□海南省?？谑械谝恢袑W(xué) 陳文彩

2018年導(dǎo)數(shù)解答題考查了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)知識的掌握程度和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，在秉承以往能力立意的基礎(chǔ)上，關(guān)注到素養(yǎng)立意。

理科第21題：已知函數(shù)f（x）=ex-ax2.（Ⅰ）若a=1，證明：當(dāng)x≥0時，f（x）≥1；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上只有一個零點，求a.

一、整體評價這個題的設(shè)計

第（Ⅰ）問設(shè)計合理，難度適中?？疾閷W(xué)生對導(dǎo)數(shù)、極值、單調(diào)性的深層理解，以及二階求導(dǎo)的能力，還考查學(xué)生變通的能力，即使沒有考慮到二次求導(dǎo)，還可以用換元法轉(zhuǎn)化成新函數(shù)再求導(dǎo)。除此之外，還考查學(xué)生解題的規(guī)范性，特別是求極值時要先判斷單調(diào)性。

第（Ⅱ）問設(shè)計靈活，難度偏易。考查學(xué)生的綜合分析能力，此題有分離參數(shù)和分類討論兩大解法，在時間緊迫的考場上需要學(xué)生能綜合分析題意，選擇較簡單的解題方法。選擇分離參數(shù)法，計算簡單，但需考慮端點取值；選擇分類討論，計算繁雜，難以討論清楚。

二、學(xué)生答得較好的地方

一是部分學(xué)生不會用二次求導(dǎo)，但也懂得先用換元法轉(zhuǎn)化成新函數(shù)再求導(dǎo)；二是第（Ⅱ）問會做的學(xué)生中，大部分應(yīng)該是用分離參數(shù)法做出來的，僅有少數(shù)會用分類討論的方法做出。

三、學(xué)生答得不足的地方

一是應(yīng)該存在部分學(xué)生不會解方程ex=2，甚至不會第一步求導(dǎo)，提交白卷。二是不明白求導(dǎo)的意義，盲目求導(dǎo)，甚至盲目求二階導(dǎo)、三階導(dǎo)，求完不知接下來做什么。三是個別學(xué)生求導(dǎo)后會直接判斷最小值，不考慮單調(diào)性。四是個別學(xué)生會把極值點代入原函數(shù)而不是一階導(dǎo)函數(shù)。五是第（Ⅱ）問分離參數(shù)時，有部分學(xué)生會讀題不準(zhǔn)，分離的是導(dǎo)函數(shù)的參數(shù)而不是原函數(shù)的參數(shù)。六是用分離參數(shù)法的學(xué)生會有很多沒有考慮端點的取值而導(dǎo)致不能拿到滿分。

四、給高三備考的建議

本題難度較以往降低，題型比較常規(guī)，方法比較大眾，沒有出現(xiàn)偏題、怪題和太刁難的題目，對導(dǎo)數(shù)的考查主要是極值、最值和零點問題，應(yīng)用的方法主要是二階求導(dǎo)和分離參數(shù)法，在設(shè)計時比較注重細(xì)節(jié)，注重解題的規(guī)范性，還注重題目的綜合分析能力，解題方法的選擇。

建議后面高三備考時，在導(dǎo)數(shù)上抓基礎(chǔ)、抓常規(guī)題型、抓解題的規(guī)范性、抓易扣分的細(xì)節(jié)，注重關(guān)注一元函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性、切線問題，關(guān)注含參數(shù)的恒成立問題和零點的存在性問題，以及已知恒成立、零點而反求參數(shù)的問題。

在講每一種題型時，提供多種解法、多方面多維度地分析求解題目，提升學(xué)生綜合分析題目的能力，提升學(xué)生選擇解題方法的能力，注重思維的寬、廣、細(xì)，在保證基礎(chǔ)、常規(guī)、細(xì)節(jié)、規(guī)范格式的基礎(chǔ)上再進(jìn)行適度的拓展。

很多學(xué)生不能真正理解導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值最值的關(guān)系，所以在一階求導(dǎo)后不能想到二階求導(dǎo)，今后的教學(xué)可以給學(xué)生分析清楚求導(dǎo)的目的和意義，讓學(xué)生在吃透概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)會事半功倍。

五、給高二新課的授課建議

新課教學(xué)時，要先熟記基本的求導(dǎo)公式，分析清楚導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值最值、圖像之間的關(guān)系，函數(shù)與方程的關(guān)系，以及他們之間的相互轉(zhuǎn)化的思想。

注重解題的規(guī)范性，教師教學(xué)時也要嚴(yán)格按照規(guī)范，不能隨便出現(xiàn)考試不能用的記號，比如箭頭，該寫的步驟不能隨便省略，學(xué)生會模仿，習(xí)慣了就改不掉。平時作業(yè)、測試要嚴(yán)抓解題格式，該嚴(yán)格扣分就嚴(yán)格扣分，一定要讓學(xué)生在初始學(xué)習(xí)時就養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

注重細(xì)節(jié)，易扣分的細(xì)節(jié)要告訴學(xué)生，并且多在考試中考查這些細(xì)節(jié)，讓學(xué)生養(yǎng)成注重細(xì)節(jié)的習(xí)慣。

加強常規(guī)題型的練習(xí)，降低難度，提升思維的寬度，研究多方法解決問題的能力，研究各種解法之間的關(guān)系，提升綜合分析能力，在考試中能選擇較便捷的解題方法。

六、常見解答方法

第（Ⅰ）問

解法1：當(dāng)a=1時，f（x）=ex-x2.

f'（x）=ex-2x.

則f''（x）=ex-2，令ex-2=0得x=1n 2.

當(dāng)x＞1n 2時，f''（x）＞0，則f'（x）在（1n 2，+∞）上是增函數(shù)；

當(dāng)0≤x＜1n 2時，f''（x）＜0，則f'（x）在［0，1n 2）上是減函數(shù)；

所以f'（x）min=f'（1n 2）=e1n2-21n2=2（1-1n2）＞0.

所以f（x）在［0，+∞）上是增函數(shù).

所以f（x）≥f（0）=1.

解法2：當(dāng)a=1時，f（x）=ex-x2，f'（x）=ex-2x.

令g（x）=ex-2x，x∈［0，+∞），則g'（x）=ex-2.

令ex-2=0得x=1n2.

當(dāng)x＞1n2，g'（x）＞0，則g（x）在（1n2，+∞）上是增函數(shù)；

當(dāng)0≤x＜1n2時，g'（x）＜0，則g（x）在［0，1n 2）上是減函數(shù)；

所以g（x）min=g（1n2）=e1n2-21n2=2（1-1n2）＞0.

即f'（x）＞0，所以f（x）在［0，+∞）上是增函數(shù)；

所以f'（x）≥f（0）=1.

解法3：當(dāng)a=1時，f（x）=ex-x2.

f（x）≥1等價于（x2+1）e-x-1≤0.

設(shè)函數(shù)g（x）=（x2+1）e-x-1，則g'（x）=-（x2-2x+1）e-x=-（x-1）2e-x.

當(dāng)x≠1，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減

而g（0）=0，故當(dāng)x≥0時，g（x）≤0，即f（x）≥1.

解法4：當(dāng)a=1時，f（x）=ex-x2，f'（x）=ex-2x.

令fy=ex，y'=ex.

函數(shù)y=ex的圖像在點（x0，ex0）處的切線方程為y-ex0=（x-x0）.

當(dāng)該切線經(jīng)過原點（0，0）時，0-ex0=ex0（0-x0），得x0=1，即函數(shù)y=ex的圖像經(jīng)過原點的切線方程為y=ex.

由于e＞2，所以x≥0時，ex0=ex≥2x.

所以f（'x）=ex-2x≥0在x≥0時恒成立.

所以 f（x）在［0，+∞）上是增函數(shù).

所以 f（x）≥f（0）=1.

第（Ⅱ）問

解法1：f（x）在（0，+∞）上只有一個零點，

即x＞0時方程 f（x）=ex-ax2=0有且僅有一解

即x＞0時方程 f（x）=ex-ax2=0等價于a=e2x

x

令g（'x）=0得x=2

令g（'x）＞0得x＞2，則g（x）在（2，+∞）上是增函數(shù).

令g（'x）＜0得x＜2，則g（x）在（0，2）上是減函數(shù).

因為x→0時，g（x）→+∞；x→+∞時，g（x）→+∞.

所以g（x）min=g（2）=

所以當(dāng)a=e42時（fx）在（0，+∞）只有一個零點.

解法2：

設(shè)函數(shù)h（x）=1-ax2e-x.

f（x）在（0，+∞）上只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)h（x）在（0，+∞）上只有一個零點.

（i）當(dāng)a≤0時，h（x）＞0，h（x）沒有零點；

（ii）當(dāng)a＞0時，h'（x）=ax（x-2）e-x.

當(dāng)x∈（0，2）時，h'（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時，h'（x）＞0.

所以h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增.

①若h（2）＞0e，即a＜，h（x）在（0，+∞）上沒有零

點；

零點；

由（1）知，當(dāng)x＞0時，ex＞x2，所以h（4a）=1-=1-

故h（x）在（2，4a）上有一個零點，因此h（x）在（0，+∞）上有兩個零點.

綜上，（fx）在（0，+∞）上只有一個零點時，a=

解法3：

當(dāng) （fx）在（0，+∞）上只有一個零點時，

即x＞0時方程 （fx）=ex-ax2=0且僅有一解，

亦x＞0時即方程ex=ax2有且僅有一解.

令g（x）=ex，x∈（0，+∞），h（x）=ax2，x∈（0，+∞），

則方程ex=ax2有且僅有一解時，

函數(shù)g（x）=ex，x∈（0，+∞），h（x）=ax2，x∈（0，+∞）的圖像有且僅有一個公共點，

設(shè)該點橫坐標(biāo)為x0，

則函數(shù)g（x）=ex，x∈（0，+∞），h（x）=ax2，x∈（0，+∞）的圖像在x=x0處有公切線

g（'x）=ex，h（'x）=2ax，則，解得x0=2，a=。