徐浩

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，與其他知識(shí)的結(jié)合自然且靈活多變，是幫助學(xué)生全面深入理解“函數(shù)”這一概念以及加強(qiáng)學(xué)生思維訓(xùn)練的合適內(nèi)容. 我校初中數(shù)學(xué)實(shí)行分層教學(xué)，筆者執(zhí)教的是最高層次S層，本堂習(xí)題課選擇了一道經(jīng)典的二次函數(shù)與直角三角形相結(jié)合的綜合問(wèn)題，題目設(shè)置不難，學(xué)生容易入手. 為了充分挖掘題目?jī)r(jià)值，讓課堂“思維流量”最大化，筆者決定把課堂“還給”學(xué)生，讓學(xué)生主講，將他們的思維充分展現(xiàn)出來(lái)，適時(shí)加以引導(dǎo)和點(diǎn)撥，激發(fā)學(xué)生自主探究精神，提升他們解決問(wèn)題的能力.

一、課堂實(shí)錄

（下發(fā)學(xué)案）

已知：如圖1，一次函數(shù)y=x+1的圖像與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與一次函數(shù)y=x+1的圖像交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0） .（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

師：請(qǐng)同學(xué)們用8分鐘時(shí)間思考和完成這道習(xí)題.

（8分鐘后）

師：本題第1問(wèn)比較基礎(chǔ)，考查二次函數(shù)解析式的求解，請(qǐng)同學(xué)直接上臺(tái)板書答案.

（生1板書答案：y=x2-x+1）

師：答案正確嗎？

生齊：正確.

評(píng)析：選擇學(xué)生板書，而不是口答，目的在于強(qiáng)調(diào)書寫的規(guī)范.

師：第2問(wèn)考查“點(diǎn)是否存在”的問(wèn)題，請(qǐng)問(wèn)做此類題型，我們需要注意哪些問(wèn)題？

生2：可以先假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，然后驗(yàn)證它的合理性，并且往往求出來(lái)不止一個(gè)點(diǎn)；這里點(diǎn)P在x軸上，所以它的縱坐標(biāo)一定是0，因此可以設(shè)P（a，0）.

生3：這里要求直角三角形，而不是我們最常見等腰三角形，并且題目已經(jīng)限定直角頂點(diǎn)是點(diǎn)P，那么不需要分類討論了.

師：兩位同學(xué)分析的十分到位，認(rèn)真審題和針對(duì)此類題型積累的經(jīng)驗(yàn)會(huì)對(duì)解題非常重要.

評(píng)析：從學(xué)生角度分析題干和總結(jié)題型經(jīng)驗(yàn)會(huì)給他們留下更加深刻的印象.

師：老師在巡查大家做題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)幾種不同的做法，那請(qǐng)同學(xué)們上臺(tái)講解自己的做法.

（生4上臺(tái)，投影自己的學(xué)案）

生4：我先假設(shè)點(diǎn)P存在，并在x軸上為它取一個(gè)大概的位置，再連接BP和CP. 由題意知∠BPC=90°，那么由勾股定理可得到：BP2+CP2=BC2，而BP、CP和BC的長(zhǎng)度均可根據(jù)坐標(biāo)系中“兩點(diǎn)距離公式”寫出來(lái)，從而得到關(guān)于a的方程：1+a2+9+（4-a）2=20，化簡(jiǎn)后為a2-4a+3=0，解得a1=3，a2=1，所以存在符合題意的點(diǎn)P，且有兩個(gè)，坐標(biāo)分別是P1（3，0）、P2（1，0）.

（全班掌聲）

師：請(qǐng)問(wèn)有多少同學(xué)用這個(gè)方法？（學(xué)生舉手）一多半同學(xué)。的確，提到直角三角形，我們很快能想到用勾股定理，其中運(yùn)用“兩點(diǎn)距離公式”時(shí)需要認(rèn)真計(jì)算. 用其他方法解題的同學(xué)請(qǐng)上臺(tái)展示.

生5：我是這樣做的：過(guò)點(diǎn)C向x軸作垂線CH，發(fā)現(xiàn)有“一線三等角”模型，因此我用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例計(jì)算，我列的等量關(guān)系是=，這些線段長(zhǎng)度都很容易表示出來(lái)，因此列方程 =，化簡(jiǎn)后也是 a2-4a+3=0，答案和上一個(gè)同學(xué)一樣.

（全班掌聲）

師：很棒的發(fā)現(xiàn)，原來(lái)相似三角形無(wú)處不在。但是老師這里需要提醒：方程=是一個(gè)分式方程，因此求解過(guò)程大家不要忽略了“檢驗(yàn)”這一步. 我聽見下面有同學(xué)說(shuō)還有方法，有請(qǐng)上臺(tái).

生6：我們知道如果兩條直線垂直，那么它們解析式的斜率乘積就是-1，即 KBP·KCP=-1，我計(jì)算得到KBP=-，KCP=，所以有方程=-1，化簡(jiǎn)后也是a2-4a+3=0.

（全班掌聲）

師：從大家熱烈的掌聲中，老師聽出了同學(xué)對(duì)這種方法的認(rèn)可. 的確，坐標(biāo)系中垂直直線斜率的關(guān)系往往為求解直角三角形的問(wèn)題帶來(lái)新的思路.

生7：老師，這個(gè)“斜率乘積為-1”的結(jié)論考試中能直接用嗎？教材上沒有講到.

師：可以的，雖然這是高中教材上的知識(shí)點(diǎn)，但知識(shí)是相通的，可以“提前”使用. 同學(xué)們腦洞大開，提出了三種解法，相信大家已經(jīng)很有收獲了，謝謝上臺(tái)展示的同學(xué)們.

生8：老師，我好像又想到一種方法，但不知道行不行？

師：沒關(guān)系，你來(lái)講一講，同學(xué)們掌聲鼓勵(lì).

（全班掌聲）

生8：我們剛學(xué)了圓的知識(shí)，知道了圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角，那么點(diǎn)P就一定在以BC為直徑的圓上.

師生齊（驚喜）：是的，對(duì)的.

生8：呃，可是我還沒想到怎么計(jì)算.

師：沒關(guān)系，能聯(lián)想到圓的性質(zhì)已經(jīng)很厲害了. 老師也沒想好怎么計(jì)算，那我們?cè)倩◣追昼姇r(shí)間想一想這個(gè)辦法能否行得通. 開始！

（2分鐘后）

生9（激動(dòng)）：老師，行得通，我做出來(lái)了.

師：太好了，那你來(lái)完成它.

生9：以BC為直徑的圓的圓心在BC的中點(diǎn)，標(biāo)上點(diǎn)M，那么MP就是半徑，即MP=BC，點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用 “中點(diǎn)坐標(biāo)公式”計(jì)算，也就是（2，2），然后用“兩點(diǎn)距離公式”寫出EP和BC的長(zhǎng)度，列出方程 （2-a）2+22=5，化簡(jiǎn)后還是 a2-4a+3=0.

（全班掌聲）

生10：老師，用“直角三角形中斜邊上中線等于斜邊的一半”也能解釋這個(gè)問(wèn)題.

師：是的. 直徑BC、弦BP和CP圍成的直角三角形，這時(shí)半徑MP則為斜邊BC上的中線. 大家看，這些知識(shí)的聯(lián)系還是非常緊密的. 對(duì)于這個(gè)二次函數(shù)和直角三角形的綜合題，大家表現(xiàn)非常好，一共想到了四種解法，不愧是S班的學(xué)生. 這里老師給大家留一個(gè)課后作業(yè)：若將題目中“以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)”的字樣去掉，那么答案又是怎樣？請(qǐng)大家至少用兩種方法求解.

評(píng)析：全程展示學(xué)生的成果，配合他們自己的講解，充分將學(xué)生的做題思路和思維方式展現(xiàn)出來(lái). 學(xué)生成為課堂的主人，充分體現(xiàn)其主體地位；教師適當(dāng)點(diǎn)評(píng)和引導(dǎo)，不失其課堂主導(dǎo)作用. 面對(duì)預(yù)設(shè)外的課堂生成，教師靈活積極地處理，而非“避而不談”，使得學(xué)生收獲信心、得到啟發(fā)，課堂不失靈氣. 因勢(shì)利導(dǎo)地安排課后作業(yè)，激發(fā)學(xué)生 “二次思考”，達(dá)到落實(shí)和提高的效果.

二、教學(xué)反思

1. 學(xué)生是課堂的主體

“新課程”理念的不斷推進(jìn)，要求教師不斷更新觀念，轉(zhuǎn)變角色，改變課堂中注重知識(shí)傳授的傾向，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)合作，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，在教學(xué)中尊重學(xué)生，凸顯學(xué)生的主體地位. 課堂上教師把時(shí)間和空間讓出來(lái)，學(xué)生帶著興趣思考和展示，充分發(fā)揮自己的想象，在相互評(píng)價(jià)與質(zhì)疑中得到拓展與提升. 教師不再是課堂的主體，但并不意味著喪失主導(dǎo)權(quán). 教師精心備課、合理預(yù)設(shè)、適時(shí)點(diǎn)撥以及靈活應(yīng)對(duì)是保證課堂上學(xué)生思維活躍、學(xué)習(xí)過(guò)程詳略得當(dāng)、教學(xué)結(jié)構(gòu)完整有序的基礎(chǔ)，從而教師之于課堂的“舵手”作用得以彰顯.

2. 課堂生成是課堂的資源

教師每天面對(duì)的是一群充滿活力、充滿個(gè)性的“生命體”，教師的課堂總處于一種變化的狀態(tài)中，通過(guò)預(yù)設(shè)和對(duì)話促使課堂生成，不斷加強(qiáng)對(duì)課堂生命和課堂生成狀態(tài)的思考正是我們執(zhí)著的追求.本文課堂實(shí)錄中“生8”提出的第四種解法是課堂預(yù)設(shè)外的，面對(duì)課堂即時(shí)生成的資源，教師不是敷衍了事、一筆帶過(guò)，而是引導(dǎo)并參與到學(xué)生的繼續(xù)探究中. 這里，筆者感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非單純的解題與應(yīng)用，而且是對(duì)問(wèn)題的深入思考，也是對(duì)事物內(nèi)在聯(lián)系的探索. 同時(shí)，我也看到了學(xué)生無(wú)限的想象力與創(chuàng)造力，教師是點(diǎn)燃火炬的人，課堂生成不僅能讓火炬旺盛地燃燒，甚至可以把火炬燃燒到課外，指引學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、思考和解決問(wèn)題.

3. 課后作業(yè)是課堂的延伸

一直以來(lái)，如何把握“熱烈的課堂氛圍”和“知識(shí)的鞏固落實(shí)”的關(guān)系是一線數(shù)學(xué)教師研討的重要議題，筆者認(rèn)為課后作業(yè)的設(shè)計(jì)在一定程度上能將二者有效結(jié)合. 課堂實(shí)錄中將例題自然地改編為一道作業(yè)題，沒有新編的背景、沒有復(fù)雜的數(shù)據(jù)，僅將題干的條件弱化，達(dá)到了拓寬題目廣度和深度的目的. 這樣的設(shè)計(jì)既能讓學(xué)生保持繼續(xù)探索的熱情，還能將課堂上并未“落在筆頭”的知識(shí)與技能鞏固. 科學(xué)有效的課后作業(yè)設(shè)計(jì)是課堂延伸的重要一環(huán)，就像剛欣賞完一部?jī)?yōu)秀的影視作品，人們?cè)诮蚪驑返?、流連忘返的同時(shí)，更加期待續(xù)集的上演.

責(zé)任編輯羅峰