鄒小芃，楊芊芊，楊亞靜

（1.浙江越秀外國語學院，浙江紹興312002；2.浙江大學經(jīng)濟學院，杭州310027）

0 引言

自2000年步入老齡化社會以來，我國老年人口比例加速增長。人口老齡化加速的直接原因包括出生率的下降和人均預(yù)期壽命的增長兩方面。目前，我國的人均預(yù)期壽命表現(xiàn)出明顯的增長趨勢，由2000年71.4歲上升至2015年的76.3歲。學界將人群未來的平均實際壽命高于預(yù)期壽命產(chǎn)生的風險定義為長壽風險，如何發(fā)揮資本市場的作用應(yīng)對長壽風險，是亟待解決的一大問題。

國內(nèi)外學者從年金產(chǎn)品設(shè)計的角度對長壽風險管理進行了理論研究，設(shè)計出多款年金產(chǎn)品，包括群體自助年金、長壽指數(shù)終身年金、死亡率指數(shù)年金和高齡遞延年金等。然而，由于這些產(chǎn)品存在給付金額波動較大，或給付開始時間較晚等情況，對于年金購買者的吸引力不大。文獻[4]結(jié)合長壽指數(shù)終身年金和高齡遞延年金的特點，提出了長壽指數(shù)延遲年金的設(shè)計思路，較好地平衡了年金提供者與年金購買者的風險。

由于長壽風險來自于人群死亡率的非預(yù)期降低，因此對長壽風險的有效管理需要建立在對未來死亡率精確預(yù)測的基礎(chǔ)上。死亡率的預(yù)測數(shù)據(jù)與未來實際死亡率越接近，相關(guān)金融工具的定價才越公平，利用其進行長壽風險管理的效果越好。本文首先運用動態(tài)的Lee-Carter模型對我國死亡率數(shù)據(jù)進行擬合和預(yù)測，構(gòu)建長壽風險指數(shù)來衡量系統(tǒng)性長壽風險的大小。然后在文獻[4]的基礎(chǔ)上，對動態(tài)死亡率假設(shè)下的長壽風險指數(shù)遞延年金進行定價，測算了一系列不同購買時間、不同遞延期、不同利率、不同性別情況下的長壽風險指數(shù)遞延年金的價格和風險轉(zhuǎn)移程度。

1 死亡率預(yù)測

1.1 死亡率預(yù)測模型

國內(nèi)外眾多學者對死亡率預(yù)測模型進行了探討，按照模型中是否考慮時間因素，可將死亡率模型分為靜態(tài)和動態(tài)兩類。前者假設(shè)死亡率只與個體的年齡有關(guān)，而與所處的日歷年無關(guān)。典型的靜態(tài)死亡率預(yù)測模型包括De Moivre模型、Gompertz模型、Makeham模型、Weibull模型等。靜態(tài)死亡率模型未考慮不同日歷年中死亡率的區(qū)別，不能反映出死亡率隨著時間推移逐漸降低的客觀趨勢，而動態(tài)死亡率模型引入了時間因素，考慮到日歷年變化對死亡率的影響，能夠更準確地對未來死亡率進行預(yù)測。Lee和Carter在20世紀90年代提出經(jīng)典的Lee-Carter模型，在此模型中，死亡率的影響因素包括時間因素和年齡因素，而不包括社會因素、經(jīng)濟因素等較難量化的外界因素，因而計算過程較為簡單且擬合情況較好，至今仍被廣泛使用。后續(xù)研究中，一些學者在經(jīng)典模型基礎(chǔ)上進行改進，提出了RH隊列效應(yīng)模型、Currie模型、兩因素CBD模型等。由于中國人口死亡率數(shù)據(jù)的可得年份較短，而Lee-Carter模型對歷史數(shù)據(jù)的擬合效果較好，因此本文采用Lee-Carter模型對有限數(shù)據(jù)下的中國人口死亡率進行擬合和預(yù)測，具體如下：

其中，lnmx,t表示在時間t時年齡為x歲的人群的中心死亡率自然對數(shù)值，參數(shù)αx表示各年齡段人群死亡率自然對數(shù)值的平均水平，kt表示t時中心死亡率整體水平的變化情況，系數(shù)βx描述對kt的敏感度，εx,j為隨機擾動項。

在模型參數(shù)標準化處理的假定下，可以直接計算得到αx的估計值。經(jīng)典的Lee-Carter模型采用奇異值矩陣分解法（SVD）估計參數(shù)kt和βx，以往研究表明，利用SVD對美國等發(fā)達國家死亡率進行預(yù)測的結(jié)果較為理想。然而，對時間序列kt做出準確預(yù)測至少需要連續(xù)20年的死亡率數(shù)據(jù)，考慮到我國對死亡率數(shù)據(jù)進行連續(xù)統(tǒng)計的年份不足20年，所以直接采用SVD對我國有限的死亡率數(shù)據(jù)進行預(yù)測容易出現(xiàn)失誤。根據(jù)文獻[5]對多種參數(shù)估計方法的比較，本文采用加權(quán)最小二乘法（WLS）進行估計，將死亡人數(shù)作為殘差平方和的權(quán)重，對參數(shù)kt和βx進行估計。而后，運用ARIMA模型推算出未來kt的預(yù)測值，再利用kt的預(yù)測值和、計算出死亡率的預(yù)測值。

1.2 數(shù)據(jù)采集與死亡率預(yù)測

本文選取1994—2012年共19年的全國人口分性別、分年齡的死亡率數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)的來源和調(diào)查樣本并不完全一致，其中1994年、1996—1999年、2001—2004年的死亡率數(shù)據(jù)來自于《中國人口統(tǒng)計年鑒》，2006—2009年、2011—2012年的數(shù)據(jù)來自于《中國人口與就業(yè)統(tǒng)計年鑒》，1995年和2005年的數(shù)據(jù)來自于全國1%的人口抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，2000年和2010年的數(shù)據(jù)來自于全國人口普查資料。為研究便利，本文假設(shè)百分之一的人口抽樣和全國人口變動抽樣與全國人口普查數(shù)據(jù)具有同等質(zhì)量，并將死亡率數(shù)據(jù)的口徑統(tǒng)一為每千人中的死亡人數(shù)。不同于以往的死亡率預(yù)測研究以每5歲為一個年齡組的分組方法，本文發(fā)現(xiàn)同一年齡組內(nèi)各年齡的死亡率可能存在較大差別，例如，0～4歲年齡組內(nèi)0歲的死亡率遠遠大于1～4歲的死亡率，因此本文直接采用每一個年齡的死亡率數(shù)據(jù)進行模型估計與預(yù)測。另外，在一般情況下，當其他條件一致時，女性的死亡率往往低于男性的死亡率，因此本文分別對不同性別人口的死亡率進行研究。

死亡率模型中αx表示各年齡人口死亡率的平均水平，圖1和圖2分別給出了不同年齡男性和女性人口死亡率模型中參數(shù)αx的估計值。由圖1和圖2可以看出，男性人口和女性人口的αx圖線相似度較高，均呈現(xiàn)對勾形，αx的取值在低齡段和高齡段較大，這說明無論對于男性還是對于女性，其死亡率很大程度上與年齡有關(guān)。當年齡小于10歲時，死亡率水平隨著年齡的增長而下降；當年齡在10—25歲時，死亡率水平在波動中逐漸提高，波動幅度較大；而在25歲之后，平均死亡率水平隨著年齡的增加而逐漸增加，男性人口到61歲時，平均死亡率水平數(shù)值已經(jīng)超過了0歲新生兒的死亡率，并繼續(xù)保持高速增長，而女性人口的這一數(shù)值為77歲。

圖1 不同年齡男性人口的αx估計值

圖2 不同年齡女性人口的αx估計值

年齡因子βx反映了各年齡組死亡率自然對數(shù)值相對于kt而言上升或下降的速度，圖3和圖4分別展示了不同年齡男性人口和女性人口死亡率模型中參數(shù)βx的估計值。男性人口與女性人口的βx估計值圖線的走勢一致，即都是隨著年齡的增加而波動下降，但不同年齡段、不同性別的波動幅度并不相同。分年齡段來看，在10～30歲期間，βx的波動幅度較大，且數(shù)值相對較大；而高齡段的βx數(shù)值波動性較小，說明高齡段的死亡率隨時間的變化程度不大。分性別來看，女性人口βx估計值普遍大于男性人口的βx值，說明女性人口的死亡率自然對數(shù)值相對于kt而言上升或下降的速度更快。男性人口參數(shù)βx的最大值為0歲對應(yīng)的0.035，而對于女性人口而言，雖然0～1歲年齡段對應(yīng)的βx值也較高，但其峰值出現(xiàn)在25歲前后。另外，女性人口βx的波動性也大于男性人口的情況，尤其在10～30歲期間，女性人口βx的最大值和最小值之間相差0.12，而男性人口的這一差值僅為0.02，這說明相對男性而言，女性人口死亡率對時間的變化更為敏感。

圖3 不同年齡男性人口的βx估計值

圖4 不同年齡女性人口的βx估計值

根據(jù)AIC、BIC信息準則，利用ARIMA（0,1,0）模型對1994—2012年期間的時間序列kt進行擬合和估計，男性和女性的擬合情況分布如5和圖6所示，用該模型對2013—2042年期間的kt進行預(yù)測。預(yù)測結(jié)果顯示，kt總體上呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢，這表明隨著時間的推移，死亡率水平在不斷地減小，這與歷年死亡率逐漸降低的趨勢相吻合；各年份女性人口死亡率的kt預(yù)測值普遍低于男性人口的預(yù)測值，主要原因是同年齡段的女性死亡率往往低于男性。

圖5 男性人口的kt估計值擬合情況

圖6 女性人口的kt估計值擬合情況

利用上述的估計值以及kt的預(yù)測值，計算得到不同日歷年中各年齡段的死亡率數(shù)值，由于養(yǎng)老年金產(chǎn)品主要涉及退休人群的死亡率數(shù)據(jù)，因此本文主要針對高齡人群的死亡率進行分析。下頁圖7和圖8分別為60歲、70歲、80歲、90歲及以上這四個年齡段不同性別人口在不同年份的死亡率的變化趨勢，從圖中可以看出，死亡率水平隨著年齡的增大而提高，且90歲以上這一人群的死亡率遠高于其他三個年齡段的死亡率；同一年齡段的死亡率隨著時間的推移逐漸下降，這也與社會經(jīng)濟的發(fā)展規(guī)律相吻合。對比不同性別的死亡率水平，可以發(fā)現(xiàn)同一年齡段的男性人口的死亡率普遍高于女性人口的死亡率。

圖7 不同年齡男性人口的死亡率變化情況

圖8 不同年齡女性人口的死亡率變化情況

2 長壽風險指數(shù)遞延年金

2.1 動態(tài)死亡率假設(shè)下的遞延年金定價

遞延年金與即期年金的主要區(qū)別在于年金開始給付的時間不同，遞延年金存在一個基金的累積期，在x0歲時一次性繳費購買后不立即給付，而是等到指定年齡x0+τ后才開始給付。年齡為x0歲的投保人購買的每期支付額為1元的遞延年金的價格為：

其中，DA(x0,r,τ)為遞延年金的價格，IA(x0+r)為即期年金的價格，ω表示最終壽命，ω-x0表示x0歲的人的預(yù)期余命，tPx0=Px0*px0+1*Px0+2*…Px0+t-1，表示年齡為x0歲的人至少還能活t年的概率，r為利率。

式（2）為文獻[4]中提出的傳統(tǒng)精算定價模型，建立在同一年齡段的死亡率不隨時間變化的假設(shè)之上。但是由前面的死亡率估計結(jié)果可知，死亡率會隨著時間的推移不斷改善，如果一直采用傳統(tǒng)精算定價模型中的靜態(tài)死亡率假設(shè)，會導(dǎo)致年金產(chǎn)品定價偏低，且這一偏差是不能通過大數(shù)法則加以分散的系統(tǒng)性風險。因此，有必要在年金精算定價模型中引入動態(tài)死亡率的假設(shè)。本文對定價模型進行調(diào)整，考慮了相同年齡段人口在不同日歷年中的死亡率差異。

考慮時間因素后，年齡為x0歲的投保人在日歷年t0購買的每期支付額為1元的即期年金的價格為：

其中，x0歲的人的預(yù)期余命ω-x0由生存概率決定，后者表示在t0時刻年齡為x0歲的人至少還能活t年的概率。

考慮時間因素后，年齡為x0歲的投保人在日歷年t0購買的每期支付額為1元的遞延年金的價格為：

2.2 長壽風險指數(shù)遞延年金設(shè)計

長壽風險指數(shù)遞延年金通過在定價模型中引入長壽風險指數(shù)，將年金產(chǎn)品的每期給付與長壽風險掛鉤，進而調(diào)節(jié)實際死亡率非預(yù)期性變動所帶來的系統(tǒng)性風險。長壽風險指數(shù)是衡量系統(tǒng)性長壽風險的有效指標，年金提供者在日歷年t0+t所面臨的長壽風險指數(shù)L計算方法如式（5）所示：

當死亡率非預(yù)期性下降，真實存活率不斷上升時，長壽風險指數(shù)增大，說明年金提供者所面臨的長壽風險增加；反之，當死亡率提高，真實存活率降低時，年金提供者需要支出的年金給付額低于預(yù)期值，其所面臨的長壽風險也隨之降低。因此，可以用長壽風險指數(shù)來衡量年金提供者所面臨的長壽風險大小。

通過在年金產(chǎn)品定價模型中引入長壽風險指數(shù)，可以將年金產(chǎn)品的每期給付與系統(tǒng)性長壽風險掛鉤，例如將每期給付設(shè)定為1/Lt0+t，當真實存活率上升，人口平均壽命延長時，年金提供者所面臨的系統(tǒng)性長壽風險增大，每期給付降低，由此可實現(xiàn)系統(tǒng)性長壽風險在年金提供者和購買者之間的分擔。

2.3 長壽風險指數(shù)遞延年金定價

考慮時間因素，年齡為x0歲的投保人在日歷年t0購買的每期支付額為1/Lt0+t元的長壽風險指數(shù)即期年金的價格為：

在長壽風險即期年金的基礎(chǔ)上，如果年金的給付不是從即期開始，而是當退休人員達到指定年齡x0+τ后才開始給付，就形成了本文所研究的長壽風險指數(shù)遞延年金。年金提供者所面臨的風險包括實際利率波動的風險、非系統(tǒng)性長壽風險以及實際死亡率非預(yù)期性降低造成的系統(tǒng)性長壽風險等多項風險。本文假設(shè)：（1）年金不存在利率風險，在年金存續(xù)期間內(nèi)利率是固定值r；（2）只考慮退休人員在x0歲時以躉繳方式購買年金的情況?；谝陨霞僭O(shè)，在日歷年t0時年齡為x0歲的退休人員購買、到x0+τ歲開始給付、每期給付額為1/Lt0+t的長壽風險指數(shù)遞延年金的價格為：

長壽風險指數(shù)遞延年金的設(shè)計理念本質(zhì)上是一種利益共享與風險共擔的機制：通過將每期給付與長壽風險指數(shù)掛鉤，可以實現(xiàn)系統(tǒng)性長壽風險在年金提供者和年金購買者之間的分擔，如果真實存活率非預(yù)期性下降，那么雙方可以共享收益，反之，如果真實存活率非預(yù)期性上升，則雙方共同承擔損失。雙方對長壽風險的具體承擔比例可以在年金設(shè)計中進行規(guī)定，如果系統(tǒng)性長壽風險完全由年金購買者承擔，可能出現(xiàn)在死亡率非預(yù)期性大幅下降的情況下，在年金給付額極低的情況，這種現(xiàn)象會嚴重影響年金購買者當年的生活水平，違背了年金購買者保障退休后生活質(zhì)量的初衷。

鑒于退休人員的風險厭惡程度通常較高，一般不愿意承擔全部系統(tǒng)性長壽風險，年金提供者可以通過改變每期給付與長壽風險指數(shù)的掛鉤程度來限制每期給付的波動幅度。假設(shè)規(guī)定每期給付的波動上限和下限分別為cap和floor(0＜floor＜1＜cap)，例如當cap=1.2，floor=0.8時，可將每期給付的波動幅度限制在20%以內(nèi)。設(shè)定上下限后的每期給付表達式為：

相應(yīng)的長壽風險指數(shù)遞延年金的定價模型為：

本文利用數(shù)值法，針對在不同日歷年t0時年齡為60歲的退休人員，計算他們購買每期給付上下限分別為0.8和1.2的長壽風險指數(shù)遞延年金的價格，并提供了一系列不同利率及不同遞延期情況下的年金價格，部分結(jié)果如表1和表2所示。

以60歲女性人口購買年金產(chǎn)品為例，分產(chǎn)品來看，當其他因素不變時，長壽風險指數(shù)遞延年金的價格低于長壽風險指數(shù)即期年金的價格，而后者的價格低于普通即期年金的價格，例如，假設(shè)t0=2004，r=3%保持不變，普通即期年金、長壽風險指數(shù)即期年金及τ=5的長壽風險指數(shù)遞延年金的價格分別為16.841元、16.184元和10.635元，說明長壽風險指數(shù)遞延年金相比普通的即期年金具有價格上的優(yōu)勢。

從總體上來看，年金的價格與性別、購買年份、遞延期的長度以及利率的高低這四個因素都有關(guān)系，對于同一購買時間購買的具有相同遞延期和利率的年金產(chǎn)品而言，男性人口的年金價格低于女性人口的年金價格，這是由于女性的存活率高于男性的存活率；當性別相同時，年金價格隨著購買年份的推遲、遞延期的延長、利率的增大而降低，例如一位在2014年達到60歲的男性只需要花0.122元，即可購買一份遞延期為25年、利率為5%的長壽風險指數(shù)遞延年金，而后在85歲至去世前的每一年獲得每期0.8～1.2元的年金給付。

表1 60歲男性人口購買IA、LRIIA、LRIDA的價格

表2 60歲女性人口購買IA、LRIIA、LRIDA的價格

從單個因素來看，購買年份對年金價格的影響較小，這表明：雖然近年來人口死亡率隨著時間的推移而降低，但下降幅度較小。例如，保持遞延期τ=5和利率r=3%不變，在2004年、2009年和2014年達到60歲的男性購買長壽風險指數(shù)遞延年金的價格分別為9.082元、9.078元和9.071元。利率因素和遞延期限對年金價格的影響較大。從遞延期限來看，同樣是在2004年購買的利率為5%的長壽風險指數(shù)遞延年金，遞延期為5年的年金價格為6.3元，而遞延期為25年的年金價格僅為0.122元。這表明遞延期越長，長壽風險指數(shù)遞延年金的價格優(yōu)勢越明顯。從利率因素來看，保持購買時間和遞延期不變，年金的價格隨著利率的提高而降低，這主要是由于利率越高，投資者要求的必要報酬率越高，則年金的價格越低。利率對價格的影響程度受遞延期的影響較大，遞延期越長，年金未來現(xiàn)金流的折現(xiàn)期數(shù)越多，利率變動對年金價格的影響程度越大。

2.4 系統(tǒng)性長壽風險轉(zhuǎn)移程度的測量

參照以往研究，本文以長壽風險指數(shù)遞延年金相對于普通即期年金在價格上的差異程度作為衡量系統(tǒng)性長壽風險轉(zhuǎn)移程度的指標。以男性人口的情況為例，圖9和圖10分別為t0=2004和t0=2014時不同遞延期（τ=0表示LRIIA）、不同利率所對應(yīng)的系統(tǒng)性長壽風險轉(zhuǎn)移程度。對比圖9和圖10可以發(fā)現(xiàn)，日歷年t0對長壽風險轉(zhuǎn)移程度的影響不大，且隨著遞延期的延長，其影響逐漸減小。當遞延期為0，r=3%時，t0=2004和t0=2014情況下長壽風險的轉(zhuǎn)移程度分別為3.28%和7.16%；而遞延期為25年，r=5%時，t0=2004和t0=2014情況下長壽風險的轉(zhuǎn)移程度均為99.01%，這時不同的日歷年對長壽風險轉(zhuǎn)移程度已沒有影響。另外，當遞延期和日歷年不變時，長壽風險轉(zhuǎn)移程度隨著利率的增大而提高。長壽風險轉(zhuǎn)移程度對遞延期的變化最為敏感，遞延期越長，長壽風險轉(zhuǎn)移程度越大。當τ=0時，長壽風險轉(zhuǎn)移程度均低于10%，而當τ=25時，長壽風險轉(zhuǎn)移程度達到了99%。從數(shù)值上來看，長壽風險指數(shù)即期年金的風險轉(zhuǎn)移程度不足10%，而長壽風險指數(shù)遞延年金的長壽風險轉(zhuǎn)移程度在40%～99%不等，達到了由年金提供者與購買者共同承擔長壽風險的目的。

圖9 系統(tǒng)性長壽風險轉(zhuǎn)移程度（t0=2004）

圖10 系統(tǒng)性長壽風險轉(zhuǎn)移程度（t0=2014）

3 結(jié)論

本文的結(jié)果表明：死亡率會隨著時間的推移不斷改善，如果采用傳統(tǒng)精算定價模型中的靜態(tài)死亡率假設(shè)，會導(dǎo)致年金產(chǎn)品定價偏低，且這一偏差不能通過大數(shù)法則加以分散，屬于系統(tǒng)性風險。因此，有必要在年金精算定價模型中引入動態(tài)死亡率的假設(shè)，考慮不同日歷年中死亡率的差異。

長壽風險指數(shù)遞延年金通過將每期給付與長壽風險指數(shù)掛鉤，能夠?qū)崿F(xiàn)部分系統(tǒng)性長壽風險從年金提供者向年金購買者的轉(zhuǎn)移。對于年金提供者而言，該年金產(chǎn)品幫助其分擔了部分系統(tǒng)性長壽風險，提高了機構(gòu)經(jīng)營的穩(wěn)定性；對于年金購買者而言，可以在自身風險承受范圍內(nèi)選擇相應(yīng)的年金產(chǎn)品，從而有效地規(guī)避自身實際壽命超出預(yù)期的個體長壽風險，同時由于承擔了部分系統(tǒng)性風險，可以享受年金產(chǎn)品價格的優(yōu)惠，以較低的價格獲得較高的風險覆蓋程度。

[1]Denuit M,Haberman S,Renshaw A.Longevity-indexed Life Annuities[J].North American Actuarial Journal,2011,15(1).

[2]Richter A,Weber F.Mortality-Indexed Annuities Managing Longevity Risk via Product Design[J].North American Actuarial Journal,2011,15(2).

[3]Milevsky M A,Promislow S D,Young V R.Killing the Law of Large Numbers:Mortality Risk Premiums and the Sharpe Ratio[J].Journal of Risk and Insurance,2006,73(4).

[4]張元萍，王力平.長壽指數(shù)延遲年金的設(shè)計與價值測度[J].當代經(jīng)濟科學，2014，36（2）.

[5]李志生，劉恒甲.Lee—Carter死亡率模型的估計與應(yīng)用——基于中國人口數(shù)據(jù)的分析[J].中國人口科學，2010，（3）.

[6]李志生，呂勇斌，劉恒甲.長壽風險的識別與量化研究：來自中國的數(shù)據(jù)[J].統(tǒng)計與決策，2011，（16）.

[7]高全勝，伍旭，王賽.人口壽命指數(shù)：指數(shù)構(gòu)造及其長壽風險管理應(yīng)用流程[J].保險研究，2012，（12）.

[8]祝偉，陳秉正.個人年金產(chǎn)品蘊含的長壽風險分析——生命表修訂的啟示[J].保險研究，2008，（3）.

[9]金博軼.動態(tài)死亡率建模與年金產(chǎn)品長壽風險的度量——基于有限數(shù)據(jù)條件下的貝葉斯方法[J].數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究，2012，（12）.

[10]金博軼.我國人口死亡率建模與養(yǎng)老金個人賬戶的長壽風險分析[J].統(tǒng)計與決策，2013，（23）.