崔建峰， 靳　鴻

(中北大學(xué) 計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院， 山西 太原 030051)

0　引言

頻率特性是“自動(dòng)控制原理”課程頻域部分的一個(gè)關(guān)鍵且基本的概念，具有很強(qiáng)的實(shí)際物理意義。對(duì)這一概念的清晰理解有助于學(xué)生后續(xù)頻域部分相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)與掌握。在眾多“自動(dòng)控制原理”課程的相關(guān)教材中，多數(shù)教材均將該知識(shí)點(diǎn)作為獨(dú)立小節(jié)進(jìn)行介紹，可見這一知識(shí)點(diǎn)的重要性[1-8]。

在頻率特性這一知識(shí)點(diǎn)的傳授過程中，筆者發(fā)現(xiàn)部分“自動(dòng)控制原理”教材中對(duì)這一概念存在著定義不準(zhǔn)確的問題，容易對(duì)學(xué)生后續(xù)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)與理解造成困惑[3-4,6-7]。本文將針對(duì)頻率特性定義展開較為詳細(xì)的討論。

1　頻率特性定義存在的問題

文獻(xiàn)[3]是我校計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院電氣工程與智能控制專業(yè)長(zhǎng)期選用的一本《自動(dòng)控制原理》教材，該教材在講述理論的同時(shí)側(cè)重于實(shí)際應(yīng)用，選材得當(dāng)，內(nèi)容詳實(shí)，主要用于工業(yè)電氣自動(dòng)化專業(yè)的教學(xué)。本文以該教材相關(guān)內(nèi)容為例來說明頻率特性定義存在的問題。

在文獻(xiàn)[3]第五章第一節(jié)的頻率特性基本概念講述部分中，是以RC電路一階慣性系統(tǒng)為例，指出對(duì)于正弦電壓輸入：

u1=U1msinωt

(1)

系統(tǒng)所產(chǎn)生的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)為

(2)

式中φ=-arctanτω。

并據(jù)此指出，“當(dāng)電路的輸入為正弦信號(hào)時(shí)，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(頻率響應(yīng))也是一個(gè)正弦信號(hào)，其頻率和輸入信號(hào)的頻率相同，但幅值和相角發(fā)生了變化，其變化取決于ω”；然后根據(jù)這一特征，進(jìn)一步提出若把輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和輸入正弦信號(hào)用復(fù)數(shù)表示，并求它們的復(fù)數(shù)比，可以得到

(3)

式中：

接著，給出頻率特性定義，“G(jω)是上述電路的頻率響應(yīng)與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比，稱為頻率特性”。

這種頻率特性定義也在文獻(xiàn)[4]、文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]及其它一些教材中得到采用。如果通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論推導(dǎo)，我們可以發(fā)現(xiàn)上述定義并不恰當(dāng)。

對(duì)于RC電路系統(tǒng)的正弦輸入信號(hào)式(1)的u1，通過歐拉公式可以得到其復(fù)數(shù)表示形式：

(4)

同理，可以得到輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)式(2)的u2的復(fù)數(shù)表示形式：

(5)

因此，電路頻率響應(yīng)與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比應(yīng)為：

(6)

顯然，式(6)與式(3)并不等價(jià)。因此，將頻率特性定義為系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比顯然是不恰當(dāng)?shù)?。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中根據(jù)教材推導(dǎo)理解物理現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)含義，將會(huì)形成較大的困惑，尤其在應(yīng)用輸入輸出函數(shù)形式求解系統(tǒng)頻率特性時(shí)，將可能得到錯(cuò)誤的系統(tǒng)頻率特性結(jié)果。

2　準(zhǔn)確的頻率特性定義方法

(7)

則頻率特性可以定義為系統(tǒng)正弦穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)的復(fù)數(shù)符號(hào)(復(fù)相量)與正弦輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)符號(hào)(復(fù)相量)之比。

通過該定義，我們就可以將輸入輸出信號(hào)的“復(fù)數(shù)符號(hào)”與數(shù)學(xué)中的“復(fù)數(shù)”定義進(jìn)行有效區(qū)分，從而使學(xué)生關(guān)注到頻率特性并不是輸入輸出信號(hào)數(shù)學(xué)意義上的復(fù)數(shù)比，而是有其特定的物理含義的，即針對(duì)特定信號(hào)(同頻率的正弦信號(hào))，通過采用更為簡(jiǎn)潔的記錄方法，將信號(hào)約定表征為一種復(fù)數(shù)符號(hào)后的復(fù)數(shù)符號(hào)(復(fù)相量)之比。系統(tǒng)頻率特性的實(shí)質(zhì)仍然是系統(tǒng)本身的傅里葉變換形式，頻域分析就是通過傅立葉變換反映出系統(tǒng)在頻域空間中的特征關(guān)系；但這種特征關(guān)系有著一定的物理意義，系統(tǒng)頻率特性中的“頻率”與物理可實(shí)現(xiàn)的正弦信號(hào)頻率保持著特定的聯(lián)系。如果再結(jié)合一般函數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)展開、傅立葉變換等概念，就使學(xué)生易于理解后續(xù)諸如轉(zhuǎn)折頻率、帶寬等頻域概念。

3　結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)部分“自動(dòng)控制原理”教材中的頻率特性概念進(jìn)行了分析與討論，指出了系統(tǒng)頻率特性并不是輸入輸出信號(hào)數(shù)學(xué)意義上的復(fù)數(shù)比，而是借用了電路理論的復(fù)數(shù)符號(hào)，然后針對(duì)同頻率正弦輸入輸出信號(hào)而定義的復(fù)數(shù)符號(hào)(復(fù)相量)比。相關(guān)內(nèi)容對(duì)進(jìn)一步提高有關(guān)教材的編著質(zhì)量與教學(xué)效果有積極作用。

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