時(shí)統(tǒng)業(yè),陳正義

(海軍指揮學(xué)院 信息系，江蘇 南京 211800)

0　引言和引理

著名的Hermite-Hadamard不等式[1]是凸函數(shù)理論中被廣泛研究的不等式之一，它是Jensen不等式的加細(xì)：

(1)

其中f是區(qū)間I上的凸函數(shù)，a，b∈I，a

有關(guān)不等式(1)的推廣和加細(xì)以及各種類(lèi)型凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式，可參閱文獻(xiàn)[2]．王良成給出式(1)的如下推廣：

定理1[3]設(shè)f是[a，b]上的連續(xù)凸函數(shù)，p∈(0，1)，ξ=pa+(1-p)b，則

(2)

引理1[4]設(shè)f(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù)，(a，b)I，則f(x)在(a，b)內(nèi)的各點(diǎn)處都存在左、右導(dǎo)數(shù)(從而處處連續(xù))，且對(duì)x，y∈(a，b)，x

定義1[5]設(shè)f：[a，b]R→R是連續(xù)函數(shù)，x∈[a，b]，則稱(chēng)

定義2[6]設(shè)f：[a，b]R→R是連續(xù)函數(shù)，x∈[a，b]，定義f的Riemann型q-積分為

由定義經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，對(duì)任意α∈R{-1}，x∈[a，b]，有下面公式[5]

(3)

引理2[7]設(shè)f，g：[a，b]R→R是連續(xù)函數(shù)，α∈R，則對(duì)任意x∈[a，b]有

引理3設(shè)f：[a，b]R→R是連續(xù)函數(shù)，則有

證由q-積分的定義得

引理4[8](q-Hermite-Hadamard不等式)設(shè)f：[a，b]R→R是連續(xù)凸函數(shù)，則有

(4)

當(dāng)q→1時(shí)，由式(4)得到式(1)．

當(dāng)q-導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值是凸函數(shù)時(shí)，文獻(xiàn)[9]給出由式(4)右端部分所產(chǎn)生的差式的估計(jì)．本文將給出式(1)的一個(gè)新的q模擬，使用的方法可見(jiàn)文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[8]．本文還仿照文獻(xiàn)[9]的方法，在q-導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值是凸函數(shù)、q-導(dǎo)數(shù)有界這兩種情況下，對(duì)由右端部分所產(chǎn)生的差式進(jìn)行估計(jì)．當(dāng)q→1時(shí)，得到已有文獻(xiàn)的結(jié)果．先引入下面記號(hào)：

f1(x)=f(pa+(1-p)x)，f2(x)=f(px+(1-p)b)，

Q(a,b;p,q;f)=

R(a,b;p,q;f)=

為證明本文的主要結(jié)果，需要下面q-積分的恒等式．

引理5設(shè)f：[a，b]→R是連續(xù)函數(shù)，aDqf在[a，b]上可積，則

(5)

證不妨設(shè)

由q-導(dǎo)數(shù)的定義有

于是有

由引理2得

又由引理3得

綜上所述，得

(6)

同理可得

(7)

注1設(shè)f是可微函數(shù)，在式(5)中令q→1得

1　主要結(jié)果

定理2設(shè)f：[a，b]→R是連續(xù)的凸函數(shù)，0

(8)

pa+(1-p)x=(1-λ(x))a+λ(x)b，px+(1-p)b=μ(x)a+(1-μ(x))b，

由凸函數(shù)的定義有

f(pa+(1-p)x)≤(1-λ(x))f(a)+λ(x)f(b)，

(9)

f(px+(1-p)b)≤μ(x)f(a)+(1-μ(x))f(b)，

(10)

對(duì)式(9)和式(10)中的x在[a，b]上求q-積分得

(11)

(12)

其中用到下面事實(shí)：利用引理2和公式(3)得

(13)

(14)

對(duì)式(13)、(14)中的x在[a，b]上求q-積分得

(15)

(16)

注2設(shè)f：[a，b]→R是連續(xù)的凸函數(shù)，在定理2中令p=1/2，q→1則有

q2|aDqg2(a)|+(1+q)|aDqg2(b)|]．

(17)

證由引理5及|aDqg1|和|aDqg2|的凸性得

由引理2和公式(3)得

同理可得

綜合以上結(jié)果，則式(17)得證．

注3在定理3中令q→1，則由式(17)得到下面梯形不等式[10]：

定理4設(shè)f：[a，b]→R是連續(xù)函數(shù)，函數(shù)g1(x)和g2(x)的定義同定理3，0

aDqg2在[a，b]上可積，且存在常數(shù)m1，M1，m2，M2，使得m1≤aDqg1≤M1，m2≤aDqg2≤M2，則有

(18)

證因?yàn)閙1≤aDqg1≤M1，m2≤aDqg2≤M2，由引理5得

式(18)的右端部分得證．同理可證式(18)的左端部分．

參考文獻(xiàn)：

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