多熱源絲杠節(jié)點(diǎn)20(或31)合成溫度值

圖16～圖21為絲杠各節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)熱誤差隨螺母旋轉(zhuǎn)速度及合成旋轉(zhuǎn)速度的變化情況。從圖中看出隨著距離絲杠固定端位置的增大，穩(wěn)態(tài)熱誤差也在增大；由于絲杠的穩(wěn)態(tài)熱誤差是由溫度對(duì)位置的積分得到的，因此穩(wěn)態(tài)熱誤差的值同樣隨螺母旋轉(zhuǎn)速度及合成旋轉(zhuǎn)速度的提高而增大，而且在雙驅(qū)動(dòng)工況下各節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)熱誤差要大于單驅(qū)動(dòng)工況下的值。

圖11 多熱源絲杠節(jié)點(diǎn)21(或30)合成溫度值 圖12 多熱源絲杠節(jié)點(diǎn)22(或29)合成溫度值

圖13 多熱源絲杠節(jié)點(diǎn)23(或28)合成溫度值 圖14 多熱源絲杠節(jié)點(diǎn)24(或27)合成溫度值

圖15 多熱源絲杠節(jié)點(diǎn)25(或26)合成溫度值 圖16 絲杠節(jié)點(diǎn)20(或31)穩(wěn)態(tài)熱誤差

圖17 絲杠節(jié)點(diǎn)21(或30)穩(wěn)態(tài)熱誤差 圖18 絲杠節(jié)點(diǎn)22(或29)穩(wěn)態(tài)熱誤差

圖19 絲杠節(jié)點(diǎn)23(或28)穩(wěn)態(tài)熱誤差 圖20 絲杠節(jié)點(diǎn)24(或27)穩(wěn)態(tài)熱誤差

圖21 絲杠節(jié)點(diǎn)25(或26)穩(wěn)態(tài)熱誤差

4 溫升及熱伸長(zhǎng)測(cè)試實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

檢測(cè)系統(tǒng)的硬件主要由溫度傳感器(T1～T4)、數(shù)據(jù)采集卡等組成，如圖22所示，其中溫度傳感器T1安裝在絲杠電機(jī)軸承處檢測(cè)近端軸承的溫度，T2安裝在螺母法蘭處檢測(cè)螺母溫度，T3安裝在遠(yuǎn)離絲杠電機(jī)軸承處檢測(cè)遠(yuǎn)端軸承的溫度，T4用于檢測(cè)環(huán)境溫度。微位移傳感器采用基恩士LK-031激光測(cè)微儀，用于測(cè)量絲杠末端軸向熱伸長(zhǎng)，測(cè)量范圍0～1mm，變送輸出-5V～5V，分辨率1μm。溫度檢測(cè)選用德國(guó)賀利氏熱電阻Pt100和溫度變送器，測(cè)溫范圍0℃～100℃；變送輸出0～5V；數(shù)據(jù)采集卡選用研華4711A。

圖22 測(cè)量系統(tǒng)

4.2 測(cè)試結(jié)論

如圖23～圖25所示，分別為當(dāng)螺母轉(zhuǎn)速為180r/min，絲杠轉(zhuǎn)速為216r/min雙驅(qū)動(dòng)工況下絲杠近端軸承、絲杠遠(yuǎn)端軸承和螺母法蘭處的溫度變化情況。由圖23得出當(dāng)絲杠近端軸承達(dá)到熱穩(wěn)態(tài)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的溫升值約7.5℃，仿真得到的穩(wěn)態(tài)溫升值為6.21℃；由圖24得出絲杠遠(yuǎn)端軸承達(dá)到熱穩(wěn)態(tài)后的實(shí)驗(yàn)溫升值約為4℃，仿真得到的穩(wěn)態(tài)溫升值為3.2℃；同樣由圖25得出螺母法蘭在達(dá)到熱穩(wěn)態(tài)后的實(shí)驗(yàn)溫升值約為3.8℃，仿真得到的穩(wěn)態(tài)溫升值為2.37℃；在關(guān)鍵點(diǎn)處得到的穩(wěn)態(tài)溫升實(shí)驗(yàn)值與仿真結(jié)果基本吻合。

圖23 雙驅(qū)動(dòng)時(shí)絲杠近端軸承溫度 圖24 雙驅(qū)動(dòng)時(shí)絲杠遠(yuǎn)端軸承溫度

如圖26所示為相同工況下測(cè)得的絲杠末端熱伸長(zhǎng)，當(dāng)達(dá)到熱穩(wěn)態(tài)后實(shí)驗(yàn)測(cè)得的絲杠末端熱伸長(zhǎng)量約為10.5μm，仿真結(jié)果為11.98μm；實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果驗(yàn)證了絲杠末端熱誤差理論分析模型的準(zhǔn)確性。

圖25 雙驅(qū)動(dòng)時(shí)螺母法蘭溫度 圖26 雙驅(qū)動(dòng)時(shí)絲杠末端熱伸長(zhǎng)

5 結(jié)束語(yǔ)

設(shè)計(jì)了一種新型雙驅(qū)動(dòng)螺母旋轉(zhuǎn)式滾珠絲杠副微量進(jìn)給機(jī)構(gòu)，基于傳熱學(xué)理論利用熱阻網(wǎng)絡(luò)法對(duì)雙驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了分析，結(jié)果客觀反映了系統(tǒng)中的溫度分布，通過(guò)布置更多的溫度節(jié)點(diǎn)以及利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)修改的方法來(lái)提高模型的預(yù)測(cè)精度。熱變形誤差是微量進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)誤差的重要組成部分，本文建立了該微量進(jìn)給機(jī)構(gòu)隨螺母、絲杠速度變化的溫度場(chǎng)及絲杠熱伸長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型，在微量進(jìn)給時(shí)當(dāng)給定螺母和絲杠的轉(zhuǎn)速可以提前預(yù)測(cè)出該機(jī)構(gòu)的溫度場(chǎng)分布情況及絲杠各節(jié)點(diǎn)的熱伸長(zhǎng)量，可以實(shí)現(xiàn)熱誤差的前饋補(bǔ)償以提高系統(tǒng)的傳動(dòng)精度，通過(guò)理論分析和實(shí)驗(yàn)研究揭示了其不同于常規(guī)單驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的熱動(dòng)態(tài)特性。在多熱源作用及相同進(jìn)給速度時(shí)，雙驅(qū)動(dòng)工況下節(jié)點(diǎn)溫度值要高于單驅(qū)動(dòng)時(shí)的節(jié)點(diǎn)溫度值，其溫度場(chǎng)的分布及熱誤差要比同等參數(shù)下的單驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)復(fù)雜的多。

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