田茂

榆次區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校sydntxgzz@163.com

1 引言

二值原則是邏輯學(xué)中的一個(gè)基本規(guī)則。但是，它的內(nèi)容是否真的就像人們表面上理解的那樣？其本質(zhì)究竟是什么？它又是如何被確立的？它是不是邏輯學(xué)中最基本的規(guī)則？諸如此類的問題，在邏輯學(xué)的歷史發(fā)展過程中，似乎很少被人們認(rèn)真仔細(xì)地研究、琢磨、推敲過。

北大哲學(xué)系教授陳波對(duì)二值原則的定義是全面而完整的：

在一對(duì)相互矛盾的命題中間，必定是肯定一個(gè)否定另一個(gè)；或者說，任一命題必定或者為真或者為假，非真即假，非假即真。這就是所謂的“二值原則”。一般使用的邏輯都是建立在這個(gè)原則之上的，因此叫“二值邏輯”。（[3]，第24頁）

這就是說，二值原則的表述可以采用兩種不同的形式：

·表述1：在一對(duì)相反的命題中間，不可能兩個(gè)都真或兩個(gè)都假，只能是一真一假。

·表述2：任一命題既不能非真非假，也不能又真又假，只可以非真即假，非假即真。

表述1針對(duì)的是一對(duì)相反命題，表述2針對(duì)的是一個(gè)命題的兩個(gè)真值。兩種表述在本質(zhì)上是一致，是等價(jià)的。經(jīng)典形式邏輯和現(xiàn)代數(shù)理邏輯，只要是討論演繹推理及其規(guī)律的，包括命題邏輯和謂詞邏輯兩部分，亦稱“一階邏輯”，都是嚴(yán)格意義上的“二值邏輯”。因?yàn)樗械倪@些邏輯系統(tǒng)都強(qiáng)調(diào)，任一命題的真值只有“真”和“假”兩個(gè)值，即：在真和假之間不容許出現(xiàn)第三值。也就是說，在二值邏輯系統(tǒng)中，不容許在真和假之間出現(xiàn)“非真非假”的真值間隙或“又真又假”的真值重合。

但是，由前蘇聯(lián)邏輯學(xué)家鮑契瓦爾等人根據(jù)現(xiàn)實(shí)中的真和假之間不可避免地會(huì)產(chǎn)生“非真非假”的第三種情況，于上世紀(jì)30年代通過對(duì)經(jīng)典邏輯“二值排中律”的否定，建立了一個(gè)三值邏輯系統(tǒng)，將命題的真值分為“真、假、X”三值。顯然，這樣的三值邏輯是不遵守“二值原則”的。因?yàn)樵谌颠壿嬒到y(tǒng)中，命題的真值除了“真”和“假”兩個(gè)值以外，還有一個(gè)“非真非假”的第三值X。于是，三值邏輯在不改變自然語言的論域范圍和素樸集合論概括原則的前提下，可以消除說謊者悖論和羅素集合悖論，比如：將命題“本語句假”的真值直接賦予既不真又不假的第三值X，這樣就破解了說謊者悖論。與此類似的解悖方案還有克里普克的真值間隙論，同樣也認(rèn)為在真和假之間可以有一個(gè)間隙用來存放“非真非假”的第三值。這樣的解悖方案曾經(jīng)使許多人欣喜若狂，以為困惑人們兩千多年的悖論難題，因此就被徹底地解決了。

但是，后來由美國加利福尼亞大學(xué)的哲學(xué)家伯奇（T.Burge）等人則提出了強(qiáng)化型說謊者悖論：“本語句非真”（或“本語句假或X”）。該語句仍然將導(dǎo)致新的悖論：如果它是真的，則推出它是不真的；如果它是不真的，又可推出它是真的。這是一個(gè)與說謊者悖論同樣嚴(yán)格的悖論。為什么會(huì)這樣呢？這是因?yàn)槿藗儗?duì)此已經(jīng)不自覺地將原來的二值排中律也做了強(qiáng)化（[12]，第239、252頁），將排中律的一般定義“任一陳述或是真的或是假的”重新解讀為“任一陳述或是真的或是不真的”。三值邏輯系統(tǒng)和真值間隙論可以否定二值排中律，但卻否定不了強(qiáng)化型排中律；同理，三值邏輯系統(tǒng)和真值間隙論可以破解說謊者悖論，但卻不能破解強(qiáng)化型說謊者悖論。于是就給這樣的解悖方案造成了一個(gè)致命的打擊。這個(gè)結(jié)果被英國學(xué)者哈克（S.Haack）形象地比喻為“跳出油鍋又進(jìn)火坑”。（[1]，第139頁）于是，一個(gè)很有希望的解悖方案就徹底地失敗了。

那么，這樣的解悖方案不能消解強(qiáng)化型說謊者悖論的深層原因到底是什么呢？

仔細(xì)想來，其原因就在于：雖然三值邏輯系統(tǒng)和真值間隙論假定了在真和假之間存在一個(gè)真值間隙X（即第三值），這樣就否定了“在真和假之間不容許出現(xiàn)第三值”的二值原則。但是，如果我們?nèi)绻麑?duì)二值原則也做一次強(qiáng)化，按照二分法，在有序排列“真、X、假”中的真和X之間劃一條分界線，再次將其分割為“真”和“不真（X、假）”兩部分，那么，這兩部分之間的真值間隙就被消除了。這就是說，三值邏輯系統(tǒng)和二值邏輯系統(tǒng)一樣，從本質(zhì)上仍然還是要遵守“在真和非真之間不容許出現(xiàn)第三值”這樣一個(gè)基本規(guī)則的。

可以明確地說，對(duì)于“在真和非真之間不容許出現(xiàn)第三值”這樣一個(gè)基本規(guī)則，是幾乎所有嚴(yán)謹(jǐn)合理的邏輯系統(tǒng)（包括多值邏輯、量子邏輯、模糊邏輯、自由邏輯、偏邏輯、次協(xié)調(diào)邏輯等表面上似乎部分地放棄了二值原則的現(xiàn)代非經(jīng)典邏輯）都要遵守的基本原則。

2 真正的二值原則

顯然，二值原則的內(nèi)容與矛盾律和排中律的合取是等價(jià)的，這一原則是這兩個(gè)思維規(guī)律所要共同表達(dá)的真正含義。

·矛盾律的內(nèi)容是：“任一陳述不能既是真的又是假的”；

·排中律的內(nèi)容是：“任一陳述或者是真的或者是假的”。

顯然，這兩條思維規(guī)律綜合起來所要表達(dá)的意思不過就是“任一陳述必定或者為真或者為假，非真即假，非假即真”，這就是二值原則。也可以說，這兩條思維規(guī)律是邏輯學(xué)家從不同的兩個(gè)側(cè)面（不重疊、不遺漏）來闡述“在真和假之間不容許出現(xiàn)第三值1這里的第三值指的是兩種情況：一種是真與假之外被遺漏的“非真非假”的真值間隙，另一種是在真與假之間會(huì)發(fā)生重疊的“既真又假”的真值重合。后文出現(xiàn)的第三值（者）均依此類推?！边@樣一個(gè)在邏輯學(xué)中被設(shè)定的基本原則（即二值原則）。

但是，由于三值邏輯等非經(jīng)典邏輯的出現(xiàn)，使得邏輯學(xué)家對(duì)矛盾律和排中律的內(nèi)容產(chǎn)生了更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f法，于是就有了強(qiáng)化型的矛盾律和強(qiáng)化型的排中律。

·強(qiáng)化型矛盾律的內(nèi)容是：“任一陳述不能既是真的又是非真的”；

·強(qiáng)化型排中律的內(nèi)容是：“任一陳述或者是真的或者是非真的”。

顯然，兩者綜合起來所要共同表達(dá)的意思不過就是“任一陳述必定或者為真或者為不真，非真即不真，非不真即真”，這當(dāng)然就是強(qiáng)化型的二值原則。它也可以簡(jiǎn)化為“在真和非真之間不容許出現(xiàn)第三值”。

在二值邏輯中，“假”和“非真”是完全等價(jià)的；在三值邏輯以及多值邏輯中，“假”僅僅是“非真”的一個(gè)特例。強(qiáng)化型矛盾律和強(qiáng)化型排中律是伴隨著多值邏輯的出現(xiàn)和強(qiáng)化型說謊者悖論的出現(xiàn)而出現(xiàn)的，由此導(dǎo)出的強(qiáng)化型的二值原則，是幾乎所有的現(xiàn)代經(jīng)典和非經(jīng)典的邏輯系統(tǒng)都要遵守的基本規(guī)則。尤其是對(duì)于多值邏輯，從本質(zhì)上來說，它遵循的仍然是“二值”，不過此時(shí)的二值由“真和假”換成了“真和非真”?；蛘哒f，雖然多值邏輯以及其他非經(jīng)典邏輯可以不遵守二值原則，但卻必須要遵守強(qiáng)化型的二值原則。

從事物規(guī)律的角度來說，強(qiáng)化型矛盾律、強(qiáng)化型排中律以及強(qiáng)化型二值原則，是邏輯學(xué)家從各種不同的角度來解讀“在真和非真之間不會(huì)出現(xiàn)第三者”這樣一個(gè)他們認(rèn)定的基本事實(shí)。

因此，我們不應(yīng)該把二值原則僅僅理解為“在真和假之間不容許出現(xiàn)第三值”，因?yàn)檫@是一個(gè)不能被普遍適用的二值原則，是一個(gè)膚淺的二值原則，也是一個(gè)表面的二值原則。

真正的二值原則應(yīng)該是這里所說的強(qiáng)化型的二值原則，即“在真和非真之間不容許出現(xiàn)第三值”，只有在如此內(nèi)容和解釋下的二值原則，才是一個(gè)本質(zhì)上的二值原則，是一個(gè)深刻的二值原則，也是一個(gè)基本的二值原則，一個(gè)普遍適用的二值原則。

所以，真正的二值原則是與“強(qiáng)化型矛盾律∨強(qiáng)化型排中律”等價(jià)的，不僅多值邏輯要遵守這個(gè)原則，甚至對(duì)于辯證特征（有條件地否定矛盾律）相當(dāng)明顯的次協(xié)調(diào)邏輯，在元邏輯層次上，也是要遵守這個(gè)原則的。（[4]，第87–88頁）據(jù)桂起權(quán)老師向筆者提供的信息，當(dāng)年莫紹揆先生曾經(jīng)論述過這個(gè)問題，他也認(rèn)為真和不真只能是二分，沒有第三者，并把“三值”僅僅看作是一種數(shù)學(xué)技巧。可以說，二值原則是一個(gè)幾乎所有嚴(yán)謹(jǐn)合理的經(jīng)典與數(shù)理的以及那些擴(kuò)展的和異常的形式邏輯系統(tǒng)（包括時(shí)態(tài)邏輯、模態(tài)邏輯、多值邏輯、量子邏輯、模糊邏輯、直覺主義邏輯、自由邏輯、中介邏輯、偏邏輯、次協(xié)調(diào)邏輯等表面上似乎部分地放棄了矛盾律或排中律的現(xiàn)代非經(jīng)典邏輯）都要遵守的基本原則。

下面談到的二值原則指的都是強(qiáng)化型的二值原則。

不過，按照我國邏輯學(xué)大師金岳霖先生的觀點(diǎn)，二值原則還不是形式邏輯最基本的設(shè)定。

3 二分法才是形式邏輯最基本的設(shè)定

金岳霖先生認(rèn)為：“二值原則不過是對(duì)命題的值引用二分法的結(jié)果”（[12]，第260頁），金岳霖還說：“尋常我們由同一律可以推論到其余二思想律（指矛盾律和排中律——筆者注）者，實(shí)在是因?yàn)槲覀円呀?jīng)引用了二分法?！保╗5]，第475頁）并且認(rèn)為沒有比同一律和二分法更根本的原則或命題或方法或思想作為它們的前提（[5]，第474、478頁）。按照金岳霖的觀點(diǎn)，如果把整個(gè)邏輯學(xué)看成一個(gè)公理系統(tǒng)的話，那么，最基本、最底層、最初始的兩個(gè)基本公設(shè)是：同一律和二分法。

在邏輯學(xué)中，一般認(rèn)為最基本的三個(gè)思維規(guī)律為：同一律、矛盾律、排中律。通過前面的分析我們得知：“矛盾律∨排中律”等價(jià)于二值原則，而二值原則又來自于二分法。所以二分法是比二值原則更為底層的基本設(shè)定。如果只有同一律而沒有二分法，就只能有“A是A”，而不會(huì)出現(xiàn)“A不是非A”的說法。有了二分法，才能出現(xiàn)“否定”的概念，才能出現(xiàn)“非A”的概念；有了“否定”概念，才能確認(rèn)二值原則的成立；有了二值原則，才能設(shè)定矛盾律和排中律。于是，整個(gè)形式邏輯系統(tǒng)才能被建立起來。

因此，邏輯學(xué)最基本的兩個(gè)設(shè)定就是：同一律和二分法。同一律是無可置疑的，下面我們重點(diǎn)討論二分法。

二分法，也叫兩分法，《邏輯學(xué)大辭典》中的該詞條內(nèi)容為：（[8]，第314頁）

兩分法（one divides into two）在邏輯學(xué)上，指一種特殊的劃分。把一個(gè)母項(xiàng)分為兩個(gè)在外延上互相否定的子項(xiàng)，其中一個(gè)子項(xiàng)具有某種屬性，另一個(gè)子項(xiàng)不具有這種屬性。如把“元素”劃分為“金屬”和“非金屬”。兩分法以對(duì)象是否具有某種屬性為劃分標(biāo)準(zhǔn)?！?/p>

邏輯學(xué)中的劃分，是明確概念外延的邏輯方法。一個(gè)母項(xiàng)可以被劃分為多個(gè)在外延上既互不相容又互不重疊（不重不漏）的子項(xiàng)。但最簡(jiǎn)單，也是最基本的劃分方法是二分法，即一個(gè)母項(xiàng)被劃分為兩個(gè)在外延上不重不漏的子項(xiàng)。因?yàn)閷?duì)于再多的劃分類型，最終仍然可以被一分為二，形成“是A”和“非A”兩個(gè)部分。因此，在邏輯學(xué)界，一個(gè)默認(rèn)的共識(shí)是：在任何情況下實(shí)施二分法都是可以辦到的。即：

·二分法具有普適性。

近年來在國外邏輯學(xué)界炒得比較熱的模糊性問題上，似乎對(duì)上述共識(shí)提出了挑戰(zhàn)。因?yàn)槊鎸?duì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題，當(dāng)一個(gè)母項(xiàng)被劃分為兩個(gè)子項(xiàng)的時(shí)候，兩子項(xiàng)之間的界限有時(shí)會(huì)出現(xiàn)無法精確定位的模糊狀態(tài)。比如“禿頭”和“非禿頭”的界限就很難有一個(gè)公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)，于是就出現(xiàn)了所謂的“禿頭悖論”。對(duì)此，人們又拿出了三值邏輯用來對(duì)付在二值邏輯中出現(xiàn)真值間隙問題的方法，將本來的二分問題劃分為三個(gè)部分：在正外延和負(fù)外延之間又增加了一個(gè)界限情形（borderline cases）（[3]，第51頁），這樣，在真和假之間就不會(huì)像二分法那樣被精確地清晰區(qū)分，而是形成一段模糊區(qū)域（界限情形）。更有甚者，如果覺得劃分得還不夠精細(xì)和清晰，那就在這些區(qū)域的邊界地帶再繼續(xù)劃分……，直至清晰為止，這就形成所謂的“界限情形的界限情形……”，以應(yīng)對(duì)所謂的高階模糊性。但是在這些一系列的區(qū)間中，任意兩個(gè)相鄰區(qū)間之間，最終還是要有一個(gè)清晰的劃分，而不存在模糊地帶。也就是說，在足夠小的范圍內(nèi)，仍然還是要用到二分法。所以這個(gè)挑戰(zhàn)是失敗的。

在現(xiàn)實(shí)中，人們對(duì)于解決模糊區(qū)域難題，最常見的、也是最簡(jiǎn)單有效的解決辦法是：在有序排列的母項(xiàng)中只規(guī)定一個(gè)分界點(diǎn)，這樣就能很清晰地將母項(xiàng)分割為兩個(gè)子項(xiàng)。如各類招考單位設(shè)定的錄取分?jǐn)?shù)線、鐵道部門展示的列車時(shí)刻表、學(xué)校中設(shè)定的上下課鈴聲和常見考試中規(guī)定的60分及格線等等，都是如此。同樣的道理，如果有必要，我們也可以設(shè)定“禿頭”和“非禿頭”的一個(gè)分界點(diǎn)，比如60根頭發(fā)。規(guī)定60根頭發(fā)以下者為“禿頭”，60根頭發(fā)及其以上者為“非禿頭”。于是，一個(gè)清晰明確的二分法就順利地實(shí)施成功了。在這樣的設(shè)定下，所謂的“禿頭悖論”，也就不復(fù)存在了。

因此，二分法不僅是邏輯學(xué)最基本的一個(gè)設(shè)定，也是各種各樣分類法中最基本的一個(gè)方法，而且還是破解某些簡(jiǎn)單連鎖悖論（sorites paradox）的一個(gè)有力武器。但是，由于在模糊概念之間設(shè)置一個(gè)人為的分界點(diǎn)，往往會(huì)嚴(yán)重地違反人們的直覺，因此，對(duì)于模糊性問題給予經(jīng)典邏輯學(xué)構(gòu)成的這種嚴(yán)重挑戰(zhàn)，各種哲學(xué)流派的回應(yīng)是不盡相同的，甚至有些流派主張要對(duì)二值原則采取拒斥或修改的態(tài)度。但是，主流觀點(diǎn)包括最有影響的認(rèn)知主義，則喊出了“模糊性是某種程度的無知”的口號(hào)，他們認(rèn)為是由于認(rèn)知能力的局限，才導(dǎo)致人們不可能知道這個(gè)分界點(diǎn)在哪里，但這并不等于說分界點(diǎn)就不存在。因此，二值原則是不能拋棄的。（[3]，第59–72頁）特別是在邏輯學(xué)界，二值邏輯和二分法的普適性還是無可置疑的。

4 二分法的實(shí)施方法

在數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)中，涉及到二分法基本設(shè)定和操作流程的內(nèi)容很少，據(jù)筆者掌握的資料，發(fā)現(xiàn)僅僅有兩處：分離公理和戴德金分割。

在《邏輯學(xué)大辭典》中，“分離公理模式”詞條的部分內(nèi)容是：

分離公理模式（axiom scheme of separation）亦稱“子集公理模式”，簡(jiǎn)稱“分離公理”、“子集公理”。策梅羅公理系統(tǒng)中的一條公理模式。它肯定：“對(duì)于任何一元關(guān)系（即性質(zhì)）?，集合a中所有滿足關(guān)系?的元素x也構(gòu)成一個(gè)集。”對(duì)于一個(gè)確定的集合a，每一個(gè)?都確定a的一個(gè)子集。（[8]，第431頁）

《數(shù)學(xué)辭?！罚ǖ谝痪恚胺蛛x公理”詞條中也說：

策梅洛的這條公理形象地刻畫了從已給集合按一定的限制（性質(zhì)）可分離出它的子集這一性質(zhì)。（[9]，第635頁）

分離公理的分離標(biāo)準(zhǔn)是“按一定的性質(zhì)”來分離一個(gè)子集的，即一個(gè)集合被分離后的子集中的元素具有某個(gè)統(tǒng)一的性質(zhì)，那么，余下的那些不具有該性質(zhì)的元素當(dāng)然就可以組成另一個(gè)子集。這實(shí)際上就是說：分離公理是按照是否具有某屬性將一個(gè)集合劃分為兩個(gè)子集的。這和《邏輯學(xué)大辭典》兩分法詞條中所說的“兩分法是以對(duì)象是否具有某種屬性為劃分標(biāo)準(zhǔn)”如出一轍。

但是，“按照某屬性”來將一個(gè)母項(xiàng)分為兩個(gè)子項(xiàng)，是否一定具有可操作性？這是有疑問的。因?yàn)閷傩酝哂袕?qiáng)和弱的特征。對(duì)于極端情況比較容易判斷，但是對(duì)于臨界狀況，一個(gè)元素是否具有某種屬性往往是很難判斷的。比如張三一根頭發(fā)也沒有，說他是“禿頭”是沒有問題的；李四滿頭黑發(fā)，說他是“非禿頭”也是確定的；但如果王五的頭發(fā)只有很稀疏的幾十根，此時(shí)要確認(rèn)王五到底是“禿頭”還是“非禿頭”就很令人糾結(jié)，無法確定。

那么，有沒有一個(gè)更好的操作方法來實(shí)現(xiàn)二分法呢？有的。那就是生活中人們常用的規(guī)定一個(gè)“分?jǐn)?shù)線”的辦法：確定一個(gè)“分界點(diǎn)”。實(shí)數(shù)理論中的“戴德金分割”采用的就是這個(gè)辦法。

查《數(shù)學(xué)辭?！罚ǖ谝痪恚按鞯陆鸱指睢痹~條（[9]，第498頁），其內(nèi)容為：

戴德金分割（Dedekind cut）定義實(shí)數(shù)的一種方法。指按如下方法將一個(gè)有大小順序的數(shù)集（例如實(shí)數(shù)集或有理數(shù)集）分成兩部分，具體而言，用S表示有大小順序的數(shù)集，若將S分成兩部分A和B，使其滿足：

·A和B都至少含有S中的一個(gè)數(shù)（不空）；

·S中的任一數(shù)或?qū)儆贏，或?qū)儆贐（不漏）；

·對(duì)任意a∈A和任意b∈B，有a＜b（不亂）。

則集偶(A,B)稱為S的一個(gè)（戴德金）分割，A和B分別稱其為下類和上類。若(A,B)是有理數(shù)集Q的一個(gè)分割，則可能A中無最大數(shù)，同時(shí)B中無最小數(shù)，即出現(xiàn)空隙，所以有理數(shù)系不連續(xù)；而對(duì)實(shí)數(shù)集R所作的分割，則不會(huì)出現(xiàn)這種情況，它反映出實(shí)數(shù)系是連續(xù)的，這促使戴德金（Dedekind,J.W.R.）用有理數(shù)系Q的所有這種分割（出現(xiàn)空隙的和不出現(xiàn)空隙的）來定義實(shí)數(shù)。這樣的實(shí)數(shù)的集合R一定有連續(xù)性及其他熟知的性質(zhì)。因此，它就給出了一種嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這也就是戴德金分割的意義所在。……

另外，《數(shù)學(xué)辭?！罚ǖ谝痪恚┲羞€有一個(gè)“戴德金原理”詞條（[9]，第484頁），內(nèi)容如下：

戴德金原理（Dedekind principle）亦稱戴德金分割，是保證直線連續(xù)性的基礎(chǔ)。其內(nèi)容為：如果把直線的所有點(diǎn)分成兩類，使得：

·每個(gè)點(diǎn)恰屬于一個(gè)類，每個(gè)類都不空，

·第一類的每個(gè)點(diǎn)都在第二類的每個(gè)點(diǎn)的前面，或者在第一類里存在著這樣的點(diǎn)，使第一類中所有其余的點(diǎn)都在它的前面；或者在第二類里存在著這樣的點(diǎn)，它在第二類的所有其余的點(diǎn)的前面。

這個(gè)點(diǎn)決定直線的戴德金割切，此點(diǎn)稱為戴德金點(diǎn)（或界點(diǎn)）。戴德金原理是戴德金于1872年提出來的。在構(gòu)造歐氏幾何的公理系統(tǒng)時(shí)，可以選取它作為連續(xù)公理。在希爾伯特公理組I，II，III的基礎(chǔ)上，阿基米德公理和康托爾公理合在一起與戴德金原理等價(jià)。

兩個(gè)詞條實(shí)際上說的是一回事，當(dāng)時(shí)戴德金提出這個(gè)分割原理的目的是為了定義實(shí)數(shù)（或確保直線連續(xù)），但同時(shí)也向人們提供了一個(gè)在數(shù)學(xué)中如何將一個(gè)有序集合S分為兩個(gè)相互矛盾的子集A和B的基本方法（即二分法）。不同的是，詞條“戴德金分割”側(cè)重于算術(shù)（數(shù)的分割），詞條“戴德金原理”側(cè)重于幾何（線的切割）。

值得關(guān)注的是，在詞條“戴德金原理”中，出現(xiàn)了一個(gè)“戴德金點(diǎn)（或界點(diǎn)）”的概念。這是一個(gè)非常重要的概念。它就是我們前面提到的“分界點(diǎn)”。有了“分界點(diǎn)”，二分法的操作流程才算是真正落到了實(shí)處，因?yàn)檫@個(gè)點(diǎn)決定著一個(gè)母項(xiàng)通過二分法是從何處被分割成為兩個(gè)子項(xiàng)的。

因此，按照分離公理提供的原理和戴德金分割給出的規(guī)則，如果要對(duì)一個(gè)母項(xiàng)實(shí)施二分法，可以按照如下的步驟進(jìn)行操作：

·第一步：確定母項(xiàng)的外延為集合S′；

·第二步：將集合S′中的元素按照某種屬性的強(qiáng)弱關(guān)系進(jìn)行排列，得到一個(gè)有序集合S；

·第三步：在有序集合S的范圍內(nèi)，找一個(gè)合適的位置來確定一個(gè)分界點(diǎn)c；

·第四步：以c為分界，前面的元素組成一個(gè)子項(xiàng)，后面的元素組成另一子項(xiàng)。

通過上述四個(gè)步驟，以c為分界點(diǎn)，S就被分成了“是A”和“非A”兩個(gè)相互矛盾的子項(xiàng)，于是，二分法的操作過程就完成了。

比如，將母項(xiàng)“人”按照是否具有“禿頭”的性質(zhì)實(shí)施二分法，可進(jìn)行如下的操作：

·第一步：設(shè)人的集合為S′；

·第二步：因?yàn)轭^發(fā)越少，禿頭性越強(qiáng)；頭發(fā)越多，禿頭性越弱。所以再將集合S′中的元素按照頭發(fā)多少的順序進(jìn)行排列，頭發(fā)少者在前，多者在后，于是得到一個(gè)有序集合S；

·第三步：在0～1.4×105的范圍內(nèi)（據(jù)說人的頭發(fā)最多有14萬根），確定一個(gè)合適的分界點(diǎn)c（比如：c=60）的位置；

·第四步：以60為分界，前面的元素組成一個(gè)子項(xiàng)，后面的元素組成另一個(gè)子項(xiàng)。

通過上述四個(gè)步驟，以60為分界點(diǎn)，S就被分成了“是禿頭”和“非禿頭”兩個(gè)部分，少于60根頭發(fā)者為“是禿頭”，大于或等于60根頭發(fā)者為“非禿頭”。于是，二分法的目的就完成了。

上面的第四步操作是比較粗糙的。因?yàn)閷?duì)于分界點(diǎn)c的選取有兩種可能：可能c是S的外部元素（cS），也可能c是S的內(nèi)部元素（c∈S）。“戴德金分割”詞條中提到的有理數(shù)集Q被分割時(shí)出現(xiàn)的空隙處，就能恰好填入一個(gè)不屬于Q的外部分界點(diǎn)c（c是無理數(shù)），這屬于前一種可能；而對(duì)實(shí)數(shù)集R分割時(shí)，分界點(diǎn)c就只能是R中的元素。在后一種可能中，又分兩種情況：對(duì)元素c如何分配的問題和對(duì)除c以外其它元素的分配問題。下面，我們根據(jù)戴德金分割提供的方法，分別討論之：

·第一種可能：c是S的外部元素。此時(shí)c所在的位置恰好可以將S分割為前后兩個(gè)部分，可稱其為“是A”和“非A”兩個(gè)子集。S中的任一元素以c為界，前面的屬于“是A”，后面的屬于“非A”。這是一種最理想的情況，

圖1:是A和非A分割圖

因?yàn)榇藭r(shí)對(duì)S中所有元素的分配都是確定的。比如在對(duì)人的有序集合S進(jìn)行“禿頭”和“非禿頭”的分割時(shí)，如果我們選取了分界點(diǎn)c=60，而在集合S中恰好沒有60根頭發(fā)的人。那么，此時(shí)的分配很容易實(shí)施：所有少于60根頭發(fā)者為“禿頭”，所有多于60根頭發(fā)者為“非禿頭”。這種可能下的二分法是最容易實(shí)現(xiàn)的。

·第二種可能：c是S的內(nèi)部元素。此時(shí)又分為兩種情況：

–情況一：S中除c以外的所有元素如何分配：這種情況也好辦，與第一種可能類似，排在分界點(diǎn)c前面的元素屬于“是A”，排在分界點(diǎn)c后面的元素屬于“非A”，S中除c以外的任一元素或者屬于“是A”，或者屬于“非A”，這里也不存在任何的不確定因素。

–情況二：S中的特殊元素c的歸屬怎么辦？根據(jù)戴德金分割，下面的兩個(gè)選擇都是可以實(shí)施的：

*選擇一：c歸屬于前面的部分（c是A）；

*選擇二：c歸屬于后面的部分（c非A）。

對(duì)照前面的例子，在對(duì)人的有序集合S進(jìn)行“禿頭”和“非禿頭”的分割時(shí)，如果我們選取了分界點(diǎn)c=60，假如在集合S中恰好就有60根頭發(fā)的人，那么，其他的人都好辦，只有有60根頭發(fā)的人應(yīng)該歸屬于哪個(gè)子集，就很令人糾結(jié)。戴德金分割給出的辦法是：這個(gè)人歸屬于哪一部分都行。于是，采用這種辦法，此時(shí)的二分法就會(huì)得出兩種不同的結(jié)果：

·結(jié)果一：禿頭集 ={x∈S|x的頭發(fā)根數(shù)＜60}，非禿頭集 ={x∈S|x的頭發(fā)根數(shù)≥60}；

·結(jié)果二：禿頭集 ={x∈S|x的頭發(fā)根數(shù)≤60}，非禿頭集 ={x∈S|x的頭發(fā)根數(shù)＞60}。

這樣的分割方案，實(shí)際上是遵循了二值原則，從而確保了“在是A和非A之間不會(huì)出現(xiàn)第三者”，也保證了二分法在任何情況下都是必然可以實(shí)施的普適性。因此，戴德金分割似乎給“在真和非真之間不容許出現(xiàn)第三值”的二值原則提供了一個(gè)邏輯上的保障。

5 二分法并不是普適的

二分法在任何情況下都是必然可以實(shí)施的嗎？在是A和非A之間真的不會(huì)出現(xiàn)第三者嗎？或者說，二值原則的基礎(chǔ)真的是那么牢靠嗎？仔細(xì)推敲下來，戴德金分割所給出的二分法的具體操作方案似乎存在一個(gè)重大的紕漏。

演繹推理又叫必然性推理。因此，從邏輯的本質(zhì)來說，邏輯學(xué)追究的是必然性而不是或然性，而所謂“邏輯必然”的實(shí)質(zhì)就是“窮盡可能”?。╗12]，第263頁）戴德金分割對(duì)有序集合S分割方案中的選擇，顯然沒有窮盡所有的可能。因?yàn)樵诘诙N可能的情況二中，當(dāng)分界點(diǎn)c為有序集合S的內(nèi)部元素時(shí)，在對(duì)于分界點(diǎn)c歸屬的分配問題上，所有可供選擇的方案并非只有2個(gè)，而是有4個(gè)：

·選擇一：c歸屬于前面的部分（c是A）；

·選擇二：c歸屬于后面的部分（c非A）。

·選擇三：分界點(diǎn)c既不歸屬于前面的部分又不歸屬于后面的部分（c既不是A又不是非A）；

·選擇四：分界點(diǎn)c既歸屬于前面的部分又歸屬于后面的部分（c既是A又是非 A）。

圖2:是A和非A分割圖

與上節(jié)所舉的例子相對(duì)應(yīng)，在對(duì)人的有序集合S進(jìn)行“禿頭”和“非禿頭”的分割時(shí)，如果我們選取了分界點(diǎn)c=60，而在集合S中恰好就有60根頭發(fā)的人，那么，可能出現(xiàn)的分割結(jié)果是：

·結(jié)果一：禿頭集 ={x∈S|x的頭發(fā)根數(shù)＜60}，非禿頭集 ={x∈S|x的頭發(fā)根數(shù)≥60}，這是S的兩個(gè)不重不漏的真子集；

·結(jié)果二：禿頭集 ={x∈S|x的頭發(fā)根數(shù)≤60}，非禿頭集 ={x∈S|x的頭發(fā)根數(shù)＞60}，這也是S的兩個(gè)不重不漏的真子集；

·結(jié)果三：禿頭集 ={x∈S|x的頭發(fā)根數(shù)＜60}，非禿頭集 ={x∈S|x的頭發(fā)根數(shù)＞60}，這是S的兩個(gè)漏掉元素“有60根頭發(fā)的人”的真子集；

·結(jié)果四：禿頭集 ={x∈S|x的頭發(fā)根數(shù)≤60}，非禿頭集 ={x∈S|x的頭發(fā)根數(shù)≥60}，這是S的兩個(gè)重疊了元素“有60根頭發(fā)的人”的真子集。

這就是說，戴德金分割對(duì)有序集合的分割方式雖然全面地考慮了各種不同的情況，確認(rèn)了在絕大多數(shù)情況下，二分法確實(shí)能夠有效地將S分割為互相矛盾的兩個(gè)子集“是A”和“非A”。但是，在極為罕見的第二種可能的情況二中，卻有兩種可能情況被疏忽了。在這兩種可能情況下的劃分方案，并不能將S分割為互相矛盾的兩個(gè)部分，而是將S分割為“漏掉了一個(gè)元素c的兩個(gè)部分”和“重疊于一個(gè)元素c的兩個(gè)部分”，這就使得在所有的二分法實(shí)施過程中，并不能確保百分之百地將一個(gè)母項(xiàng)劃分為不重不漏的兩個(gè)子項(xiàng)，而是有可能得到具有細(xì)微差別的三種不同的結(jié)果：

·結(jié)果1：S被分割為既沒有重疊又沒有遺漏的2個(gè)部分（“是A”和“非A”是矛盾關(guān)系）；

·結(jié)果2：S被分割為有一個(gè)元素被遺漏在外的2個(gè)部分（“是A”和“非A”是上反對(duì)關(guān)系）；

·結(jié)果3：S被分割為有一個(gè)元素被重疊在內(nèi)的2個(gè)部分（“是A”和“非A”是下反對(duì)關(guān)系）。

在這里，只有結(jié)果1是我們希望得到的理想狀態(tài)，而這種結(jié)果也幾乎占盡了99%以上的可能性。自亞里士多德以來的幾乎所有的邏輯學(xué)家僅僅考慮了這種結(jié)果，所以在邏輯學(xué)中就一直以為二分法這種正常的分割結(jié)果總是清晰的、明確的和普適的，不存在任何的模糊性。所以在學(xué)界一直在嚴(yán)格遵守著“在是A和非A之間不會(huì)出現(xiàn)第三值”的二值原則。

而第二種可能下的情況二所導(dǎo)致的結(jié)果2和結(jié)果3，實(shí)際上已經(jīng)破壞了“在是A和非A之間不會(huì)出現(xiàn)第三值”的二值原則，但其出現(xiàn)的可能性簡(jiǎn)直是太微乎其微了，至多僅占百分之零點(diǎn)幾。因?yàn)樗陌l(fā)生要滿足兩個(gè)條件：第一，分界點(diǎn)c必須是集合S中的元素，而一般情況下的分界點(diǎn)大都是外來的（如刀切西瓜）；第二，這兩種結(jié)果只出現(xiàn)在對(duì)S中唯一的分界點(diǎn)c的分配問題上，而對(duì)除c以外的任何的S中元素的分配結(jié)果都必然是結(jié)果1，而不會(huì)是結(jié)果2或結(jié)果3。這就是說，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的可能性真是太小太小了，以至于小到幾乎可以忽略不計(jì)的程度。所以這種可能情況所導(dǎo)致的結(jié)果2和結(jié)果3長(zhǎng)期被人們所忽視，也是情有可原的。在整個(gè)數(shù)學(xué)史上，似乎只有直覺主義者曾經(jīng)對(duì)此提出過輕微而含糊的質(zhì)疑，因?yàn)樗麄儗?duì)排中律的普適性是不認(rèn)可的，認(rèn)為命題存在三種情況：真、假、不假，但他們又不承認(rèn)自己采用了三值邏輯。（[7]，第100頁）

現(xiàn)有的資料表明，在二分法的問題上，歷史上絕大多數(shù)的哲學(xué)家和邏輯學(xué)家們僅僅考慮了第一種可能（c?∈S），很少有人考慮到第二種可能（c∈S），而唯一考慮到的只有德國數(shù)學(xué)家戴德金。但當(dāng)時(shí)他思考的重點(diǎn)并不是二分法的操作問題，而是實(shí)數(shù)的定義問題。因此，對(duì)于導(dǎo)致二值原則普適性失效的第二種可能中的情況二，戴德金想當(dāng)然地按照二值原則做了處理。豈不知這樣做的結(jié)果，卻丟失了窮盡可能這個(gè)基本的邏輯要求，從而丟失了邏輯的必然性，得到的僅僅是一個(gè)或然性結(jié)果。盡管這個(gè)或然性的概率非常之大，幾乎接近于1。但這樣做的后果是，使得邏輯學(xué)界在這個(gè)最基本的基礎(chǔ)問題——二分法上，一直存在一個(gè)使人難以察覺而又性質(zhì)嚴(yán)重的疏忽，這就是令人困惑的理發(fā)師悖論、說謊者悖論、羅素悖論、格雷林悖論、理查德悖論……等同一類型的狹義邏輯悖論一直不能得到一個(gè)合理而徹底的解釋的根源所在。

從模糊性角度來看，哲學(xué)界對(duì)于一個(gè)模糊概念與其否定之間（如“禿頭”和“非禿頭”之間）是否存在分界點(diǎn)，還是大有爭(zhēng)議的，因?yàn)榉纸琰c(diǎn)的存在嚴(yán)重違反直覺?，F(xiàn)在看來，如果退一步說，即使大家都認(rèn)可認(rèn)知主義的看法，同意“由于人的認(rèn)知能力所限而不知道分界點(diǎn)在哪里，但這個(gè)分界點(diǎn)是存在”的觀點(diǎn)，模糊性還是難以消除：因?yàn)閷?duì)于內(nèi)部分界點(diǎn)的分配，除了它可以分別屬于“是”或“否”以外，依然還有兩種可能：分界點(diǎn)既不屬于“是”又不屬于“否”，或者分界點(diǎn)既屬于“是”又屬于“否”。于是，我們還是不能最終完全確定分界點(diǎn)的歸屬。清晰性僅僅是相對(duì)而已，而模糊性似乎是絕對(duì)的。

6 對(duì)理發(fā)師悖論的分析

下面我們就以理發(fā)師悖論為例，來說明只要人們放棄在二分法問題上隱藏很深的一個(gè)想當(dāng)然的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，考慮到在一些特殊的案例中有可能會(huì)遇到的那個(gè)極為罕見的容易被忽視的情況，所謂的邏輯悖論，就都能得到非常合理的解釋。

案例一：假設(shè)薩維爾村沒有理發(fā)師，這時(shí)鄰村的一個(gè)理發(fā)師向薩村全體村民宣布了一條規(guī)定：“我給且只給薩村不給自己理發(fā)的人理發(fā)”。在這樣的前提下，薩村全體村民組成了一個(gè)集合S′，鄰村的這個(gè)理發(fā)師相當(dāng)于一個(gè)外來的分界點(diǎn)c，通過他發(fā)布的規(guī)定，要將S′一分為二。其分割方式是：先將集合S′按照給自己理發(fā)的人在前、不給自己理發(fā)的人在后的順序排成了一個(gè)有序集合S（注：理發(fā)師不屬于集合S），然后理發(fā)師c站在給自己理發(fā)的和不給自己理發(fā)的兩組村民之間（如圖3所示），這樣就把S分割為兩個(gè)不重不漏、相互矛盾的真子集。前一個(gè)子集叫“給自己理發(fā)的村民集合”，后一個(gè)子集叫“不給自己理發(fā)的村民集合”，理發(fā)師給且只給后一個(gè)集合中的人理發(fā)。顯然，理發(fā)師的這個(gè)規(guī)定完滿地解決了薩村全體村民的理發(fā)問題。

圖3:理發(fā)師與薩村村民關(guān)系圖

此案例和前面討論過的戴德金分割的第一種可能是類似的，由于作為分界點(diǎn)的理發(fā)師c是一個(gè)外來者，所以，集合S中任一元素都被毫無遺漏地合理分配到分割后的兩個(gè)集合給自己理發(fā)的人和不給自己理發(fā)的人之一中，所以這個(gè)二分法是唯一確定的，不存在任何的疑問。

案例二：薩維爾村的唯一理發(fā)師向薩村全體村民宣布了一條規(guī)定：“我給且只給村里除我以外的任何一個(gè)不給自己理發(fā)的人理發(fā)”。在此條件下，理發(fā)師的規(guī)定實(shí)際上還是先將薩村除理發(fā)師以外的全體村民按照給自己理發(fā)的在前、不給自己理發(fā)的在后的順序排成了一個(gè)有序集合S（注：理發(fā)師仍不屬于集合S），然后理發(fā)師作為一個(gè)分界點(diǎn)c，站在了給自己理發(fā)和不給自己理發(fā)的兩組村民之間（如圖3所示），把S分割為兩個(gè)不重不漏的真子集，前一個(gè)叫“給自己理發(fā)的村民集合”，后一個(gè)叫“不給自己理發(fā)的村民集合”，理發(fā)師給且只給后一個(gè)集合中的人理發(fā)。理發(fā)師的這個(gè)規(guī)定也完滿地解決了薩村除他之外全體村民的理發(fā)問題。至于理發(fā)師本人的理發(fā)問題應(yīng)該如何解決？在這個(gè)規(guī)定中并沒有涉及，我們也不必多此一舉，讓他自己想辦法解決好了。

此案例和前面討論過的戴德金分割中的第二種可能的情況一也是一致的，由于作為分界點(diǎn)的理發(fā)師c雖然是本村人，但他已經(jīng)聲明他所宣布的規(guī)定已經(jīng)將自己排除在外，所以也不存在集合S被分割后，應(yīng)該對(duì)理發(fā)師c如何分配的問題，所以這個(gè)二分法也只有唯一的結(jié)果，不存在任何的不確定因素。

圖4:理發(fā)師與薩村村民關(guān)系圖

案例三：薩維爾村的唯一理發(fā)師向薩村全體村民宣布了一條規(guī)定：“我給且只給村里不給自己理發(fā)的人理發(fā)”。這個(gè)案例和前兩個(gè)案例一樣，理發(fā)師的規(guī)定實(shí)際上還是先將薩村全體村民按照給自己理發(fā)的在前、不給自己理發(fā)的在后的順序排成了一個(gè)有序集合S，這時(shí)理發(fā)師由于無法確定他應(yīng)該屬于哪個(gè)部分，所以只好站在給自己理發(fā)和不給自己理發(fā)的兩組村民之間，這樣的安排實(shí)際上也恰好讓理發(fā)師作為一個(gè)分界點(diǎn)c，站在了分界點(diǎn)應(yīng)該站的位置上（特別強(qiáng)調(diào)：此時(shí)的理發(fā)師c屬于集合S，如圖4所示），于是，理發(fā)師c就把有序集合S中除他自己以外的所有薩村人分割成為兩個(gè)部分，每個(gè)人或者屬于“給自己理發(fā)的村民集合”，或者屬于“不給自己理發(fā)的村民集合”，按照規(guī)定，理發(fā)師只給后一部分中的人理發(fā)，而不給前一部分中的人理發(fā)。分析到此，這個(gè)規(guī)定已經(jīng)解決了除理發(fā)師以外的全體村民的理發(fā)問題了。

接下來需要處理的難題是：由于理發(fā)師的規(guī)定并沒有將他自己排除在他要提供的服務(wù)對(duì)象以外，所以理發(fā)師的理發(fā)問題就要認(rèn)真來考慮了。這個(gè)情況和上節(jié)討論過的第二種可能的情況二是一致的，作為來自集合S中內(nèi)部的分界點(diǎn)c，理發(fā)師的歸屬最多有4個(gè)可供選擇的方案：

·選擇一：c歸屬于前面的部分（理發(fā)師是給自己理發(fā)的人）；

·選擇二：c歸屬于后面的部分（理發(fā)師是不給自己理發(fā)的人）；

·選擇三：c既不歸屬于前面的部分又不歸屬于后面的部分（理發(fā)師既不是給自己理發(fā)的人又不是不給自己理發(fā)的人）；

·選擇四：c既歸屬于前面的部分又歸屬于后面的部分（理發(fā)師既是給自己理發(fā)的人又是不給自己理發(fā)的人）。

那么，這4個(gè)選擇方案，哪一個(gè)符合理發(fā)師的規(guī)定呢？按照規(guī)定，可得如下兩個(gè)推理：

·推理一：假設(shè)理發(fā)師是給自己理發(fā)的人，按照理發(fā)師宣布的規(guī)定，他就不能給自己理發(fā)，于是就得出：理發(fā)師是不給自己理發(fā)的人；

·推理二：假設(shè)理發(fā)師是不給自己理發(fā)的人，按照理發(fā)師宣布的規(guī)定，他就只能給自己理發(fā)，于是就得出：理發(fā)師是給自己理發(fā)的人。根據(jù)上述推理一和推理二，我們得到的結(jié)論是：

·理發(fā)師是給自己理發(fā)的人，當(dāng)且僅當(dāng)，理發(fā)師是不給自己理發(fā)的人。由邏輯學(xué)推理規(guī)則可得，上述命題和下面的命題等價(jià)：

·理發(fā)師既是給自己理發(fā)的人又是不給自己理發(fā)的人。

這個(gè)推理的結(jié)果完全符合選擇四。所以，理發(fā)師的規(guī)定實(shí)際上是將包括理發(fā)師在內(nèi)的全體薩村村民集合S分割為有一個(gè)重疊元素c的兩個(gè)真子集，這兩個(gè)真子集分別是“給自己理發(fā)的村民集合”和“不給自己理發(fā)的村民集合”，這并不是相互矛盾的兩個(gè)集合，而是具有相互下反對(duì)關(guān)系的兩個(gè)集合，理發(fā)師自己正是這兩個(gè)集合之間唯一的公共元素。理發(fā)師的這個(gè)規(guī)定，同樣完滿地解決了全體薩村村民的理發(fā)問題：

(1)理發(fā)師無需給那些給自己理發(fā)的人理發(fā)；

(2)理發(fā)師只給那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)；

(3)理發(fā)師既可以給自己理發(fā)，又可以不給自己理發(fā)。

上述第3條，等價(jià)于“理發(fā)師給自己理發(fā)，當(dāng)且僅當(dāng)，理發(fā)師不給自己理發(fā)”，這正是邏輯悖論的統(tǒng)一特征“矛盾等價(jià)式”（[11]，第3頁）在理發(fā)師悖論中的表現(xiàn)形式，這個(gè)特征恰好說明，理發(fā)師c正是將集合S分割后所得到的結(jié)果3中，兩個(gè)子集之間的那一個(gè)重疊元素。

可能有人還是會(huì)對(duì)上述第3條提出質(zhì)疑：如果按照亞里士多德的“三同一”，將該條內(nèi)容強(qiáng)化為“理發(fā)師在同一瞬間既給自己理發(fā)又不給自己理發(fā)”，那么，這樣的事實(shí)怎么可能在現(xiàn)實(shí)發(fā)生呢？

實(shí)際上如果我們真正明白了重疊元素的含義，這個(gè)問題是很好回答的：如果把推子貼在頭發(fā)上運(yùn)行看作是“理發(fā)”，那么推子離開頭發(fā)就是“不理發(fā)”，兩者的交匯點(diǎn)——推子恰好剛貼在頭發(fā)上但還沒有開始運(yùn)行的那一瞬間，就是“既理發(fā)又不理發(fā)”的狀態(tài)。

與理發(fā)師悖論類似，說謊者悖論（P:P假）實(shí)際上也是作為一個(gè)分界點(diǎn)，將所有的陳述句按照真在前假在后的順序排列的有序集合S，分割成“真陳述句”和“假陳述句”兩個(gè)子集，由于“矛盾等價(jià)式（P真，當(dāng)且僅當(dāng)，P假）”的存在，因此，這兩個(gè)子集的關(guān)系并不是矛盾關(guān)系，而是下反對(duì)關(guān)系，它們有著唯一的一個(gè)共同元素c，這個(gè)元素c具有“既真又假”的特性，它恰好就是在這次分割中所確認(rèn)的S內(nèi)部的分界點(diǎn)——“本語句假”。

同理，對(duì)于羅素悖論、格雷林悖論、理查德悖論……等等邏輯悖論都可以進(jìn)行同樣的分析，由于這種類型的邏輯悖論具有一個(gè)共同的特征“k真，當(dāng)且僅當(dāng)，k假”，即“k真且k假”或“是且非”，因此，它們其實(shí)不是悖論，而是對(duì)一個(gè)有序集合S分割后得到的具有下反對(duì)關(guān)系的兩個(gè)子集之間的那個(gè)唯一共同的元素而已，茲不贅述。

7 對(duì)國內(nèi)外各類解悖方案的比較和分析

悖論問題困擾了學(xué)界兩千多年，歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)過多次悖論研究熱潮，但一直得不到很好的解釋。上世紀(jì)初，由于羅素悖論的發(fā)現(xiàn)，悖論問題又一次成為學(xué)界談?wù)摰臒衢T話題。首先由羅素本人提出了類型論解悖方案，隨后又出現(xiàn)了鮑契瓦爾等人的多值邏輯方案、策梅洛和諾伊曼等人的公理化集合論方案以及以塔斯基的語言層次理論和克里普克真值間隙論等為典型代表的多套解悖方案，上世紀(jì)后半葉,又涌現(xiàn)出了頗具活力的語境遲鈍、語境敏感及亞相容邏輯三大解悖方案。

在這些多姿多彩的解悖方案中，為了消除悖論，有的將原有的系統(tǒng)破壞得支離破碎；有的僅僅是為了解悖而解悖，特設(shè)性太強(qiáng)；還有的顧此失彼，“跳出油鍋又進(jìn)火坑”?？傊?，沒有一個(gè)解悖方案能夠得到所有哲學(xué)界、邏輯學(xué)界和數(shù)學(xué)界的完全認(rèn)可，它們總是存在這樣或那樣的問題。不過，由公理化集合論方案所建立的ZFC和NBG兩套公理系統(tǒng)，因?yàn)樵诩险撝杏行У乇苊饬肆_素悖論和康托爾悖論，所以在技術(shù)上取得了一致公認(rèn)的成功。但這兩套公理系統(tǒng)僅僅是避免了一些悖論，并沒有能夠做到由于對(duì)悖論作出合理的解釋，從而確保悖論得以消除；同時(shí)還把整個(gè)集合系統(tǒng)搞得殘缺不全，違反了“盡可能使數(shù)學(xué)原樣不動(dòng)”的RZH解悖標(biāo)準(zhǔn)（[11]，第24頁）；而且在哲學(xué)上的解釋也不能令人滿意。因此公理化集合論的解悖方案不能算是完全成功的解悖方案。

值得一提的是，由英國哲學(xué)家湯姆遜于上世紀(jì)60年代獲得的“對(duì)角線引理”（[11]，第219頁）和我國學(xué)者蔣耀星于本世紀(jì)初提出的“悖論統(tǒng)一模式定理”（[11]，第225頁）以及我國安徽學(xué)者張金成近年來提出的“不動(dòng)項(xiàng)定理”（[13]，第6頁），從嚴(yán)格的邏輯技術(shù)角度論證了：如果一個(gè)元素c屬于集合S會(huì)導(dǎo)致矛盾，那么，將這個(gè)元素c開除出集合S之外，矛盾就被消除了。人們覺得對(duì)該項(xiàng)技術(shù)最成功的應(yīng)用，就是消除了理發(fā)師悖論，因?yàn)榇蠹叶颊J(rèn)為將理發(fā)師開除出薩維爾村是破解理發(fā)師悖論的最好方案，而且這樣做也不會(huì)使人感到為難。但是，按照同樣的道理，該技術(shù)對(duì)其他具有相同結(jié)構(gòu)類型悖論的應(yīng)用卻沒有得到大家的認(rèn)可。具體說來就是，沒有人認(rèn)為“本語句假”不是一個(gè)陳述句，也沒有人認(rèn)可“羅素集”不是一個(gè)集合，更沒有人認(rèn)為“理查德數(shù)的編號(hào)”不是一個(gè)自然數(shù)，也沒有人認(rèn)可“他謂的”應(yīng)該被開除出形容詞集合之外……，等等。因此，這個(gè)看似論證嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忏７桨赣捎诰窒拊诙邓季S的框架之內(nèi)，因此也是不成功的。事實(shí)上，既然學(xué)界主流觀點(diǎn)不能認(rèn)可將“本語句假”開除出陳述句集合之外，為什么要承認(rèn)可以將理發(fā)師開除出薩維爾村呢？主流觀點(diǎn)在這里采取的雙重標(biāo)準(zhǔn)，是一個(gè)極不合邏輯的錯(cuò)誤，應(yīng)該得到糾正。其實(shí)該技術(shù)所采取的把S內(nèi)部的分界點(diǎn)開除出S之外，使其成為S外部分界點(diǎn)的做法，與“實(shí)數(shù)系連續(xù)”的學(xué)界共識(shí)是矛盾的，實(shí)際上是一個(gè)回避矛盾、逃避問題的消極方案，它不可能真正揭示出邏輯悖論的本質(zhì)，因此也不可能是一個(gè)真正合理有效的解悖方案。

不過，在這些解悖方案中，有兩大系列值得關(guān)注：一是否認(rèn)二值排中律之普適性的多值邏輯方案和真值間隙論方案；二是否認(rèn)矛盾律之普適性的亞相容邏輯方案。（[11]，第152頁）它們產(chǎn)生于這樣的背景之下：由于悖論是通過“嚴(yán)密無誤的邏輯推理”2按照張建軍教授的定義，邏輯悖論的三個(gè)構(gòu)成要素是“公認(rèn)正確的背景知識(shí)”、“嚴(yán)密無誤的邏輯推理”和“矛盾等價(jià)式”。得到的，故很難消除。這就使得有人懷疑悖論和一般的邏輯矛盾是不一樣的，它的存在可能具有一定的合理性，他們似乎隱約地意識(shí)到：過去我們所謂“公認(rèn)正確的背景知識(shí)”可能是有問題的，因此，應(yīng)該對(duì)邏輯學(xué)中最基本的思維規(guī)律——矛盾律和排中律提出懷疑，但他們又苦于找不到確鑿的證據(jù)來證實(shí)這種懷疑。不過，他們懷疑的對(duì)象僅僅是二值矛盾律或二值排中律，從根本上來說，這兩大系列解悖方案的倡導(dǎo)者們?nèi)匀皇菑?qiáng)化型矛盾律和強(qiáng)化型排中律（即強(qiáng)化型二值原則）的忠實(shí)信徒和堅(jiān)定的執(zhí)行者。這是由于國外學(xué)界的主導(dǎo)思想是由西方文化決定的二值思維方式所導(dǎo)致的，一般人很難突破。

與西方學(xué)者的視角不同，我國學(xué)界由于受中國傳統(tǒng)的辯證思維和馬克思主義哲學(xué)的影響，可以從辯證的角度來看待悖論問題。在上世紀(jì)末開展的“如何區(qū)分辯證矛盾和邏輯矛盾”及“悖論應(yīng)該歸屬于邏輯矛盾還是辯證矛盾”的大討論中，許多學(xué)者提出了現(xiàn)實(shí)中確實(shí)存在著大量的“亦此亦彼”現(xiàn)象，實(shí)際上也是對(duì)矛盾律普適性的反思。特別是香港學(xué)者黃展驥提出的案例，幾乎就是本文第五小節(jié)理論分析的一個(gè)現(xiàn)實(shí)版本?，F(xiàn)將該案例轉(zhuǎn)述如下：（[12]，第308–309頁）

“李（在特定時(shí)刻）既在，又不在香港！”一般人都會(huì)認(rèn)為這是絕對(duì)荒謬的，哪會(huì)出現(xiàn)于現(xiàn)實(shí)世界？現(xiàn)在，我根據(jù)辯證派的“亦此亦彼”（以后我才把它修正為“可此可彼”）來攻擊形式派：李多年來都在香港。在這大段時(shí)間內(nèi)，“既甲又非甲”（乙）為假。但當(dāng)他要去深圳旅行，在過境時(shí)一腳踏在香港，另一腳踏在深圳，乙便為真了。過此，乙又再為假。

一般人聽后恍然大悟，如夢(mèng)初醒：原來矛盾事物有時(shí)可并存于世，真理稍過些便變成謬誤！形式派：我們可以把“在香港”這個(gè)含混的詞精確化，例如：當(dāng)李的體積“過半”在香港邊界內(nèi)，便“在香港”；如果否，則否。

辯證派：的確，這樣一來，“亦”例大為減少。但是，當(dāng)李剛好一半在界內(nèi)，另一半在界外時(shí)，“亦”例仍然存在呢！

形式派：我們可以在兩地之間設(shè)立廣闊的“緩沖區(qū)”（或“中立區(qū)”），如果有實(shí)際需要的話。

辯證派再追問：但當(dāng)他剛好一半在香港，另一半在緩沖區(qū)呢？！

上述案例展示的內(nèi)容實(shí)際上是在形式派和辯證派之間開展的一場(chǎng)激烈爭(zhēng)辯：

辯證派：首先指出在“此”與“彼”之間有一個(gè)“亦此亦彼”悖論的事實(shí)（李既在又不在香港），對(duì)形式邏輯的矛盾律發(fā)起攻擊；

形式派：用精確化的二分法將該悖論破解（當(dāng)李的體積“過半”在香港邊界內(nèi)，便“在香港”）；

辯證派：指出二分法中的內(nèi)部分界點(diǎn)也存在“亦此亦彼”的問題（當(dāng)李剛好一半在界內(nèi)，另一半在界外時(shí)，“亦”例仍然存在）；

形式派：拿出三值邏輯方案，承認(rèn)“此”與“彼”之間有一個(gè)第三值區(qū)域（可以在兩地之間設(shè)立廣闊的“緩沖區(qū)”）；

辯證派：用強(qiáng)化型悖論事實(shí)再次指出在“此”或“彼”與“緩沖區(qū)”之間仍然存在二分法中的內(nèi)部分界點(diǎn)如何分配的問題（當(dāng)他剛好一半在香港，另一半在緩沖區(qū)呢？?。?/p>

形式派：……（無言以對(duì)）

學(xué)界的這些討論，雖然僅僅局限于客觀事實(shí)層面，并沒有上升到抽象的邏輯和理論分析，但已經(jīng)非常明確地接近了問題的實(shí)質(zhì)。對(duì)此，我們有必要對(duì)“否認(rèn)排中律普適性”和“否認(rèn)矛盾律普適性”這兩大系列的解悖方案進(jìn)行綜合分析，將其上升到“否認(rèn)二值原則普適性”的高度，并追究出二值原則普適性的依據(jù)是二分法的普適性，而二分法的實(shí)現(xiàn)又必須確認(rèn)一個(gè)分界點(diǎn)，那么，根據(jù)“邏輯必然的實(shí)質(zhì)就是窮盡可能”的邏輯要求，由于內(nèi)部分界點(diǎn)的分配問題并不能如我們所愿，只有“或真或假”兩種可能，而是還有“非真非假”和“既真又假”的另外兩種可能，這樣就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)不適用于排中律的真值間隙和一個(gè)不適用于矛盾律的真值重合，從而破壞了二分法的普適性，導(dǎo)致二值原則普適性的失效，于是，排中律普適性失效和矛盾律普適性失效的確鑿證據(jù)就被找出來了。

8 邏輯學(xué)中的對(duì)稱美

其實(shí)，排中律和矛盾律并不具有普適性，因?yàn)樵谏舷路磳?duì)關(guān)系之間，這兩律只能有其中的一個(gè)成立。但由于二值思維使然，人們總是自覺不自覺地把兩個(gè)反對(duì)關(guān)系排除在了相反關(guān)系之外，以為一提相反必然就是矛盾關(guān)系。因此就出現(xiàn)了排中律普適性失效和矛盾律普適性失效的問題。

排中律普適性失效的原因指的是在二分法中出現(xiàn)一個(gè)“非真非假”（非此非彼）的真值間隙。即通過二分法，一個(gè)母項(xiàng)有可能被分為兩個(gè)子項(xiàng)和一個(gè)單元素集合三部分，其特征為“兩集夾一元”。由于這三部分之交為空，三部分之并為母項(xiàng)，故這種劃分法仍然符合“不重不漏”的劃分規(guī)則。因此這種特殊的三分法被大量應(yīng)用于各類學(xué)科，特別在數(shù)學(xué)中被稱為“三岐性”，如：實(shí)數(shù)可分為正、負(fù)、零；兩數(shù)關(guān)系有大于、小于、等于；兩集關(guān)系有相交、相異、相等；共面兩直線關(guān)系有相交、平行、重合；共面兩圓關(guān)系為相交、相離、相切；圓錐曲線分為橢圓、雙曲線、拋物線；……

矛盾律普適性失效的原因也是指在二分法中出現(xiàn)一個(gè)“又真又假”（亦此亦彼）的真值重合。即通過二分法，一個(gè)母項(xiàng)有可能被分為相互重疊于一個(gè)元素的兩個(gè)子項(xiàng)，其特征是“兩集疊一元”。由于這兩個(gè)子項(xiàng)有重疊關(guān)系，所以這種劃分不符合分類學(xué)的要求，所以該分法極少能被應(yīng)用。但其中的“一元”恰好滿足部分具有相同結(jié)構(gòu)悖論的共同特征“矛盾等價(jià)式”，因此，說這類邏輯悖論產(chǎn)生的根源是由于在二分法中出現(xiàn)了一個(gè)“又真又假”的重疊元素，則是順理成章的。

顯然，“非真非假”和“又真又假”是對(duì)稱的，“非真即假”是它們的對(duì)稱中心；“一元重合”和“一元遺漏”是對(duì)稱的，“兩集夾一元”和“兩集疊一元”也是對(duì)稱的，“不重不漏”也是它們的對(duì)稱中心。

1931年，哥德爾在一個(gè)足以展開初等數(shù)論的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)PA中構(gòu)建了一個(gè)命題p（[6]，第39–40頁），p的特征是：p∶p在PA中不可證。于是，就得到了哥德爾不完全性定理：如果PA是一致的，那么p和非p在PA中都不可證。于是有：命題“p在PA中不可證”和“非p在PA中不可證”這兩個(gè)看似矛盾的命題都是真的，它們是相互下反對(duì)的；同理，命題“p在PA中可證”和“非p在PA中可證”這兩個(gè)看似矛盾的命題都是假的，它們是相互上反對(duì)的。從這里可以看出，上反對(duì)關(guān)系和下反對(duì)關(guān)系也是具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)的，矛盾關(guān)系是它們的對(duì)稱中心。

事實(shí)上，矛盾律、排中律也是對(duì)稱的，它們和二值原則一樣，也各自都有兩種不同的表述形式：表述1針對(duì)的是兩個(gè)相反3本文中的“相反”包括矛盾關(guān)系、上反對(duì)關(guān)系和下反對(duì)關(guān)系。命題，表述2針對(duì)的是一個(gè)命題的兩個(gè)真值。這兩種表述形式在本質(zhì)上是一致的。把它們都放在一起進(jìn)行對(duì)照，就會(huì)顯示出強(qiáng)烈的對(duì)稱性：

·矛盾律表述1：兩個(gè)相反命題不能同真，可以同假，也可以一真一假。

·排中律表述1：兩個(gè)相反命題不能同假，可以同真，也可以一真一假。

·二值原則表述1：兩個(gè)相反命題既不能同真，也不能同假，只可以一真一假。

·矛盾律表述2：任一命題不能又真又假，可以非真非假，也可以非真即假。

·排中律表述2：任一命題不能非真非假，可以又真又假，也可以非真即假。

·二值原則表述2：任一命題既不能非真非假，也不能又真又假，只可以非真即假。

因此有：

·矛盾律可以適用于矛盾關(guān)系和上反對(duì)關(guān)系；

·排中律可以適用于矛盾關(guān)系和下反對(duì)關(guān)系；

·二值原則只能適用于矛盾關(guān)系。

顯然，矛盾律和排中律具有對(duì)稱性，二值原則是它們的對(duì)稱中心。

“非真非假”和“又真又假”、“兩集夾一元”和“兩集疊一元”、上反對(duì)關(guān)系和下反對(duì)關(guān)系、矛盾律和排中律所展示的對(duì)稱性，以及二值原則中兩個(gè)對(duì)稱的漏洞：一個(gè)是在只符合矛盾律時(shí)出現(xiàn)的真值間隙，另一個(gè)是在只符合排中律時(shí)出現(xiàn)的真值重合，排列得是如此的美觀和對(duì)等，展示的是一種美學(xué)上的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因此可以說，它們?cè)谶壿嬌暇哂袕?qiáng)烈的美學(xué)價(jià)值。

長(zhǎng)期以來，學(xué)界主流觀點(diǎn)受困于邏輯學(xué)的傳統(tǒng)觀念，認(rèn)為矛盾律比排中律重要得多，認(rèn)為一致性比完全性重要得多?？傆X得排中律有時(shí)候可以不遵守，但矛盾律卻絕對(duì)不能違反；總覺得完全性可以舍棄，一致性卻絕對(duì)不能放棄。這似乎是受了哲學(xué)上一元論觀念的影響。實(shí)際上在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿媽W(xué)中，矛盾律和排中律是對(duì)稱關(guān)系，一致性和完全性也是對(duì)稱關(guān)系，它們的地位是完全對(duì)等的，不存在這個(gè)高那個(gè)低、這個(gè)重那個(gè)輕的問題。違反簡(jiǎn)潔和美學(xué)原則的看法，總是有缺陷的。

當(dāng)然，矛盾律和排中律都是不能違反的，一致性和完全性也都是我們需要的。所有的這些要求在簡(jiǎn)單的形式系統(tǒng)中都是可以辦到的。問題的關(guān)鍵在于，當(dāng)系統(tǒng)復(fù)雜化后，尤其是當(dāng)數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)中包含了初等數(shù)論（通俗地說就是由有限擴(kuò)展為無限）的時(shí)候，一致性和完全性就是不相容的，矛盾律和排中律也是不能同時(shí)得到滿足的。這時(shí)大家就容易把只能適用于其中之一的情況，誤以為必須得同時(shí)適用于兩者。比如說，說謊者悖論所涉及到的兩個(gè)集合“真命題”和“假命題”本來是下反對(duì)關(guān)系，但是大家都誤以為是矛盾關(guān)系，“又真又假”本來是一個(gè)只適用于排中律的正常的邏輯事實(shí)，而我們卻誤以為它違反了矛盾律，認(rèn)為它是悖論。這就使得困惑人類上千年的難題總是無法得以解開，使得與此結(jié)構(gòu)一致的理發(fā)師悖論、羅素集合悖論、格雷林悖論、理查德悖論……等等邏輯悖論也一直得不到很好解釋的原因所在。

9 結(jié)語

過去我們?cè)?jīng)堅(jiān)定而固執(zhí)地以為，命題只能被分為不重不漏的兩大類型：真命題和假命題。但經(jīng)過幾千年來的一個(gè)牢不可破的事實(shí)和通過數(shù)百代人絞盡腦汁的邏輯推理都確鑿無疑地指證，有一個(gè)構(gòu)造非常簡(jiǎn)單的命題叫“本語句假”，它卻具有一個(gè)令人難以置信的特征：既是真命題又是假命題。這就是說，我們頭腦中的固有觀念和邏輯推理與既定事實(shí)發(fā)生了嚴(yán)重的沖突。那么，到底是推理與事實(shí)錯(cuò)了呢，還是我們的觀念錯(cuò)了呢？從最簡(jiǎn)單的大道理上來判斷，顯然應(yīng)該判我們的觀念為錯(cuò)。但是到底錯(cuò)在哪里？經(jīng)過幾代人的努力，現(xiàn)在終于明白了：我們過去想當(dāng)然地以為確鑿無疑而且普遍適用的二分法，在一個(gè)極為特殊的情況下，得到的并不是一個(gè)真正的不重不漏的二分，而是有一個(gè)重疊元素的二分，我們觀念中的這一個(gè)疏忽，終于被我們從一個(gè)極為隱蔽的角落里找出來了。于是，困擾了學(xué)界兩千多年的說謊者悖論及其具有“矛盾等價(jià)式”特征的一部分邏輯悖論，終于有了一個(gè)合理而又徹底的解釋。

人們之所以對(duì)“S既是A又是非A”這樣的語句不能接受，其根源就在于根深蒂固、潛移默化的二值思維在作怪。想當(dāng)然地以為二分法總是百分之百地能夠?qū)嵤?；想?dāng)然地以為一個(gè)母項(xiàng)通過二分法得到的兩個(gè)子項(xiàng)之間的界限必然是清晰而明確的，不可能具有絲毫的模糊性；想當(dāng)然地認(rèn)為在“真”和“不真”之間是絕對(duì)不可能出現(xiàn)像“非真非不真”的真值間隙或“既真又不真”的真值重合這樣的第三者；想當(dāng)然地認(rèn)為“是A”和“非A”的關(guān)系一定是矛盾關(guān)系，而絕對(duì)沒有可能會(huì)成為上反對(duì)關(guān)系或下反對(duì)關(guān)系；一句話，人們總是想當(dāng)然地以為二值原則總是時(shí)時(shí)事事處處有效，是具有普適性的，因而堅(jiān)決地貫徹和執(zhí)行所謂的“無矛盾原理”。雖然在99%以上的情況下，這樣的想法是對(duì)的。但通過我們?cè)诖苏归_的認(rèn)真細(xì)致的對(duì)二分法具體操作步驟的邏輯分析，在某個(gè)角落里竟然發(fā)現(xiàn)了可能性極其微小的兩個(gè)例外，這充分地說明二分法并非100%地可以實(shí)施，也說明在是和非之間并非絕對(duì)地就是矛盾關(guān)系，而有可能會(huì)出現(xiàn)極為罕見的一個(gè)遺漏和一個(gè)重疊。于是，就使得二分法在這種特例下無法正常實(shí)施，從而導(dǎo)致了二值原則普適性的失效，也因此使得具有“矛盾等價(jià)式”特征的邏輯悖論長(zhǎng)期得不到一個(gè)合理的解釋。可以說，這是幾千年來在邏輯學(xué)中從來沒有被注意到的一個(gè)非常隱蔽的疏忽。

情況是不是真的如此？期待學(xué)界各位專家老師以及同道和讀者朋友們的確認(rèn)。

如果能夠得到肯定的回答，那么，就會(huì)得出如下的兩個(gè)結(jié)論：

第一，邏輯悖論的產(chǎn)生，是因?yàn)樵谝环N罕見的特例下，由二分法無法實(shí)施、二值原則失效的前提下所導(dǎo)致的。因此，如果要在嚴(yán)格遵守二值原則的邏輯框架下來分析悖論，企圖在形式系統(tǒng)中給出邏輯悖論的一攬子解決方案，是不可能的。不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中。因此要跳出圈外來看問題（[10]，第32頁），才能找出問題的癥結(jié)所在。這個(gè)結(jié)論和哥德爾不完全性定理是暗合的（窮盡可能、必然性對(duì)應(yīng)于完全性，二值原則、無矛盾性對(duì)應(yīng)于一致性）；

第二，在哲學(xué)上，實(shí)在論和反實(shí)在論在邏輯問題上的一個(gè)爭(zhēng)論焦點(diǎn)是：堅(jiān)守或者放棄二值原則和排中律。（[2]，第5–6頁）現(xiàn)在通過對(duì)二值原則普適性失效特例的發(fā)現(xiàn)，或許可以得出這樣的結(jié)論：哲學(xué)上實(shí)在論和反實(shí)在論的爭(zhēng)論，至少從邏輯層面上，應(yīng)該可以告一段落了（實(shí)在論觀點(diǎn)對(duì)應(yīng)于二值原則有效的大多數(shù)情況，反實(shí)在論的主張則對(duì)應(yīng)于二值原則失效的特例）。

[1]S.Haack,1978,Philosophy of Logics,Cambridge:Cambridge University Press.

[2]陳波，“實(shí)在論和反實(shí)在論的邏輯態(tài)度”，湘潭師范師院學(xué)報(bào)，1999年，第5期，第5–9頁。

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[6]劉曉力，“哥德爾定理及其哲學(xué)義蘊(yùn)”，現(xiàn)代科學(xué)的哲學(xué)爭(zhēng)論，2003年，北京：北京大學(xué)出版社，第36–48頁。

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