摘要：在高中數(shù)學(xué)課程中，三角函數(shù)是非常重要的一部分，而且也是高考必考的知識點(diǎn)之一，近年來三角函數(shù)分值在高考總分中所占比重逐年增加，因此必須要引起我們廣大高中生的足夠重視。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；隱含條件；挖掘

一、 注重挖掘三角函數(shù)定義域中的隱含條件

在三角函數(shù)知識體系學(xué)習(xí)中，函數(shù)定義域是非常重要的要素之一，而且也是三角函數(shù)得解的根本。定義域雖然看起來簡單，但是我們學(xué)生一旦對此不加留意，就很容易走入錯(cuò)誤的解題路徑，導(dǎo)致試題做錯(cuò)或漏解。而這些錯(cuò)誤的發(fā)生，絕大多數(shù)時(shí)候都是沒有找到題目中的隱含條件導(dǎo)致。

例1已知函數(shù)y=log1x（sinx+cosx），則此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間范圍為（）

A. 2kπ-π4，2kπ+π4 （k∈Z）

B. 2kπ-3π4，2kπ+π4 （k∈Z）

C. 2kπ+π4，2kπ+3π4 （k∈Z）

D. 2kπ+π4，2kπ+5π4 （k∈Z）

錯(cuò)解：由于0≤1x≤1，所以結(jié)合復(fù)合函數(shù)所具有的單調(diào)性，可以得出函數(shù)y=log1x（sinx+cosx）=log1x2sinx+π4，因此僅需要求函數(shù)g=sinx+π4的單調(diào)性便可以了。由2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2k∈Z，可以得到x的區(qū)間范圍為2kπ+π4，2kπ+5π4 （k∈Z），因此本題答案為D。

解析：上述解法之所以會(huì)出錯(cuò)，就是因?yàn)閷o定函數(shù)的定義域范圍考慮不周。所給定函數(shù)的定義域題干條件中并未直接給出，而是需要我們?nèi)ネ诰颍ㄟ^分析可知此題存在隱含條件：sinx+cosx>0，所以在求x取值范圍時(shí)，應(yīng)該在2kπ

評析：在三角函數(shù)試題求解中，我們高中生經(jīng)常容易犯的錯(cuò)誤就是對定義域考慮不周。對于單調(diào)的三角復(fù)合函數(shù)而言，其區(qū)間通常是三角函數(shù)子集，所以，我們當(dāng)遇到這一類問題時(shí)，先要考慮定義域，通過對函數(shù)定義域所包含的隱含條件進(jìn)行深入挖掘，再綜合考慮求解，才能保證得出正確答案。

二、 注重挖掘已知條件當(dāng)中的隱含條件

當(dāng)解答三角函數(shù)相關(guān)試題時(shí)，我們很多同學(xué)都會(huì)因?yàn)闆]有考慮到題干給定已知條件中所包含的隱含條件而導(dǎo)致試題做錯(cuò)。所以，在遇到該類試題時(shí)，我們一定要仔細(xì)研讀題干條件，弄清題意，理清思緒，認(rèn)真分析已知條件，對已知條件吃準(zhǔn)、吃透，找到題目中的隱含條件，從而才能讓試題順利得以解決，提高解題效率，起到事半功倍的效果。

例2已知正角α，β間存在如下關(guān)系式：α+β=23π，當(dāng)ω=1-cos（π-2α）cotα2-tanα2-12sin2β的值最大時(shí)，試求此時(shí)的α，β值各為多少。

錯(cuò)解：由于α+β=23π，所以α=23π-β

因此ω=1-cos（π-2α）cotα2-tanα2-12sin2β=12（sin2α-sin2β）=-12sin23π-2β

由于2β>0，所以23π-2β<23π，得出23π-2β=-12π+2kπ（k∈N），也即是

β=-kπ+712π，α=-kπ+112π時(shí)，ω的值可以取到最大。

解析：該題在解答過程中之所以會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，主要是因?yàn)楫?dāng)消去角度α?xí)r，沒有考慮到隱含條件：α>0且0<β<23π，因此使得角度取值范圍擴(kuò)大。由限定條件：α>0，β>0，α+β=23π，可得出0<β<23π，所以-23π<23π-2β<23π，因此當(dāng)23π-2β=-12π時(shí)，

ω的值可以取到最大，此時(shí)α=π12，β=712π。

評析：當(dāng)給定三角函數(shù)數(shù)值，想要求解角度值時(shí)，我們一定要對題目中條件進(jìn)行深入挖掘，盡可能挖掘到所有的隱含條件，防止角度值范圍擴(kuò)大而導(dǎo)致試題求解錯(cuò)誤。

三、 注重挖掘軸線角方面的隱含條件

在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識學(xué)習(xí)中，角度終邊經(jīng)常會(huì)落在坐標(biāo)軸上，這樣的角度便稱為“軸線角”。而軸線角的三角函數(shù)值或者不存在，或者便是特殊值，所以在求解該類角度的三角函數(shù)試題時(shí)我們應(yīng)當(dāng)特別留意，注意對軸線角方面的信息進(jìn)行挖掘，找到題干中的隱含條件，從而才能得出最終的正確解。

例3已知條件：sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，試求cosα的數(shù)值。

錯(cuò)解：由于cosα=sinαtanα=2sinβ3tanβ=23cosβ，因此cosβ=32cosα，同時(shí)

sinβ=12sinα，結(jié)合上述三個(gè)等式可以解得cosα=±64。

評析：該試題求解過程之所以會(huì)出錯(cuò)是因?yàn)椴⑽纯紤]到隱含的邊界條件：tanα≠0，

tanβ≠0，但是題目當(dāng)中并未對此條件作出說明，因此我們很多學(xué)生會(huì)忽略這樣的條件，實(shí)際上tanα=0，tanβ=0這樣的條件都是成立的，因此cosα=±1也成立，所以本題的正確答案應(yīng)該是cosα=±64或cosα=±1。

四、 注重挖掘三角形內(nèi)角范圍方面的隱含條件

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)角度通常會(huì)和三角形內(nèi)角聯(lián)系起來進(jìn)行考查，而當(dāng)我們遇到這類題型時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意挖掘題目中的隱含條件，也就是三角形內(nèi)角和等于180°，三角形任意一個(gè)內(nèi)角都大于0°，且三角形內(nèi)角中至多只有一個(gè)直角或鈍角，只有我們將這些隱含的條件都把握住，才能在做這類題時(shí)有的放矢，拿到滿分。

例4在三角形ABC中，如果sinA=35，且cosB=513，試求cosC的數(shù)值。

錯(cuò)解：由于sinA=35，因此可以解出cosA=±45，而結(jié)合cosB=513，可以解出

sinB=1213，所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB，可得出cosC=5665或cosC=1665。

評析：上述解法由于沒有考慮到三角形內(nèi)角的隱含限制條件，所以才得出兩個(gè)解，做錯(cuò)的原因主要是沒有深入挖掘題目中的隱含條件。由于三角形內(nèi)角A，B都是銳角，而且AA，所以∠A為銳角，因此cosA=45，那么cosC=1665。

五、 注意挖掘符合函數(shù)性質(zhì)方面的隱含條件

例5已知復(fù)合函數(shù)y=3sinπ4-3x，試求其單調(diào)遞增區(qū)間。

錯(cuò)解：令u=π4-3x，那么y=3sinu，而函數(shù)y=3sinu在2kπ-π2，2kπ+π2（k∈Z）區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，也就是2kπ-π2≤π4-3x≤2kπ+π2，可以解出-2kπ3-π12≤x≤-2kπ3+π4（k∈Z），因此所求復(fù)合函數(shù)y=3sinπ4-3x的單調(diào)遞增區(qū)間是-2kπ3-π12，-2kπ3+π4（k∈Z）。

解析：在這道題求解中，我們之所以會(huì)犯上述解題錯(cuò)誤，就是因?yàn)闆]有考慮到復(fù)合

函數(shù)u=π4-3x是減函數(shù)這樣的隱含條件，但是y=3sinu在2kπ-π2，2kπ+π2（k∈Z）區(qū)間上卻是單調(diào)遞增函數(shù)，從而可以得出y=3sinπ4-3x在2kπ-π2，2kπ+π2（k∈Z）區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。要想讓y=3sinπ4-3x=-3sin3x-π4為單調(diào)遞增函數(shù)，那么2kπ+π2≤3x-π4≤2kπ+3π2，可以解出2kπ3+π4≤x≤2kπ3+7π12（k∈Z），也就是復(fù)合函數(shù)y=3sinπ4-3x的單調(diào)遞增區(qū)間是2kπ3+π4，2kπ3+7π12。

評析：復(fù)合函數(shù)通常具有一些基本性質(zhì)：設(shè)函數(shù)y=f（u），u=g（x），x∈[a，b]，u∈[c，d]均為單調(diào)函數(shù)，那么y=f（g（x））也為單調(diào)函數(shù)。如果y=f（x）在定義域[m，n]上為單調(diào)遞減函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f（g（x））和函數(shù)u=g（x）在定義域[a，b]內(nèi)的單調(diào)性相反，也即是“同增異減”。

作者簡介：王乙羽，浙江省新昌市，新昌天姥中學(xué)。