伍愈文 向秋華

《三角形內(nèi)角和》是北師大版四年級下冊第二單元的教學(xué)內(nèi)容。教材中充分借助幾何直觀幫助學(xué)生探究三角形的內(nèi)角和：一是測量求和法；二是剪拼法；三是折拼法。這三種方法，無論哪一種，客觀上都是存在誤差的，不足以讓人相信。我們通過課前調(diào)查與訪談，發(fā)現(xiàn)有一部分學(xué)生知道“三角形的內(nèi)角和是180°”。知道的途徑一是家長或者同學(xué)的告知，二是看書或者通過網(wǎng)絡(luò)了解，三是之前認(rèn)識過三角尺，從它們?nèi)齻€內(nèi)角的度數(shù)知道，但對于為什么是180°，卻不明所以。

考慮到北師大版數(shù)學(xué)教材的編排是按照循序漸進、螺旋上升的原則進行的，即各冊的教科書、教科書各單元之間有著較為嚴(yán)密的知識體系和承接關(guān)系，我們設(shè)想：能不能結(jié)合學(xué)生的已有認(rèn)知，借助幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生去處理、體驗數(shù)學(xué)探索的嚴(yán)謹(jǐn)性？下面就以《三角形內(nèi)角和》的教學(xué)為例，談?wù)勥@方面的嘗試與思考。

已有認(rèn)知——引發(fā)直觀探索嚴(yán)謹(jǐn)性的源起

在四年級上冊第二單元《角的度量（二）》中，學(xué)生認(rèn)識了三角尺，知道了三角尺雖然大小不同，但只有兩種，每種三角尺上三個角的度數(shù)都是固定的，分別是：90°、60°、30°；90°、45°、45°?？紤]到學(xué)生的已有認(rèn)知，教師將《三角形內(nèi)角和》一課中的情境圖改為兩個直角三角形的爭吵：

究竟誰的內(nèi)角和大？學(xué)生略做思考，就有了準(zhǔn)確的判斷：兩個直角三角形的內(nèi)角和相等，是90°+60°+30°=90°+45°+45°=180°。是不是所有直角三角形的內(nèi)角和都是180°呢？一石激起千層浪，學(xué)生的探究欲望得到調(diào)動與激發(fā)。

已有認(rèn)知——奠定直觀探索嚴(yán)謹(jǐn)性的基礎(chǔ)

將學(xué)生分成四人小組，每組一個學(xué)具袋，袋中有3個大小不一的直角三角形，還有2個完全一樣的直角三角形。小組成員在小組長的組織下，開始了合作探索。

在《角的度量（二）》一課中，學(xué)生學(xué)習(xí)了量角的方法。他們很自然地想到了用量角器量出三個角的度數(shù)，然后加起來看是不是180°。由于誤差的存在，測量的數(shù)據(jù)很接近180°。

在四年級上冊《旋轉(zhuǎn)與角》一課中，學(xué)生認(rèn)識了平角，知道180°的角就是平角。于是，他們想到了將三角形的三個內(nèi)角撕下來，再把它們拼在一起，看能不能組成一個平角，探究過程如下圖：

同理，將三個角折起來拼在一起，能不能組成平角呢？他們想到了兩種折拼的方法，如下圖：

上述探究方法，是學(xué)生對已有認(rèn)知的理解與應(yīng)用，但是無可避免地誤差，對三角形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)帶來了一定的困擾。怎樣才能找到一種直觀的、沒有誤差的、學(xué)生又能理解的，還能幫助學(xué)生相信“三角形的內(nèi)角和是180°”的方法呢？

已有認(rèn)知——構(gòu)建直觀探索嚴(yán)謹(jǐn)性的工具

在四年級下冊《三角形分類》一課中，通過剪一剪的活動，學(xué)生明白了兩個完全一樣的直角三角形可以拼成長方形或者正方形。為了幫助學(xué)生突破迷惑，感悟直觀探索的嚴(yán)謹(jǐn)性，我們做了如下的教學(xué)嘗試：

師：同學(xué)們很能干，用自己的辦法研究了三角形的內(nèi)角和。淘氣的辦法和你們的不一樣（多媒體演示：兩個直角三角形分別從左、右兩邊飛入，并重合）。你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：這是兩個完全一樣的直角三角形。

師：很會觀察。（動畫演示：兩個三角形向左右分開）我們給除直角以外的四個角標(biāo)上數(shù)字序號。仔細(xì)觀察，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生2：∠1=∠4，∠2=∠3。

師：為什么？

生2：因為∠1和∠4重合，∠2和∠3重合。

（動畫演示：其中一個直角三角形通過旋轉(zhuǎn)、平移，與另一個直角三角形拼成長方形。）

師：現(xiàn)在，你們又有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：因為長方形的四個角都是直角，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°。由于∠1=∠4，∠2=∠3，所以∠1+∠2=∠3+∠4=180°÷2=90°?；疑切魏桶咨切蔚膬?nèi)角和都是90°+90°=180°。

師：那么任意一個直角三角形，它的內(nèi)角和又是多少呢？

生4：180°。

師（追問）：為什么？

生4：因為只要是兩個完全一樣的直角三角形，就可以拼出一個長方形或者正方形，而長方形和正方形的四個角都是直角，四個直角的和是360°。按照上面的推斷方法，就可以證明每一個直角三角形的內(nèi)角和都是360°的一半，也就是180°。

師：大家同不同意他的意見？

生（齊）：同意。

其實，在預(yù)設(shè)這個教學(xué)環(huán)節(jié)的時候，筆者心里很是糾結(jié)，因為“平行線之間，內(nèi)錯角相等”是七年級的學(xué)習(xí)內(nèi)容，如果滲透這個知識，既拔苗助長，又不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生理解難度很大。怎樣才能突破這個學(xué)習(xí)難點？琢磨了很久，直到想到兩個完全一樣的直角三角形重疊角的大小是相等的。事實證明，當(dāng)學(xué)生借助直觀推理得到直角三角形的內(nèi)角和時，他們的體驗和前三次的操作體驗是截然不同的，因為這次是篤信。

已有認(rèn)知——升華直觀探索嚴(yán)謹(jǐn)性的法寶

在堅信直角三角形的內(nèi)角和是180°的基礎(chǔ)上，又有了如下的教學(xué)片斷：

師：請一、二組的同學(xué)在草稿本上隨意地畫出一個鈍角三角形，三、四組的同學(xué)在草稿本上隨意地畫出一個銳角三角形，試試看能不能利用直角三角形的內(nèi)角和探究出鈍角三角形和銳角三角形的內(nèi)角和。

（學(xué)生獨立思考、探究。隨著時間的推移，學(xué)生們舉起的手越來越多。）

師：誰來與大家分享一下你的研究方法與結(jié)論？

生1：我研究的是鈍角三角形的內(nèi)角和。我將鈍角三角形分成了兩個直角三角形（展臺展示如下）。兩個直角三角形的內(nèi)角和是360°，但是那兩個直角不是鈍角三角形的內(nèi)角，所以要減掉，360°-180°=180°。

師：大家認(rèn)同他的方法嗎？

生2：認(rèn)同。這樣可以把一個任意的鈍角三角形分成兩個直角三角形，從而得出鈍角三角形的內(nèi)角和都是180°。

師：那銳角三角形的內(nèi)角和呢？

生3：和研究鈍角三角形的內(nèi)角和的方法是一樣的。將銳角三角形分成兩個直角三角形（展臺展示如下）。兩個直角三角形的內(nèi)角和是360°，減掉不是銳角三角形的內(nèi)角的兩個直角，也就是360°-180°=180°。

師：所以，你們的結(jié)論是——

生4：銳角三角形的內(nèi)角和都是180°。

生5：只要是三角形，它的內(nèi)角和就是180°。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究表明，兒童獲得一個數(shù)學(xué)概念的過程是以線形方式從動作表征到圖像表征，最后到符號表征的，而抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論總能找到相對直觀的表征與解釋。因此，幾何直觀不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好方法，更是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種思想。我們要充分考慮到學(xué)生的已有認(rèn)知，從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著眼，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，將幾何直觀的思想轉(zhuǎn)化成探索數(shù)學(xué)問題的有效工具，幫助學(xué)生體驗數(shù)學(xué)直觀探索的嚴(yán)謹(jǐn)性，逐步形成較強的幾何直觀意識與能力。

（作者單位：五峰土家族自治縣實驗小學(xué)）