【摘 要】數(shù)學(xué)分析習(xí)題課是數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的重要組成部分，它既能加強(qiáng)對概念更深層次的理解，也能靈活的將數(shù)分課程中所涵蓋的概念、定理及性質(zhì)來進(jìn)一步解決數(shù)學(xué)中的問題。習(xí)題課作為一種重要的教學(xué)補(bǔ)償手段，在相對抽象、復(fù)雜、計算技巧多元化的數(shù)學(xué)分析課程中尤為重要。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；數(shù)學(xué)概念；數(shù)學(xué)技能

中圖分類號： G642；O17-4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號：2095-2457（2018）03-0060-002

Discussion of promoting the efficient teaching of mathematical analysis exercise class

LIAO Chun-yan

（Department of Mathematics， School of Science， Hunan University of Science and Technology， Yongzhou 425199， China）

【Abstract】Mathematical analysis exercises class is an important part of mathematical analysis teaching.It can not only strengthen the understanding of concepts but also flexibly apply the concepts ， theorems，and properties involved in the the curriculum to solve the mathematical problems.As an important teaching compensation means ，exercises class is particularly important in the mathematical analysis ，which is relatively abstract，complex，diversified computing skills.

【Key words】Mathematical Analysis； Mathematical Concepts； Mathematical Skills

數(shù)學(xué)家王梓坤院士曾說：“對于數(shù)學(xué)，練習(xí)尤其重要。通過練習(xí)，不僅可以增加知識，更重要的是，可以培養(yǎng)我們解決問題的能力。不做足夠多而且有一定難度的練習(xí)題，是不可能學(xué)好數(shù)學(xué)的”。

數(shù)學(xué)分析課程的特點是邏輯性強(qiáng)，抽象，內(nèi)容深刻、細(xì)致；在課堂上能聽懂，能看得懂，但是一旦做題卻無從下手[1]。這是因為數(shù)學(xué)分析中的計算技巧性非常強(qiáng)，只了解該課程中的基本的理論和方法，不掌握相應(yīng)的計算技巧，是很難順利解決問題的。論證訓(xùn)練是數(shù)學(xué)分析課程中最基本的，也是最應(yīng)重視的內(nèi)容之一，也是最難的內(nèi)容之一。習(xí)題課作為一種重要的教學(xué)補(bǔ)償手段，在數(shù)學(xué)分析課程中尤其重要。

習(xí)題課可以有多種多樣的開展方式，但是真正上好習(xí)題并不是一件容易的事情，如果不認(rèn)真安排，不合理設(shè)計，就達(dá)不到預(yù)期的效果。上好一節(jié)習(xí)題課，并不是單純的多講解幾道習(xí)題，而是要教會學(xué)生如何更加深刻的理解書上的概念和知識，并且靈活的應(yīng)用書上的知識解決問題，同時能夠把握知識點之間的聯(lián)系，從而更高層次的理解數(shù)學(xué)分析中的概念、定理。

1 精選習(xí)題，增進(jìn)數(shù)學(xué)分析概念的理解，滲透數(shù)學(xué)思想教育

數(shù)學(xué)分析中的概念很抽象，比如一致連續(xù)和連續(xù)的概念，一致收斂和收斂的概念，第一型曲線積分及第二型曲線積分的概念等等，僅僅從概念的字面意思上我們是很難區(qū)分兩個概念之間的區(qū)別，所以我們在課堂上不僅要選擇合適的例題，在習(xí)題課中需注重加深這類鄰近概念的區(qū)別理解。針對學(xué)生掌握知識能力的實際，對于學(xué)生容易混淆的概念，計算時容易出錯之處，都應(yīng)該適時適當(dāng)?shù)脑诹?xí)題課中安排，給予充分體現(xiàn)。

例如求曲面積分 （x +y +z ）dσ，其中S為球面x2+y2+z2=a2（a>0），我們在求解該曲面積分的時候很自然的將x2+y2+z2=a2代入積分式子，有

（x2+y2+z2）dσ= a2dσ=a2 dσ=4πa ，

但是如果換成求積分 （x2+y2+z2）dv時，其中Ω為x2+y2+z2=a2（a>0）所圍成的閉區(qū)域，很多同學(xué)在做此題的過程中，也將x2+y2+z2=a2代入上面的式子，得

（x2+y2+z2）dv= a2dv= πa6

而造成錯誤。導(dǎo)致錯誤的根本原因就是學(xué)生對兩類曲面積分的概念和三重積分的概念了解的不是很透徹，造成做題的錯誤。實際上曲面積分是對面積的積分，自然可以將x2+y2+z2=a2（a>0）代入被積函數(shù)，而三重積分是對該曲面所圍成的區(qū)域求積分，也就是球面x2+y2+z2=a2（a>0）所圍成的整個球體內(nèi)部，自然不能簡單的將球面方程代入。所以在習(xí)題課中，我們應(yīng)根據(jù)這些容易混淆，容易出錯，概念不容易區(qū)分的地方，通過習(xí)題課加強(qiáng)概念的理解，通過對比強(qiáng)化概念的理解。

2 注重習(xí)題的多變、開放與創(chuàng)新

習(xí)題課可以加深對所學(xué)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確概括的思維能力。所以在習(xí)題課中，任課教師應(yīng)該認(rèn)真對待選題工作，做到新穎靈活、多變開放、鼓勵學(xué)生打破常規(guī)銳意創(chuàng)新，使學(xué)生在多元的練習(xí)題中，提高思維的靈活性及創(chuàng)造性。也可以加強(qiáng)學(xué)生一題多解，一題多變的訓(xùn)練。

例如求不定積分？蘩 dx，我們慣常的做法是用第二類換元法，令x=2sint，但是事實上這道題目卻有近十種的解題思路，例如令t= ，或者將原式化成？蘩 dx，再令x= 進(jìn)行求解，在課堂上我們是無法做到將全部的方法進(jìn)行講解，這就要求在習(xí)題課中，老師應(yīng)該盡量鼓勵學(xué)生發(fā)散思維，從多角度進(jìn)行思考，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

在數(shù)學(xué)分析中，很多題目只要稍微改變了下條件，做題的方式完全不同。例如求三重積分？蘩？蘩？蘩Ωzdxdydz，其中Ω是由z=x2+y2和z=1所圍成的閉區(qū)域。這道題目常用“截面法”或“投影法”去做，學(xué)生往往只選擇其中一種方法進(jìn)行求解，求解出來了就不管了，老師應(yīng)該鼓勵學(xué)生同時用兩種方法去求。在求解的過程中學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)用截面法去求解更加容易，老師進(jìn)一步鼓勵學(xué)生總結(jié)為什么這道題目用“截面法”來做更加容易呢？學(xué)生在做題的過程中不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)被積函數(shù)僅僅是關(guān)于z的函數(shù)，且截面積D（z）容易求解的時候用“截面法”更加容易。同時們也可以改換一下被積函數(shù)，將其換成？蘩？蘩？蘩Ωxdxdydz，還是用“截面法”嗎？引導(dǎo)學(xué)生回顧三重積分的性質(zhì)，我們發(fā)現(xiàn)被奇函數(shù)僅僅是關(guān)于的函數(shù)，而其積分區(qū)域關(guān)于平面yoz對稱，很快得出其結(jié)論？蘩？蘩？蘩Ωxdxdydz=0，這樣極大的簡化了我們的運算。

在習(xí)題課中，讓學(xué)生對知識進(jìn)行系統(tǒng)的概括，體會以及靈活應(yīng)用。所選習(xí)題針對所學(xué)的內(nèi)容改其一點，或者有步驟的改多個知識點，對重點深入研討，以求得到新的結(jié)果。

3 注重數(shù)學(xué)技能的培養(yǎng)

什么是數(shù)學(xué)技能？數(shù)學(xué)技能就是解題問題的能力，不僅能解決一般的問題，而且能解決需要某種程度的獨立思考、判斷力和想象力的問題。在數(shù)學(xué)分析課程中，學(xué)生的普遍的感受是難及抽象，似乎能理解，又似乎不知道從哪里下手做題。很多教師經(jīng)過多年的教學(xué)，內(nèi)容熟悉了，題目見得多，做的多，自然而然一看就會。這也導(dǎo)致很多教師在教學(xué)中忽略了對數(shù)學(xué)技能的研究，缺乏對學(xué)生適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。如果教師本身講究解題策略，卻不能很好的引導(dǎo)學(xué)生如何去解題，學(xué)生也未必能有廣闊的思路，快速解決問題。教師的作用在于善于引導(dǎo)學(xué)生，啟發(fā)學(xué)生，學(xué)生和老師的共同配合，才能達(dá)到更加理想化的解題思路，主動思考，發(fā)現(xiàn)問題，提出疑問，解決問題，從而提升自己的解題能力。

例如在講授高斯公式的應(yīng)用中，計算 zdxdy，其中∑為上半球面x2+y2+z2=1，高斯公式需要封閉的曲面，如果滿足不了封閉性，怎么辦？補(bǔ)一個曲面z=0，補(bǔ)了之后怎么辦呢？借了要還，將借的曲面減去即可，有

zdxdy= zdxdy- zdxdy= πa3。

4 充分了解學(xué)生實際，優(yōu)化教學(xué)模式

現(xiàn)今，像我校這類地方性本科院校，生源總體水平下降，數(shù)學(xué)專業(yè)的很多學(xué)生都是調(diào)劑過來，還有很多職高對口的學(xué)生，學(xué)生之間差異較大，而教師相對不足，數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)難度大，教學(xué)課時多，面對這種情況，如何保證數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)質(zhì)量是我們目前急需解決的難題。為此，我們可以通過一段時間的教學(xué)，充分了解學(xué)生的實際，針對不同的學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及對專業(yè)知識掌握的程度，在習(xí)題課教學(xué)中采用分層次小班教學(xué)，可以按照不同的教學(xué)目的，教學(xué)要求，有針對性的講解習(xí)題。

例如教師在習(xí)題課程中可以給學(xué)生提供至少三種練習(xí)題：基礎(chǔ)題、提高題、綜合性技巧性的難題。學(xué)生可以依據(jù)自身的實際，選擇適當(dāng)?shù)念}做，但是現(xiàn)在多數(shù)高校的開課都是大班上課，如果要兼顧到每一位同學(xué)，是很難的，所以我們可以適當(dāng)?shù)睦貌煌问降牡诙n堂，將課堂上無法全面兼顧的內(nèi)容移過來，開設(shè)多樣化，多層次，多內(nèi)容的習(xí)題課的第二課堂，這樣可以使不同知識能力水平的學(xué)生都能有所收獲。

5 結(jié)束語

作為教師就算是一堂習(xí)題課我們也要合情合理精心設(shè)計，在整個的習(xí)題課過程中，不能讓學(xué)生只是聽和看而不想和做，要想讓學(xué)生充分融入課堂，主動參與整個習(xí)題課的教學(xué)中，教師也可選擇合適的策略激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生主動參與每一道題中，深入了解知識的聯(lián)系、問題的討論、解題的方式，結(jié)論的歸納及靈活應(yīng)用的解題思路中。

【參考文獻(xiàn)】

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