楊春艷

摘 要：面積及面積法相關(guān)知識(shí)是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的重要內(nèi)容之一，其不僅擁有十分悠久的發(fā)展歷史，而且當(dāng)中還蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法。本文首先概述了面積簡史、面積以及面積法相關(guān)概念，展示了面積法的計(jì)算過程，同時(shí)介紹了面積法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的多種妙用。

關(guān)鍵詞：面積法；應(yīng)用；概率

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B

【文章編號(hào)】1008-1216（2018）02B-0066-02

數(shù)學(xué)是中學(xué)階段基礎(chǔ)教育的主要學(xué)科之一，對啟發(fā)學(xué)生思維、開發(fā)學(xué)生智力、培養(yǎng)邏輯能力等方面都有舉足輕重的作用。其中，平面幾何又是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中重要的內(nèi)容。學(xué)習(xí)平面幾何相關(guān)知識(shí)有助于幫助學(xué)生形成良好的幾何思維習(xí)慣，同時(shí)能有效培育和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)演繹和推理能力。平面幾何在中國也擁有十分悠久的發(fā)展歷史，同樣，平面幾何中的面積問題與平面幾何一樣歷史悠久，從溯源的角度上看，面積還是幾何學(xué)的起源之一。面積及面積法在日常生活中的運(yùn)用隨處可見，與生活息息相關(guān)、緊密相連。文章圍繞面積法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用展開研究，從面積簡史、面積及面積法的基本概念入手，結(jié)合解題實(shí)例，詳細(xì)分析面積法在初中數(shù)學(xué)解題過程中的巧妙應(yīng)用。

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，關(guān)于面積和面積法相關(guān)知識(shí)的教學(xué)已達(dá)到一定深度。通過對面積和面積法的學(xué)習(xí)，一方面能夠使學(xué)生更好、更直觀地學(xué)習(xí)、理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，另一方面通過面積法，構(gòu)建“數(shù)形結(jié)合”幾何模型，能夠?qū)⒅袑W(xué)數(shù)學(xué)中一些較為抽象和代數(shù)化知識(shí)進(jìn)行更為直觀、具象的幾何解釋。這些都對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)，理解數(shù)學(xué)思想，提升和強(qiáng)化學(xué)生具象思維和直覺思維等大有裨益。對此，有必要更加深入地研究和探索面積及面積法的相關(guān)發(fā)展歷程、概念，以及其在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的巧妙運(yùn)用，來增強(qiáng)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、與面積相關(guān)內(nèi)容的概述

（一） 中國古代數(shù)學(xué)的面積發(fā)展史

面積的發(fā)展史最早可以追溯到古埃及時(shí)期，其在中國的發(fā)展也同樣歷史悠久、源遠(yuǎn)流長。與其他古代文明相比，面積在中國數(shù)學(xué)史上的發(fā)展有著獨(dú)特的風(fēng)格和特色，其在中國古代的實(shí)際運(yùn)用主要在于對田壟、土地的測量。早在公元前2世紀(jì)，中國古代的數(shù)學(xué)家就著有《算術(shù)書》，該書是中國數(shù)學(xué)史上首次系統(tǒng)性地提出和闡釋面積相關(guān)的算題，其中就包括對田地的測量以及土地稅征收等，以及與實(shí)際生產(chǎn)生活密切聯(lián)系的面積問題。在之后的歷史發(fā)展中，又相繼有《九章算術(shù)》《九章算術(shù)注》《孫子算經(jīng)》《綴術(shù)》等相關(guān)著作問世。尤其是在《九章算術(shù)》中還涉及較多關(guān)于面積的幾何問題，特別是對不同形狀的土地面積計(jì)算作了較為成熟的分析，如方田（正方形）、直田（矩形）、圭田（三角形）、圓田（圓）、環(huán)田（圓環(huán)）等。由此可見，中國古代關(guān)于平面幾何面積相關(guān)的理論和算法已經(jīng)較為豐富，古代人民的智慧對世界數(shù)學(xué)史的發(fā)展作出了突出的貢獻(xiàn)。

（二）面積的概念

對于幾何圖形度量的最初動(dòng)因，在于解決社會(huì)生產(chǎn)和社會(huì)實(shí)踐的需要，對面積的度量也同樣如此。從古至今，關(guān)于面積的定義有多種解釋，較早的幾種表述由于當(dāng)時(shí)的社會(huì)背景和生產(chǎn)力水平的制約而存在較大的錯(cuò)誤。隨著歷史的演進(jìn)以及對幾何圖形面積認(rèn)識(shí)的深入，對面積概念的表述也趨于完善。其中較為典型且認(rèn)可度較高的幾種表述包括：“面積是物體的表面或圍城的平面圖形的大小”“面積是某一平面上一個(gè)封閉圖形所包圍部分的大小”“面積是對平面或曲面區(qū)域大小的度量”。從這幾種表述中可以看出，對面積概念的定義可以運(yùn)用“大小”的數(shù)量進(jìn)行衡量，從另一個(gè)角度上看，也可以認(rèn)為面積其實(shí)是任何一個(gè)封閉的平面圖形所對應(yīng)的一個(gè)特定的量。

二、面積的計(jì)算

（一） 與面積相關(guān)的公式

第一，三角形的面積公式：三角形底邊a乘以高h(yuǎn)除以2。數(shù)學(xué)公式表示形式為S=ah；第二，梯形面積公式：梯形上底a加下底b乘以高h(yuǎn)除以2。數(shù)學(xué)公式表示形式為S=（a+b）h； 第三，矩形面積公式：矩形的長a乘以寬b。數(shù)學(xué)公式表示形式為S=ab；第四，平行四邊形面積公式：底 邊乘以高 。數(shù)學(xué)公式表示形式為S=ah；第五，兩個(gè)全等的平面圖形，二者的面積相等；第六，任何一個(gè)封閉的平面圖形，其總面積等于各個(gè)部分面積相加之和。

（二）與面積相關(guān)的定理

第一，兩個(gè)相似的三角形，二者之間的面積比與相似比的平方相等；第二，兩個(gè)三角形的底邊跟高若是相等，則這兩個(gè)三角形的面積相等；第三，梯形、三角形、平行四邊形等平面圖形，若底和高都相等，則面積相等；第四，兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊相等且夾角互補(bǔ)，則這兩個(gè)三角形的面積相等；第五，相互等角或相互補(bǔ)角的兩個(gè)三角形的面積之比，等于夾角或補(bǔ)角的兩邊的乘積的比；第六，等角的平行四邊形面積比等于夾等角的兩邊乘積的比。

三、 面積法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

中國著名的院士張景中在其著作《仁者無敵面積法》中大量地運(yùn)用面積法進(jìn)行幾何圖形求解及證明，論證縝密，邏輯嚴(yán)格，充分證明了面積法在解題中的優(yōu)越性以及技巧和方法。這點(diǎn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中也可以得到印證。面積法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中，既可以用來計(jì)算平面幾何圖形的大小，又可以將面積作為一個(gè)橋梁以求解或證明其他一些表面相似以及看似無關(guān)實(shí)則相關(guān)的非面積幾何問題和代數(shù)問題。以下，筆者就簡要介紹面積法在初中數(shù)學(xué)解題中的幾種應(yīng)用。

（一）面積法建構(gòu)幾何等量關(guān)系求解邊長

如：“已知△ABC，把AD設(shè)為Rt△ABC的斜邊BC上面的高，并且，設(shè)定AB=45，AC=60，對AD進(jìn)行求解，即求AD。”本題是中學(xué)數(shù)學(xué)最常見的直角三角形求高問題。一般解題的思路主要是依據(jù)相似三角形和勾股定理進(jìn)行求解，解題過程較為復(fù)雜，而采用面積法建構(gòu)等量關(guān)系，使得解題更為高效、快捷。從已知條件中得知題中有兩個(gè)垂直關(guān)系，根據(jù)勾股定理可先求出線段的長，再根據(jù)面積法建構(gòu)幾何等量關(guān)系A(chǔ)B·AC=BC·AD，從而求出線段AD等于36.

（二）面積法求證線段比例等式

采用面積法證明線段的比例等式十分巧妙，其通過構(gòu)建面積這一橋梁，來證明幾何圖形的線段比例等式關(guān)系，直觀而又清晰，極易為多數(shù)初中生所接受。如：已知△ABC，設(shè)E為AD的中點(diǎn)，通過對BE進(jìn)行連接，并且把它延長交AC于點(diǎn)F，設(shè)BD：CD=2：1，求證AF：FC=2：3。對于該證明題，可以通過面積法進(jìn)行求證。首先， 對CE進(jìn)行連接，設(shè)S△CED=x，由于AE=DE，可以知道S△ACE=x，由BD：CD=2：1，可以知道S△BED=2x；由AE=DE，得出三角形AEB的面積等于三角形BED；設(shè)S△EFC=y，則可以得到等式與，計(jì)算得出x=y，最后證明出

（三）面積法計(jì)算概率

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中關(guān)于概率的內(nèi)容也有涉及。當(dāng)計(jì)算一些較為簡單的隨機(jī)事件所發(fā)生的概率時(shí)，除了一般使用的列表分析法之外，還可以采用面積法進(jìn)行計(jì)算。如“在一個(gè)黑白相間面積均等分布的圓盤中，轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤，求圓盤停止時(shí)指針指向非陰影部分的概率？”求解該題，運(yùn)用傳統(tǒng)解題方法，過程極為復(fù)雜，而利用面積法求解該題，則十分簡易。具體求解過程分析如下：

從該題的題干信息可得知，該圓盤陰影部分和非陰影部分間隔排列，且各自占圓盤總面積的一半，因此陰影部分和非陰影部分的總面積及各部分面積都相等。采用面積法可以直接得出圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針指向非陰影部分的概率為p=。

四、結(jié)束語

通過本文，可從中深刻體會(huì)面積法的直觀性和優(yōu)越性。通過對面積和面積法的學(xué)習(xí)，一方面能夠使學(xué)生更好、更直觀地學(xué)習(xí)、理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，另一方面通過面積法，構(gòu)建“數(shù)形結(jié)合”幾何模型，能夠?qū)⒅袑W(xué)數(shù)學(xué)中一些較為抽象和代數(shù)化知識(shí)進(jìn)行更為直觀、具象的幾何解釋。這些都對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)品質(zhì)，理解數(shù)學(xué)思想，提升和強(qiáng)化學(xué)生具象思維和直覺思維等大有裨益。

參考文獻(xiàn)：

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