婁志超，趙先鋒，史紅艷，姜雪婷

(貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，貴陽(yáng) 550025)

0 引言

立銑刀作為一種高性能的自由曲面加工刀具，具有良好的切削加工性能和加工表面質(zhì)量，在航空航天、汽車(chē)、模具等行業(yè)廣泛使用。但是由于立銑刀結(jié)構(gòu)復(fù)雜，規(guī)格繁多，螺旋槽復(fù)雜曲面的設(shè)計(jì)算法復(fù)雜，人工計(jì)算工作效率較低，因此可利用CAD技術(shù)對(duì)刀具設(shè)計(jì)進(jìn)行參數(shù)化的開(kāi)發(fā)。近些年，隨著國(guó)內(nèi)外眾多優(yōu)秀的商業(yè)化三維建模軟件的發(fā)展和廣泛應(yīng)用(達(dá)索公司的CATIA和SolidWorks、西門(mén)子公司的UG以及PTC公司的Pro/Enginee等)，為復(fù)雜刀具的建模系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)提供了新的平臺(tái)，國(guó)內(nèi)相應(yīng)的展開(kāi)了針對(duì)復(fù)雜刀具三維建模技術(shù)的研究工作。米蓉[1]基于CATIA和UG二次開(kāi)發(fā)技術(shù)建立了基于加工過(guò)程的整體式立銑刀三維模型；趙鑫[2]通過(guò)UG/Open二次開(kāi)發(fā)工具實(shí)現(xiàn)了錐度球頭銑刀的設(shè)計(jì)；熊烽[3]基于Matlab軟件，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，繪制設(shè)計(jì)圖形一種等螺旋角、等前角圓錐球頭立銑刀；李宏德[4]基于PRO/E軟件，對(duì)立銑刀螺旋容屑槽的法向截形參數(shù)與立銑刀螺旋角與截面旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)立銑刀實(shí)體建模；趙先鋒[5-6]利用包絡(luò)原理在SolidWorks的基礎(chǔ)上進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，建立了立銑刀的三維模型，其螺旋槽截面圖形和Walter的截面圖形完全一致；然而上述研究大多通過(guò)商業(yè)軟件繪圖軟件進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，依賴(lài)于國(guó)外軟件的圖形系統(tǒng)，沒(méi)有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)，具有很大的應(yīng)用局限性。

OpenGL是個(gè)基層圖形庫(kù)，如商業(yè)軟件中CAD、UG等三維建模軟件都是以O(shè)penGL圖形庫(kù)進(jìn)行開(kāi)發(fā)，通過(guò)OpenGL構(gòu)建三維曲面[8]，將三維圖形劃分為點(diǎn)云，再進(jìn)行點(diǎn)云的相互點(diǎn)之間的連接形成三角網(wǎng)格，將模型網(wǎng)格進(jìn)行OpenGL渲染，以此實(shí)現(xiàn)立銑刀螺旋槽的建模[9]；并且OpenGL是個(gè)與硬件無(wú)關(guān)的軟件接口，可以在不同的平臺(tái)如Windows 7、Unix、Linux等之間進(jìn)行移植。具有很好的移植性，可以獲得非常廣泛的應(yīng)用?；贠penGL的程序框架構(gòu)造好后，用戶(hù)只需要在對(duì)應(yīng)的函數(shù)中添加程序代碼即可，擴(kuò)展性好，由于OpenGL是圖形的底層圖形庫(kù)，不需要依賴(lài)于其他繪圖軟件的技術(shù)，具有獨(dú)立性。

因此，本文在Visual Studio 2015平臺(tái)下基于OpenGL研究開(kāi)發(fā)立銑刀三維參數(shù)化建模軟件，省略將商業(yè)建模軟件作為搭建建模系統(tǒng)的中介，而直接由OpenGL底層圖形庫(kù)，采用點(diǎn)云進(jìn)行三維曲繪制方法進(jìn)行開(kāi)發(fā)，并提出了以關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的思想，通過(guò)改變關(guān)鍵點(diǎn)的位置實(shí)現(xiàn)立銑刀的三維建模；由于是從底層實(shí)現(xiàn)繪圖，建模精確精度大大提高，建模效率也有提升。該軟件以CAD工程圖作為參考進(jìn)行模型的繪制，可直接以CAD工程圖進(jìn)行參數(shù)的輸入，方便快捷，具有較好的實(shí)用性；直接通過(guò)OpenGL進(jìn)行建模，具有獨(dú)立的技術(shù)體系和自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)，具有廣闊的市場(chǎng)應(yīng)用前景。

立銑刀螺旋槽三維模型生成方式，如圖1所示。

圖1 立銑刀螺旋槽模型生成流程

1 OpenGL建模環(huán)境的搭建

由于OpenGL是個(gè)狀態(tài)機(jī)的概念，需要通過(guò)創(chuàng)建OpenGL的渲染設(shè)備，并依次將其所需狀態(tài)進(jìn)行設(shè)置，使得OpenGL具有這些狀態(tài)功能，從而在OpenGL環(huán)境下進(jìn)行立銑刀建模系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)，由于OpenGL環(huán)境搭建文獻(xiàn)與教程有很多，而且搭建OpenGL流程已成固定化，本文不再進(jìn)行重述(參見(jiàn)文獻(xiàn)[9-13])，而以視口方面進(jìn)行闡述OpenGL的搭建過(guò)程。

1.1 OpenGL 視口的搭建

在OpenGL中包含倆個(gè)矩陣：projection和model view，其中又包含3個(gè)坐標(biāo)系：世界坐標(biāo)系、視口坐標(biāo)系、屏幕坐標(biāo)系；要使圖形顯示，就需要對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行一系列的矩陣變化，才能顯示到屏幕上被觀(guān)測(cè)到，如圖2所示模型處理流程圖。首先圖形的建模是在世界坐標(biāo)系下完成，由于計(jì)算機(jī)屏幕上只能表現(xiàn)二維平面，所以要使得立銑刀建模系統(tǒng)顯示三維圖形，需要在投影矩陣(projection)作用下把所繪制三維物體轉(zhuǎn)到二維平面圖像間的變換，投影矩陣會(huì)把所有的3D信息投影到2D屏幕上，此時(shí)，模型在視口坐標(biāo)下，再通過(guò)模型視口矩陣(model view)對(duì)模型進(jìn)行作用，從而轉(zhuǎn)換到屏幕坐標(biāo)系下，然后把模型投影到屏幕的范圍內(nèi)，才能使圖形顯示到屏幕上，其中投影的操作如同攝像機(jī)的原理，需要在攝像機(jī)拍攝范圍內(nèi)，鏡頭畫(huà)面才有模型的顯示。如此，所建模的立銑刀螺旋槽三維圖形便可在屏幕中顯示。

參考代碼：

//設(shè)置矩陣

glMatrixMode(GL_PROJECTION);//告訴gpu顯卡對(duì)投影矩陣進(jìn)行操作；并進(jìn)行投影矩陣設(shè)置

gluPerspective(50.0f, 800.0f/600.0f, 0.1f, 1000.0f);//對(duì)投影矩陣進(jìn)行操作

glMatrixMode(GL_MODELVIEW);//設(shè)置模型視口矩陣

//模型的繪制代碼

........

圖2 模型處理流程

2 立銑刀螺旋槽截面建模

立銑刀螺旋槽參數(shù)如表1所示，首先以螺旋槽截面中心設(shè)為原點(diǎn)，搭建xy正交坐標(biāo)系，如圖3所示，通過(guò)計(jì)算與截面參數(shù)相關(guān)的所有關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，并將關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行依次連接實(shí)現(xiàn)螺旋槽截面建模。

分析螺旋槽截面形狀及特征，將螺旋槽截面劃分為幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)構(gòu)成的線(xiàn)段或曲線(xiàn)?？芍菪劢孛嬗申P(guān)鍵點(diǎn)B、A、C、E、F、G、H共7點(diǎn)，如圖3、圖4所示，將關(guān)鍵點(diǎn)相互連接，形成線(xiàn)段或曲線(xiàn)再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)即可得到完整的螺旋槽截面圖形。

表1 立銑刀螺旋槽面截面相關(guān)參數(shù)

圖3 立銑刀螺旋槽截面

圖4 螺旋槽截面局部放大圖

將銑刀截面中心設(shè)定在坐標(biāo)原點(diǎn)，并把O2點(diǎn)設(shè)定為小圓弧AB的圓心，由此可知點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,L1/2),分別作輔助線(xiàn)CO，O2A，O2O，AO2，其中與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)D，如圖3、圖4所示，通過(guò)表1螺旋槽參數(shù)可求得：

L(BO)=L1-L4

(1)

∠(CDA)=90°-c

(2)

設(shè)線(xiàn)段DC為y值，線(xiàn)段CA為x值，那么在ΔACD中x與y的關(guān)系為x/y=cos(c)，而且通過(guò)ΔOO2D的關(guān)系，可知：

L(O2D)=y·sin(c)

(3)

L(O1D)=L1/(2-y)

(4)

L(OO2)=L/2-L4+L6

(5)

應(yīng)用三角形余弦定理，構(gòu)造一元二次方程，從而解出y與x的值。

A=sin2(c)

(6)

B=L1-L1·sin2(c)

(7)

(8)

通過(guò)式(6)～式(8)聯(lián)立可得：

(9)

x=y·cos(c)

(10)

由此可知點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)，點(diǎn)C坐標(biāo)：(0,L1/2)；

點(diǎn)D坐標(biāo)：(0,L1/2-y)；

而點(diǎn)A坐標(biāo)可通過(guò)旋轉(zhuǎn)法求得，在y軸取一點(diǎn)A1,A1C的長(zhǎng)度為AC，則點(diǎn)A1坐標(biāo)為(0,L1/2-x)，將點(diǎn)A1以C為圓心AC長(zhǎng)度為半徑逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠DCA(∠DCA=c)到AC所在直線(xiàn)上即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)。

B點(diǎn)坐標(biāo)則可仍使用旋轉(zhuǎn)法求解，先求出點(diǎn)O2的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A繞圓心O2以槽底圓弧L6順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠AO2B，由此可得點(diǎn)B坐標(biāo)。

點(diǎn)B坐標(biāo)具體解法：作輔助線(xiàn)O2M垂直于y軸，如圖4所示，由式(9)、式(10)求得CA和DC長(zhǎng)度，通過(guò)簡(jiǎn)單三角函數(shù)可推得∠(O2OC)=c，通過(guò)旋轉(zhuǎn)法，從y軸選取點(diǎn)OO2長(zhǎng)度，繞原點(diǎn)繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)c角，可得槽底圓弧AB的圓心O2點(diǎn)坐標(biāo)，并由式(11)～式(13)推得式(14)，再由式(14)推出式(15)、式(16),即槽底圓弧起點(diǎn)A與終點(diǎn)B的角度∠sa與∠ea角度，通過(guò)∠sa與∠ea的差值，可得∠AO2B,由于已知小圓弧AB半徑為槽底圓弧長(zhǎng)度L6，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠AO2B可得B點(diǎn)坐標(biāo)。

a1=L6-y·sin(c)

(11)

b1=L6+L1/2-L4

(12)

c1=L1/2-y

(13)

通過(guò)式(11)～式(13)可得

(14)

通過(guò)式(14)可推出起始角度sa

sa=c-ap

(15)

ea=c

(16)

現(xiàn)已求得關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)B、A、C,而點(diǎn)E、F、G可通過(guò)作輔助線(xiàn)EN，F(xiàn)P分別垂直于y軸，構(gòu)建直角三角形ΔECN與ΔEUF，如圖4所示，根據(jù)所給參數(shù)：螺旋槽第一后角寬度L2、螺旋槽第二后角寬度L3、螺旋槽第一后角a、螺旋槽第二后角b、刻背深度L5；直接利用直角三角形三角函數(shù)便可依次求得點(diǎn)E、F、G；而點(diǎn)H可將點(diǎn)B以O(shè)B長(zhǎng)度為半徑繞軸心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°可得。

至此，單齒的螺旋槽截面關(guān)鍵點(diǎn)B、A、C、E、F、G、H坐標(biāo)已全部計(jì)算完畢，將所有關(guān)鍵點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)復(fù)制120°、240°可得螺旋槽截面所有關(guān)鍵坐標(biāo)點(diǎn)；將關(guān)鍵點(diǎn)之間的線(xiàn)段，將截出的每個(gè)線(xiàn)段倆個(gè)端點(diǎn)，將這些端點(diǎn)以及所求出的關(guān)鍵點(diǎn)形成點(diǎn)云，點(diǎn)越多，模型繪制越精密，但是運(yùn)行速度回會(huì)大幅度減慢，本文則直接將關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行連接，而其中如AB與GH不是直線(xiàn)段的圓弧段，需要采用微積分方法，將其圓弧分成若干個(gè)直線(xiàn)段，通過(guò)圓心、旋轉(zhuǎn)角度和半徑的信息，可依次求得圓弧中每一線(xiàn)段中的端點(diǎn)信息，進(jìn)而求出AB與GH圓弧的點(diǎn)信息，由此可得到整個(gè)螺旋槽截面的點(diǎn)云信息。

3 立銑刀螺旋槽建模

通過(guò)已建模的螺旋槽截面，根據(jù)螺旋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，可知立銑刀螺旋槽建模是由螺旋槽截面進(jìn)行拉伸與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成，將立銑刀螺旋槽由平行于螺旋槽截面的平面進(jìn)行切分，可知每一被平面截出的分段都都與切割平面呈螺旋角d的夾角，運(yùn)用微積分方法，沿軸線(xiàn)把螺旋槽切分成無(wú)數(shù)個(gè)微小單元體，其各相鄰單元體繞軸線(xiàn)都旋轉(zhuǎn)固定角度，將這些單元體疊加起來(lái)的，即可完成螺旋槽的三維建模。

基于上述理論，需要求得每一單元體所旋轉(zhuǎn)的角度，如圖5所示為螺旋槽刃線(xiàn)分析視圖，選取刀立銑刀刀頭B1位置為螺旋線(xiàn)的起點(diǎn)位置，通過(guò)螺旋角d延A1B1螺旋刃線(xiàn)旋轉(zhuǎn)到A1點(diǎn)螺旋槽終點(diǎn)位置，那么將螺旋槽展開(kāi)成矩形，通過(guò)式(17)求得由B1點(diǎn)到A1點(diǎn)螺旋截面繞刀具軸線(xiàn)所旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的總角度v。

v=2L7·tan(u)/L1

(17)

再通過(guò)微積分的方法可以求出每個(gè)單元體所轉(zhuǎn)的角度v1，將其每一單元體結(jié)合，便獲取到整個(gè)螺旋槽所需要的點(diǎn)云信息。

圖5 螺旋槽展開(kāi)

4 構(gòu)建三角網(wǎng)格

由于在OpenGL中模型的繪制都是以三角面片為基本圖元進(jìn)行搭建的，所以需要將所求得的螺旋槽關(guān)鍵點(diǎn)以三角面片進(jìn)行相連，其中如圖3的螺旋槽截面，可將所有的關(guān)鍵點(diǎn)與截面中心點(diǎn)O1進(jìn)行連接直接構(gòu)建出螺旋槽截面的三角網(wǎng)格；在螺旋槽網(wǎng)格化中，由于螺旋槽是柱狀形體，可將螺旋槽簡(jiǎn)化為圓柱體，把螺旋槽的每個(gè)分段以圓柱體的分段連接作為參考，然而在螺旋槽的建模中，需要考慮到每個(gè)單元體都是在上一個(gè)單元體的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)一定的角度旋轉(zhuǎn)后得到，那么在螺旋槽的關(guān)鍵點(diǎn)連接中，由式(17)得到旋轉(zhuǎn)的總角度，則每個(gè)單元體都在上個(gè)單元體基礎(chǔ)上旋轉(zhuǎn)了v1，則相鄰倆個(gè)單元體的連接，如圖6所示，T1是T2的上一個(gè)單元體，ω為旋轉(zhuǎn)方向，通過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)的索引信息構(gòu)建三角形，即倆個(gè)三角形Δ0′1′1，Δ1′12模板，將所有的相鄰單元體關(guān)鍵點(diǎn)按照索引Δ0′1′1，Δ1′12模板進(jìn)行連接，即可完成螺旋槽部分網(wǎng)格建模如圖7所示。

圖6 相鄰單元體連接

圖7 螺旋槽網(wǎng)格建模

5 立銑刀參數(shù)化建模系統(tǒng)的應(yīng)用

利用vs2015可視化編程工具進(jìn)行OpenGL繪制，將所得螺旋槽三角網(wǎng)格進(jìn)行OpenGL渲染，添加光照、材質(zhì)等渲染參數(shù)。

并通過(guò)MFC設(shè)計(jì)合理的參數(shù)輸入、參數(shù)顯示以及繪制的操作界面，構(gòu)建完整的參數(shù)化建模系統(tǒng)，以某型號(hào)硬質(zhì)合金圓柱立銑刀進(jìn)行參數(shù)化建模，其參數(shù)如表2所示。

表2 立銑刀螺旋槽面截面相關(guān)參數(shù)與數(shù)值

依次設(shè)置參數(shù)完畢后，如圖8所示，點(diǎn)擊“計(jì)算模型”生成立銑刀螺旋槽的三維模型，如圖9所示。

圖8 系統(tǒng)參數(shù)輸入

圖9 系統(tǒng)運(yùn)行結(jié)果

不同螺旋槽槽深(1.8mm，2.4mm)的模型如圖10所示。

(a)1.8mm螺旋槽截面 (b)2.4mm螺旋槽截面圖10 螺旋槽截面對(duì)比

6 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)詳細(xì)分析立銑刀螺旋槽的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以面向立銑刀工程圖進(jìn)行立銑刀螺旋槽特征設(shè)計(jì)，研究商業(yè)建模軟件的建模原理，提出了關(guān)鍵點(diǎn)建模的方法，建立了立銑刀螺旋槽的數(shù)學(xué)模型，并完成模型的三角網(wǎng)格化，在Visual Studio2015平臺(tái)上，將模型網(wǎng)格進(jìn)行OpenGL渲染，搭建出立銑刀螺旋槽三維參數(shù)化建模系統(tǒng)。建模實(shí)例證明該系統(tǒng)能夠精確的完成立銑刀螺旋槽的三維參數(shù)化建模，系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定可靠，操作方便快捷，并具有獨(dú)立的技術(shù)體系，可以實(shí)現(xiàn)刀具的設(shè)計(jì)與制造的市場(chǎng)推廣與相關(guān)的研究擴(kuò)展，并為類(lèi)似的機(jī)械設(shè)計(jì)建模提供了參考。

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