楊海波

武漢理工大學(xué)政治與行政學(xué)院yanghaibo112@qq.com

1 《算術(shù)的基本規(guī)律》中的邏輯理論FL

弗雷格《算術(shù)的基本規(guī)律》中的邏輯理論本質(zhì)上是如下帶有完整二階存在概括規(guī)則的二階邏輯加上函數(shù)外延存在公理、函數(shù)相等公理、函數(shù)外延相等公理等三條非邏輯公理（即著名的弗雷格的公理V）的二階理論FL：

FL語言的初始符號(hào)：

1.指示個(gè)體的變?cè)簒,y,z,x1,y1,z1,...；

2.指示性質(zhì)或關(guān)系（仿照弗雷格，我們也把性質(zhì)與關(guān)系稱為以真假為函數(shù)值的函數(shù)）的變?cè)篜,F,R,P1,F1,R1,...（對(duì)每個(gè)n，都有無窮多個(gè)n元函數(shù)變?cè)?。其?shí)為證明休謨?cè)瓌t進(jìn)而發(fā)展算術(shù)弗雷格只需要一元概念與二元關(guān)系變?cè)?/p>

3.外延算子：?；

4.通常的真值聯(lián)結(jié)詞、量詞與等詞；

FL的項(xiàng)與公式的定義：

1.個(gè)體變?cè)琼?xiàng)；

2.如果t1,t2是項(xiàng)，則t1=t2是公式；

3.如果F與Q是函數(shù)符號(hào)，則F=Q是公式；

4.如果F是n元（性質(zhì)與關(guān)系）函數(shù)符號(hào)，t1,t2,...,tn是項(xiàng)，則F(t1,t2,...,tn)是公式；

5.設(shè)F是（性質(zhì)與關(guān)系）函數(shù)符號(hào)，則?F是項(xiàng)；

6.如果φ,ψ是公式，則(φ∧ψ),(φ∨ψ),(φ→ψ),(φ?ψ),?φ都是公式；

7.設(shè)x是個(gè)體變?cè)?，φ是任意公式，則?xφ是公式（?xφ是??xφ的縮寫）；

8.設(shè)F是函數(shù)變?cè)?，φ是任意公式，則?Fφ是公式（?Fφ是??F?φ的縮寫）；

9.除此之外沒有其它的項(xiàng)與公式。

FL的公理系統(tǒng)：

FL的公理系統(tǒng)為常見的帶等詞的一階公理化邏輯系統(tǒng)加上如下公理與規(guī)則：

1.二階全稱例示公理：?Fφ(F)→φ(P)，其中P對(duì)φ中的F是代入自由的。（其中，P與F是函數(shù)變?cè)?hào)，由這條公理，我們可以得到簡(jiǎn)單的二階存在引入規(guī)則，即如果φ(P)是定理，則?Fφ(F)也是定理，其中P對(duì)φ中的F是代入自由的。這條公理對(duì)應(yīng)于弗雷格明確給出的二階全稱例示公理。）

2.完整的二階存在概括公理：如果F不在φ(x1,x2,...,xn,y1,y2,...,ym)(m≥0,n≥1)中自由出現(xiàn)，則

是系統(tǒng)的定理。（弗雷格用帶二階量詞的公式代換函數(shù)變?cè)?，這實(shí)質(zhì)等價(jià)于肯定了完整的二階存在概括規(guī)則。參見[8]，第40–43頁。）

3.函數(shù)或概念相等的公理組：?P?F(P=F??x(Px?Fx))（二元函數(shù)的公理為：?P?F(P=F??x?y(Pxy?Fxy))，多元函數(shù)變?cè)那闆r相似。二階邏輯中，等號(hào)與規(guī)范等號(hào)的公理不必是初始的，也可以通過定義引進(jìn)來。）

4.函數(shù)外延存在公理：?P?x(x=?P)。（弗雷格在語言中引進(jìn)了一個(gè)外延算子，這個(gè)算子作用于任何一個(gè)函數(shù)后得到這個(gè)函數(shù)的域值（或圖）。這相當(dāng)于在語義中假設(shè)了每個(gè)函數(shù)都有一個(gè)外延。我們用這條公理把這個(gè)假設(shè)明確地說出來。）

5.函數(shù)外延相等公理：?P?F((?P= ?F)? ?x(Px? Fx))（二元函數(shù)的公理為：?P?F(?P= ?F)? ?x?y(Pxy? Fxy))，多元函數(shù)變?cè)那闆r相似）。（這條公理即弗雷格的公理V。）

6.二階全稱概括公理：如果φ(F)是定理，則?Fφ(F)也是定理。

根據(jù)二階存在概括公理，如果F不在φ(x1,x2,...,xn,y1,y2,...,ym)中自由出現(xiàn)，則?F?x1···xn(F(x1···xn,y1,y2,...,ym)? φ(x1,x2,...xn,y1,y2,...,ym)是系統(tǒng)定理。再根據(jù)函數(shù)相等公理，可知

是系統(tǒng)定理。進(jìn)而我們可以擴(kuò)張語言，相應(yīng)于每一個(gè)形如φ(x1,x2,...,xn,y1,y2,...,ym)的公式，我們引入一函數(shù)符號(hào)，不妨記為λ(z1,z2,...,zn)φ(z1,z2,...,zn,y1,y2,...,ym)，用

作為新引進(jìn)的函數(shù)的定義公理。當(dāng)然同一公式可能有不同函數(shù)與其對(duì)應(yīng)，但根據(jù)函數(shù)相等公理，我們能夠證明對(duì)應(yīng)于同一公式的不同函數(shù)相等。由于

由新函數(shù)的定義公理與全稱例示公理有如下λ-變換規(guī)則：

而對(duì)于這個(gè)擴(kuò)張后的語言的每個(gè)形如λ(z1,z2,...,zn)φ(z1,z2,...,zn,y1,y2,...,ym)的函數(shù)，相應(yīng)的擴(kuò)展形成規(guī)則5，我們可以得到相應(yīng)的個(gè)體?λ(z1,z2,...,zn)φ(z1,···,zn,y1,y2,...,ym)。

從語法上講，上述邏輯理論FL會(huì)產(chǎn)生羅素悖論。

考慮公式?F(y=?F∧Fx)，由上面的討論可知有概念λ(x,y)(?F(y=?F∧Fx))符合相應(yīng)的定義公理，不妨記此概念為x∈y；仿照弗雷格，我們先來論證Fx?x∈?F是系統(tǒng)的定理，其中F是函數(shù)變?cè)?hào)。（[3]，附錄I，第123頁）假設(shè)Fx，由于?F= ?F，進(jìn)而有?F= ?F∧Fx，由簡(jiǎn)單的存在引入規(guī)則，可有?P(?F= ?P∧Px)，即x∈?F。再假設(shè)x∈?F，按屬于定義有概念P使得?F=?P且Px，再由外延相等公理可得Fx。由于上述論證中只使用了簡(jiǎn)單的邏輯規(guī)則，故上述論證可在FL中形式化，從而Fx?x∈?F是系統(tǒng)的定理。接下來，我們考慮羅素悖論如何推出。

由于可以推演出羅素悖論，弗雷格曾在《算術(shù)的基本規(guī)律》第二卷的附錄II中對(duì)公理V做了一定的限制，但后人證明，弗雷格的修改是不成功的。（[7]，第76–77頁）

2 在FL中發(fā)展算術(shù)

下面我們概要地考察弗雷格如何在FL中發(fā)展算術(shù)。弗雷格要做的是在FL中定義算術(shù)的基本概念以及推出算術(shù)的基本定理。為此弗雷格首先給出了概念間等數(shù)、概念的數(shù)的定義，然后給出了休謨?cè)淼淖C明。

設(shè)F,G是一元函數(shù)，定義F ≈ G=df?R(?x?!yRxy∧?x?!yRyx∧?x(Fx→?y(Gy∧Rxy)∧?x(Gx→?y(Fy∧Ryx))。在帶完整二階存在概括規(guī)則的二階邏輯下，容易給出函數(shù)之間的≈關(guān)系是等價(jià)關(guān)系的語法證明。在《算術(shù)基礎(chǔ)》（[4]，第85頁）中，弗雷格把一個(gè)函數(shù)的數(shù)定義為此函數(shù)的≈等價(jià)類。換言之，若用#F表示概念或函數(shù)F的數(shù)，則#F={G|F≈G}。由于在《算術(shù)的基本定律》中明確地給出外延存在公理，以及外延相等公理，使得弗雷格可以把函數(shù)用其外延來替代，進(jìn)而把函數(shù)的數(shù)定義為與其≈等價(jià)的函數(shù)的外延的類。用#F表示概念F的數(shù)，弗雷格給出的顯定義為：#F=df?λy?P(y=?P∧F≈P)。換言之，概念F的數(shù)是一階概念λy?P(y=?P∧F≈P)的外延，而一個(gè)對(duì)象落入一階概念λy?P(y=?P∧F≈P)當(dāng)且僅當(dāng)它是某個(gè)與概念F等勢(shì)的概念的外延。

根據(jù)概念的數(shù)的顯定義與函數(shù)的外延相等公理可以得到所謂的休謨?cè)瓌t：#F=#G?F≈G。

假設(shè)#F=#G，由#的定義有?λy?P(y= ?P∧F ≈ P)= ?λy?P(y= ?P∧G ≈P)，根據(jù)函數(shù)外延相等公理知道 ?x(λy?P(y= ?P ∧F ≈ P)x ? λy?P(y=?P∧G ≈ P)x)。由變換定理有 ?y(?P(y= ?P ∧F ≈ P)? ?P(y= ?P ∧G ≈ P))，而?F=?F且F ≈F，從而有?P(?F=?P∧G≈P)，不妨以P做存在例示，據(jù)外延相等公理，由?F=?P得到?x(Px?Fx)，從而可用F置換G≈P中的P，得到F≈G。

假設(shè)F ≈ G且并非#F=#G，由#的定義有 ?λy?P(y= ?P ∧F ≈ P)?=?λy?P(y= ?P ∧G≈P)，進(jìn)而由函數(shù)外延相等公理有 ?x((λy?P(y=?P ∧F ≈P)x∧ ?λy?P(y= ?P ∧ G ≈ P)x)∨ (?λy?P(y= ?P ∧ F ≈ P)x∧ λy?P(y=?P∧G ≈ P)x))。不妨只考慮?x(λy?P(y= ?P∧F ≈ P)x∧?λy?P(y= ?P∧G ≈P)x))情況，用z來做存在的例示，據(jù)變換定理有?P(z=?P∧F≈P)∧??P(z=?P∧G≈P))，不妨設(shè)z=?Q∧F≈Q，再由假設(shè)F≈G，可得z=?Q∧Q≈G，矛盾于??P(z=?P∧G≈P))，進(jìn)而#F=#G。

在用函數(shù)外延相等公理與概念的數(shù)的顯定義證明休謨?cè)瓌t后，弗雷格進(jìn)一步地定義了廣義的數(shù)、0、后繼與自然數(shù)的形式定義，并推理出了常見的戴德金皮亞諾公理。但不幸的是，上述FL是不一致的。

回顧系統(tǒng)FL，它只是在帶完整二階存在概括規(guī)則的基礎(chǔ)上加上了外延存在公理與函數(shù)外延相等公理（即上述FL的公理4與5）。若拋棄外延存在公理與函數(shù)外延相等公理，進(jìn)而拋棄利用函數(shù)的外延來定義的概念的數(shù)的顯定義，而加入休謨?cè)瓌t作為公理，這就足以推理出戴德金皮亞諾公理，并且只加入休謨?cè)瓌t作為非邏輯公理的的二階理論是一致的。在1983年，Wright注意到僅利用休謨?cè)瓌t與二階邏輯好像不足以推出羅素悖論，并指出，用休謨?cè)瓌t就足以推出二階Peano算術(shù)，即休謨?cè)瓌t加上二階邏輯蘊(yùn)涵皮亞諾公理。（[5]）Boolos也稱此為弗雷格定理。人們把休謨?cè)瓌t加上二階邏輯這個(gè)理論稱為弗雷格算術(shù)（FA）。Wright同時(shí)也猜測(cè)弗雷格算術(shù)是一致的。（[5]，第154–158頁）Boolos在1987年《弗雷格算術(shù)基礎(chǔ)的一致性》一文中肯定了Wright的猜想，給出了一致性的證明。（[1]）在國(guó)內(nèi)，徐明明先生曾較早地概要性地介紹過這一具有重要意義的成果。（[6]）

3 弗雷格算術(shù)FA是一致的

FA的語言與公理系統(tǒng)：

1.去掉上述FL中的外延符號(hào)?，進(jìn)而去掉項(xiàng)的形成規(guī)則5：設(shè)F是函數(shù)符號(hào)，則?F是項(xiàng)。只保留一元概念變?cè)c二元關(guān)系變?cè)?，去掉三元以及以上的函?shù)變?cè)?/p>

2.加入一元性質(zhì)常量符號(hào)：#；加入項(xiàng)的形成規(guī)則：如F是一元性質(zhì)（或概念）符號(hào)，#F（直觀代表概念F的數(shù)）是項(xiàng)。

3.加入原子公式形成規(guī)則：#F=#G是原子公式。

4.去掉FL中的公理4與5，加入休謨?cè)瓌t作為唯一非邏輯公理：#F=#G?

F≈G。其中，“G≈F”意為概念G與F等勢(shì)，有通常的二階定義式：?R(?x(Fx → ?!y(Gy∧Rxy))∧ ?y(Gy → ?!x(Fx∧Rxy)))。

定理1 FA是一致的。

證明:令結(jié)構(gòu)M= 〈U,?(U×U),P(U),s〉，其中，U={0,1,2,...,?0}，?0是最小的無窮基數(shù)，(U)是指U的冪集；s是(U)到U的函數(shù)，且對(duì)每個(gè)U的子集V或V ∈(U)，s(V)=|V|，其中|V|是指V 的基數(shù)；由于?0∈ U，函數(shù)s是全函數(shù)，令函數(shù)s為FA中唯一非邏輯函數(shù)常量符號(hào)?的解釋。結(jié)構(gòu)M上的任意變?cè)概搔覍?duì)每個(gè)一元概念變?cè)狥，σ(F)∈ ?(U)；且對(duì)每個(gè)二元關(guān)系變?cè)猂，σ(R)∈ ?(U×U)；對(duì)每個(gè)概念變?cè)狥，σ(#F)=s(σ(F))=|σ(F)|∈U。從而對(duì)每一元概念變?cè)狥與G：σ(#F=#G)為真當(dāng)且僅當(dāng)s(σ(F))=s(σ(G))當(dāng)且僅當(dāng)|σ(F)|=|σ(G)|當(dāng)且僅當(dāng)σ(F ≈ G)為真，即公式：?R(?x(Fx → ?!y(Gy∧Rxy))∧?y(Gy → ?!x(Fx∧Rxy)))在變?cè)概搔蚁碌闹禐檎?，?jiǎn)言之，σ(#F=#G)為真當(dāng)且僅當(dāng)σ(F≈G)為真，從而休謨?cè)瓌t在結(jié)構(gòu)M上的任意指派下都為真，進(jìn)而休謨?cè)瓌t在M中為真，即休謨?cè)瓌t與二階邏輯是一致的。 □

4 戴德金皮亞諾公理的證明

二階的戴德金皮亞諾公理系統(tǒng)包含如下5條非邏輯公理：

1.0是自然數(shù)，符號(hào)表示為：Num(0)；

2.每個(gè)自然數(shù)都有唯一的后繼且是自然數(shù)，符號(hào)表示為：?x(Num(x)→ ?!y(Num(y)∧ Sxy))；

3.0不是任何自然數(shù)的后繼，符號(hào)表示為：?x(Num(x)→?Sx0)；

4.后繼函數(shù)是單射，符號(hào)表示為：?x?y?z(Num(x)∧Num(y)∧Num(z)∧Sxy∧Szy → x=z))；

5.數(shù)學(xué)歸納法原則，即：?F((?x?y(F(x)∧Sxy → F(y))∧F(0))→ ?x(Num(x)→F(x)))。

算術(shù)基本概念的定義：

再考慮公式?P(x=#P)，根據(jù)上述對(duì)完整二階存在概括公理與函數(shù)相等公理的討論，有函數(shù)常量λx?P(x=#P)滿足相應(yīng)的定義公理。為方便，我們把此函數(shù)常量簡(jiǎn)記為N，Nx意在表示x是一個(gè)數(shù)。類似地，我們可以引進(jìn)如下函數(shù)或關(guān)系常量：

·Nx?λx?P(x=#P)x（x是廣義的數(shù)，包括無窮數(shù)）；（[4]，第72節(jié)）

·0：#λx(x ?=x)（0 的定義）；（[4]，第 74 節(jié)）

·Sxy? λ(x,y)?P?u(y=#P ∧Pu∧x=#λv(Pv∧v?=u))xy（y是x后繼關(guān)系）；（[4]，第 76節(jié)）

·S?xy ? λ(x,y)?P((?u?v(Pu∧Suv → Pv)∧ ?u(Sxu → Pu)→ Py))xy（x＜y或x是y的真祖先）；（[2]，第60頁）

·Num(x)?λx(S?0x∨x=0)x（x是自然數(shù)或有窮數(shù)）。（[4]，第83節(jié)）

在祖先關(guān)系定義中，?u?v(Pu∧Suv→Pv)是說P相對(duì)于S是一個(gè)遺傳性質(zhì)。這個(gè)定義是說：S?ab當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何的遺傳性質(zhì)，如果x的每一后繼具有它，那么y就具有。關(guān)系S?是后繼關(guān)系S的傳遞閉包，當(dāng)S?ab成立時(shí)，我們也說a是b的R真祖先。直觀上，S?ab成立當(dāng)且僅當(dāng)有一條經(jīng)過a且只通過有窮多點(diǎn)的到達(dá)b的通路。由于我們定義了什么是數(shù)（即上述定義中的Nx，可以包括自然數(shù)與無窮數(shù)），定義了0與單值性的后繼關(guān)系S，那么定義x是一個(gè)自然數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)S?0x或x=0，也就是直觀上從0開始走有窮步可到達(dá)x，進(jìn)而排除了無窮數(shù)。這樣，什么是自然數(shù)或有窮數(shù)（上述定義中的Num(x)）就定義出來了。利用休謨?cè)瓌t、λ-變換規(guī)則與上述幾個(gè)定義，可以推出戴德金皮亞諾系統(tǒng)的五條公理，這也即所謂的弗雷格定理。我們下面概要地勾勒出這幾個(gè)公理在FA中的證明。

定理2 戴德金皮亞諾公理5是系統(tǒng)FA的定理。

證明:上述的自然數(shù)的定義就足以保證數(shù)學(xué)歸納法原則是成立的。假設(shè)性質(zhì)P是遺傳的，即滿足：?x?y(P(x)∧Sxy→P(y))，且0具有性質(zhì)P，我們來證明?x(Num(x)→F(x))。若x=0，由假設(shè)知0具有P，若S?0x，由P相對(duì)于關(guān)系S是遺傳的，且由于0有性質(zhì)P，進(jìn)而0的后繼都有P，根據(jù)S?0x的定義知道所有的自然數(shù)都有性質(zhì)P，從而數(shù)學(xué)歸納法則成立。 □

定理3 戴德金皮亞諾公理3是系統(tǒng)FA的定理。

證明概要：利用“0”的定義、休謨?cè)瓌t與“≈”的定義即可直接證明引理1：#F=0? ?x?Fx是成立的。（[4]，第75節(jié)）這條引理是在說概念F的數(shù)為0當(dāng)且僅當(dāng)沒有個(gè)體落在其下。在這條定理的基礎(chǔ)上，我們?nèi)菀卓闯?Sx0成立，進(jìn)而得到上述的戴德金皮亞諾公理3，即0不是任何自然數(shù)的后繼，符號(hào)表示為：?x(Num(x)→ ?Sx0)。

定理4 戴德金皮亞諾公理4是系統(tǒng)FA的定理。

證明概要：利用后繼關(guān)系“S”的定義、休謨?cè)瓌t、“≈”的定義與λ-變換規(guī)則即可直接證明引理2：Smn∧Sm′n′→ (m=m′? n=n′)是成立的。（[4]，第78節(jié)）這條定理是在說直接后繼關(guān)系S是一一對(duì)應(yīng)的。這樣，我們就可以直接得到上述的戴德金皮亞諾公理4，即后繼函數(shù)S是單射，用先前的符號(hào)可以表示為：?x?y?z(Num(x)∧Num(y)∧Num(z)∧Sxy∧Szy → x=z))。

定理5 戴德金皮亞諾公理1是系統(tǒng)FA的定理。

證明:根據(jù)自然數(shù)Num(x)的定義即：S?0x∨x=0，因0=0，所以0是自然數(shù)，即上述的戴德金皮亞諾公理1成立。 □

這樣，我們并不太費(fèi)力地就得到了皮亞諾四條公理。麻煩的是后繼存在公理：?x(Num(x)→ ?!y(Num(y)∧Sxy))。我們?cè)谏厦嫣岬?，我們可以證明：Smn∧Sm′n′→(m=m′?n=n′)，進(jìn)而唯一性容易得到。下面我們勾勒出后繼存在性的證明。

我們不妨定義x≤y?dfS?xy∨x=y。

引理3: Sxy→S?xy（直接后繼關(guān)系蘊(yùn)含真祖先關(guān)系）。（[2]，第66頁）

引理4: S?xy∧S?yz→S?xz（真祖先關(guān)系是傳遞的）。（[2]，第69頁）1引理3、4的證明略。

引理5: S?xn→(?ySyn∧?m(Smn→(S?xm∨x=m)))

（若x＜n，則n一定有前驅(qū)m，且x＜m或x=m）。

證明:假設(shè)S?xn，由S?的定義知?F(?x?y(Fx∧Sxy→Fy)∧?z(Sxz→Fz)→ Fn)成立。令F= λz（?ySyz∧?m(Smz → (S?xm∨x=m))）。在S?xn的假設(shè)下，容易驗(yàn)證上述F是遺傳的，即若Fv∧Svy，則Fy，即?mSmy∧?m(Smy→(S?xm∨x=m))。下面證明x的直接后繼具有性質(zhì)F；假設(shè)Sxz，由存在引入規(guī)則知?mSmz。假設(shè)Smz，由引理2知m=x，繼而S?xm∨x=m成立。從而?mSmy∧?m(Smy→(S?xm∨x=m))，即Fz成立。由S?的定義、F是遺傳的與x的后繼具有性質(zhì)F，我們知道Fn成立，即(?ySyn∧?m(Smn→(S?xm∨x=m)))成立。 □

引理6: S?0n→?S?nn（任何自然數(shù)都不是自己的直接后繼）。（[4]，第83節(jié)）

證明:仿照上一引理的證明，假設(shè)S?0n，我們令F=λm(?S?mm），然后驗(yàn)證F是遺傳的（利用引理3、4與5），并且0的后繼具有性質(zhì)F（利用引理1、3、4與5），進(jìn)而我們得到n具有性質(zhì)F，即?S?nn。 □

引理7: Smn∧S?0n→ ?x(x≤m?x≤n∧xn)。

證明:利用引理3、4、5與6即可直接證明。 □

引理8: Smn∧S?0n → S#λx(x≤ m)#λx(x≤ n)。

證明:假設(shè)Smn∧S?0n，由引理7知道，?x(x≤ m ? x≤ n∧xn)成立，進(jìn)而可以證明λx(x≤ m)≈ λx(x≤ n∧xn)，根據(jù)休謨?cè)瓌t，知道#λx(x ≤ m)=#λx(x ≤ n ∧xn)。令 F= λx(x ≤ n)，知道 #F=#λx(x ≤n)，由λ-變換規(guī)則可知Fn成立，并且由#λx(x≤ m)=#λx(x≤ n∧xn)成立知道 #λx(x ≤ m)=#λx(Fx∧xn)成立，進(jìn)而 ?F?y(Fy∧#λx(x ≤n)=#F∧#λx(x≤m)=#λx(Fx∧xy))成立，從而根據(jù)后繼S的定義知道S#λx(x ≤ m)#λx(x ≤ n)成立。 □

引理9: Syz→ (0≤ y∧Sy#λx(x≤ y)→ (0≤ z∧Sz#λx(x≤ z)))。（[4]，第82節(jié)）

證明:利用引理3、4與8即可直接證明。 □

引理 10: S0#λx(x ≤ 0)。（[4]，第 82 節(jié)）

證明:利用引理1、5、上述皮亞諾公理3與S的定義直接可以證明。 □

引理11: 0≤n→(0≤n∧Sn#λx(x≤n))。

證明:假設(shè)0≤n，由“≤”的定義知S?0n∨0=n。

·若0=n，由引理10知S0#λx(x≤0)，繼而顯然有(0≤n∧Sn#λx(x≤n))

·若S?0n，根據(jù)S?的定義有?F(?x?y(Fx∧Sxy→ Fy)∧?x(S0x→ Fx)→Fn)。

令F=λn(0≤n→(0≤n∧Sn#λx(x≤n)))。設(shè)S0z，顯然有0≤0，根據(jù)引理10有S0#λx(x≤0)，根據(jù)引理9有S0z→(0≤0∧S0#λx(x≤0)→(0≤z∧Sz#λx(x≤ z)))，繼而有0≤ z∧Sz#λx(x≤ z)，進(jìn)而可得Fz。這就證明了0的后繼都具有F性質(zhì)，即?x(S0x→Fx)。假設(shè)Fm與Smy根據(jù)F的定義與引理9可得Fy，即F是遺傳的。根據(jù)S?的定義、F是遺傳的以及0的后繼都具有F性質(zhì)，可知Fn，即(0≤n∧Sn#λx(x≤n))。這樣，0≤n→(0≤n∧Sn#λx(x≤ n))是系統(tǒng)FA的定理。 □

定理6 戴德金皮亞諾公理2：?x(Num(x)→?!y(Num(y)∧Sxy))是系統(tǒng)FA的定理。

證明:根據(jù)與Num(n)的定義，可知0≤n當(dāng)且僅當(dāng)Num(n)，所以引理11就證明了后繼的存在性，即Sn#λx(x≤n)，而后繼的唯一性由引理2得以保證，這樣我們就證明了上述的戴德金皮亞諾公理2。 □

這樣，我們就證明了戴德金皮亞諾的五條公理都是弗雷格算術(shù)FA的定理。后繼存在定理與后繼關(guān)系是一一的就保證了理論FA承諾了無窮多數(shù)的存在。直觀上，弗雷格首先定義了0?？紤]“x≤0”這個(gè)公式，根據(jù)二階存在概括規(guī)則，對(duì)應(yīng)于這個(gè)公式存在概念λx(x≤0)?？梢宰C明這個(gè)概念的數(shù)是0的后繼。不妨把這個(gè)數(shù)稱為1，那么對(duì)應(yīng)于“x=0∨x=1”這個(gè)公式，根據(jù)二階存在概括規(guī)則，對(duì)應(yīng)于這個(gè)公式存在概念λx(x=0∨x=1)?？梢宰C明這個(gè)概念的數(shù)是1的后繼。以此類推。一般地，利用弗雷格的自然數(shù)的定義，我們實(shí)質(zhì)上用數(shù)學(xué)歸納法證明了，如果y是一個(gè)自然數(shù)，即Num(y)，那么概念λx(S?xy∨x=y)的數(shù)就是y的后繼。這樣弗雷格的理論蘊(yùn)含著存在無窮多（概念的）數(shù)。

5 小結(jié)

回顧上述兩個(gè)邏輯理論FL與FA，F(xiàn)A拋棄了FL的函數(shù)外延相等公理、函數(shù)外延存在公理，而是把FL的定理休謨?cè)瓌t當(dāng)做唯一的非邏輯公理，進(jìn)而FA是FL的子理論。FA是一致的，并且足以解釋戴德金皮亞諾公理系統(tǒng)。FL是不一致，可以推演出羅素悖論。從語義上講，由于二階邏輯在只有一個(gè)個(gè)體的模型下也可以是可靠的，標(biāo)準(zhǔn)算術(shù)理論要求存在無窮個(gè)體對(duì)象存在，進(jìn)而單獨(dú)的只帶完整二階存在概括規(guī)則的二階邏輯太弱，并不能發(fā)展出算術(shù)。在二階邏輯的標(biāo)準(zhǔn)語義學(xué)下，二階量詞的取值范圍是一階個(gè)體域的冪集，每個(gè)一元謂詞都被賦值一個(gè)個(gè)體域的子集。外延存在公理是說每個(gè)函數(shù)或概念都有一個(gè)外延；函數(shù)相等公理與外延相等公理放在一起是說函數(shù)（或概念）與函數(shù)的外延是一一對(duì)應(yīng)的，即不相等的函數(shù)有不同的外延，不同的外延對(duì)應(yīng)于不同的函數(shù)；再考慮到FL語言形成規(guī)則5：設(shè)F是函數(shù)符號(hào)，則?F是項(xiàng)，這條規(guī)則是在說函數(shù)外延是個(gè)體對(duì)象。因此，把這四條原則放在一起并要同時(shí)為真的話，一定要求存在一個(gè)從個(gè)體域的冪集到個(gè)體域的單射，而這矛盾于康托定理，進(jìn)而FL是不可滿足的。

通過仔細(xì)考察弗雷格的邏輯系統(tǒng)以及算術(shù)還原為邏輯的推理過程，可以看出弗雷格在用公理五與概念的數(shù)的顯定義推演出休謨?cè)瓌t后，就不再實(shí)質(zhì)依賴于公理五與概念的數(shù)的顯定義，只需要休謨?cè)瓌t就足以推演出戴德金皮亞諾的五條公理，休謨?cè)瓌t與帶完整二階存在概括規(guī)則的二階邏輯是一致的，這實(shí)質(zhì)上給出了不同于皮亞諾公理系統(tǒng)的另外一種算術(shù)公理化系統(tǒng)。FA一致的且能夠解釋皮亞諾算術(shù)，這是一個(gè)有趣且重要的結(jié)果。數(shù)學(xué)家們對(duì)算術(shù)的研究可謂最為集中，他們給出了所謂戴德金——皮亞諾公理這個(gè)對(duì)自然數(shù)序列的范疇性的刻畫。而在弗雷格那里，我們有著自然數(shù)的不同的公理化FA。他的刻畫只依賴于所謂的休謨?cè)瓌t，而并不需要戴德金——皮亞諾的五條特殊的數(shù)學(xué)公理。戴德金——皮亞諾公理的得出依賴于我們對(duì)自然數(shù)序列的直觀分析，分析出五條公理。而弗雷格的公理化則完全不同，一些新弗雷格主義哲學(xué)家認(rèn)為這在解釋我們關(guān)于自然數(shù)知識(shí)的本性時(shí)候，特別是在解釋休謨?cè)瓌t何以為真時(shí)，我們或許不需要康德的時(shí)空直觀，而只依賴于“概念的數(shù)”概念的分析，從而休謨?cè)瓌t是分析性真理。但從另一個(gè)方面講，弗雷格的公理五蘊(yùn)含概念的外延存在；休謨?cè)瓌t蘊(yùn)含概念的數(shù)的存在；完整的二階存在概括公理蘊(yùn)含概念或關(guān)系的存在；而休謨?cè)瓌t加上完整二階存在概括公理蘊(yùn)含無窮多的個(gè)體對(duì)象（數(shù)）的存在。這些弗雷格所主張的原理都有存在意涵。一般認(rèn)為，有存在意涵的原理是不能夠僅僅根據(jù)語詞意義就為真的分析性真理，所以新弗雷格主義哲學(xué)家們對(duì)此問題仍需給出一個(gè)合理的說明或解釋。

[1]G.Boolos,1987,“The Consistency of Frege’s Foundations of Arithmetic”,reprinted in G.Boolos(1998),in J.Burgess and R.Jeffrey(eds.),Logic,Logic,and Logic,pp.183–201,Cambridge,MA:Harvard University Press.

[2]G.Frege,1879,“Begriffsschrift,a formula language,modeled upon that of arithmetic,for pure thought”,Reprinted in J.Van Heijenoort(eds.)(1967),From Frege to G?del:A Source Book in Mathematical Logic,1879–1931,pp.1–82,Cambridge,MA:Harvard University Press.

[3]G.Frege,1964,The Basic Laws of Arithmetic:Exposition of the System,Berkeley,Los Angeles:University of California Press.Translated,and edited with an introduction by Montgomery Furth.

[4]G.Frege,1953,The Foundations of Arithmetic,New York:Harper&Brothers Publishers,J.L.Austin(Trans.).Second revised edition.

[5]C.Wright,1983,Frege’s Conception of Numbers as Objects,Aberdeen:Aberdeen University Press.

[6]徐明明，“弗雷格定理的再發(fā)現(xiàn)、證明及其哲學(xué)意義”，自然辯證法通訊，2000年第2期，第 23–29頁。

[7]楊海波，“弗雷格的邏輯主義之路”，武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（人文科學(xué)版），2011年第3期，第69–77頁。

[8]楊海波，“弗雷格《概念文字》理解的兩點(diǎn)注記”，邏輯學(xué)研究，2012年第4期，第39–48頁。