王敏

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴陽550001）

0 引言

Linex損失是由Varian(1975)[1]提出的對稱損失函數(shù)，文獻(xiàn)[2]研究了在復(fù)合Linex對稱損失下正態(tài)均值以及指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計(jì)問題。艾拉姆咖分布是武器裝備維修理論中的常用分布，俄羅斯在研究武器裝備的維修時(shí)間時(shí)引進(jìn)了艾拉姆咖分布。文獻(xiàn)[3]研究了在定數(shù)截尾場合下不同先驗(yàn)對艾拉姆咖分布參數(shù)估計(jì)的影響,但是該文是在平方損失下做出的估計(jì)，在平方損失中不再引入新的參數(shù)，而在復(fù)合Linex損失函數(shù)中，還需要對尺度參數(shù)α做出估計(jì)。

本文在復(fù)合Linex對稱損失下，分別以伽瑪分布、共軛先驗(yàn)以及無信息先驗(yàn)為艾拉姆咖參數(shù)的先驗(yàn)分布、得到了艾拉姆咖分布參數(shù)的唯一貝葉斯估計(jì)。通過對瑪分布分布中的超參數(shù)做了靈敏性分析及對共軛先驗(yàn)艾拉姆咖分布中的參數(shù)給出了估計(jì)方法。并給出了艾拉姆咖分布參數(shù)的估計(jì)值，通過對比確定了一個(gè)較優(yōu)的先驗(yàn)分布。

1 艾拉姆咖分布參數(shù)的估計(jì)

單參數(shù)艾拉姆咖分布的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為：

F(x)=1-(1+λx)e-λx,其中x＞0，且λ＞0是參數(shù)。

由式（1）易知來自艾拉姆咖總體的樣本X1,X2,…,Xn的聯(lián)合概率密度為：

復(fù)合Linex對稱損失函數(shù)[2]形式為：

其中δ為λ的估計(jì)，a≠0是該損失函數(shù)的尺度參數(shù)。

引理1[2]：對于形狀參數(shù)已知的伽瑪分布，在給定尺度參數(shù)λ的先驗(yàn)分布π(λ)和對稱損失函數(shù)（3）下，若存在估計(jì)δ，其貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)r(δ)＜∞，則λ有唯一的貝葉斯估計(jì)：

1.1 先驗(yàn)分布為伽瑪分布的參數(shù)估計(jì)

定理1：設(shè)x1,x2,…,xn是來自艾拉姆咖分布的一組樣本觀察值，參數(shù)λ的先驗(yàn)分布π1(λ)服從伽瑪分布Γ(θ,β)，則λ具有唯一的貝葉斯估計(jì)：

證明：因?yàn)閰?shù)λ的先驗(yàn)分布π1(λ)服從Γ(θ,β)，則λ的密度函數(shù)為：

而樣本似然函數(shù)為：

于是λ的后驗(yàn)密度為：

證畢。

1.2 共軛先驗(yàn)下的參數(shù)估計(jì)

定理2：設(shè)x1,x2,…,xn是來自艾拉姆咖分布的一組樣本觀察值，參數(shù)λ的先驗(yàn)分布π2(λ)也服從艾拉姆咖分布，則λ具有唯一的貝葉斯估計(jì)：

證明：因?yàn)閰?shù)λ的先驗(yàn)分布π2(λ)服從共軛先驗(yàn)，則λ的密度函數(shù)為：

π2(λ)=λ2αexp{-αλ}，其中α為超參數(shù)

于是λ的后驗(yàn)密度為：

在復(fù)合Linex損失下，λ的Bayes估計(jì)為：

證畢。

1.3 無信息先驗(yàn)下的參數(shù)估計(jì)

定理3：設(shè)x1,x2,…,xn是來自艾拉姆咖分布的一組樣本觀察值，參數(shù)λ的先驗(yàn)分布π3(λ)服從無信息先驗(yàn)，則λ具有唯一的貝葉斯估計(jì)：

證明：參數(shù)λ的先驗(yàn)分布π3(λ)為無信息先驗(yàn)，即π3(λ)=1，于是λ的后驗(yàn)密度為：

在復(fù)合Linex損失下有：

證畢。

2 先驗(yàn)分布中參數(shù)的估計(jì)

對于復(fù)合Linex損失中尺度參數(shù)a的估計(jì)，可以參見文獻(xiàn)[4]中的討論，a取正負(fù)值對參數(shù)λ的后驗(yàn)估計(jì)影響不大，因此本文取a=0.1。

2.1 伽瑪分布中兩個(gè)參數(shù)的估計(jì)

對于先驗(yàn)分布伽瑪中的參數(shù)β與θ，取參數(shù)λ=1，樣本容量為20的艾拉姆咖樣本0.1586，0.4090，0.7420，1.0671，1.1866，1.3045，1.6034，1.6388，1.9408，2.0155，2.3368，2.3827，2.6109，2.7747，2.7836，2.7894，2.8058，2.8369，3.1529，3.2694.本文利用R軟件，隨機(jī)分別從一到十中重復(fù)取值1000次，得到β與θ的取值如下頁圖1所示，依次代入得到參數(shù)λ的均值為1.012044，均方差為0.08991331，由此看出參數(shù)β與θ并不靈敏，其取值對參數(shù)λ的影響不大，因此本文在后文的隨機(jī)模擬中直接取β=1與θ=1。

圖1

2.2 共軛艾拉姆咖分布中參數(shù)的估計(jì)

本文用極大似然法估計(jì)共軛先驗(yàn)中的超參數(shù)α。

用f(x|α)代替式（1），則式（2）在此時(shí)為：

取自然對數(shù)并求導(dǎo)得到關(guān)于α的方程：

下文隨機(jī)模擬的估計(jì)中將通過R軟件解式（5），得到α的估計(jì)值再代入式（4）得到λ的E-Bayes估計(jì)δα。

3 隨機(jī)模擬

本文利用R軟件，通過Monte-Carlo法模擬產(chǎn)生兩組服從艾拉姆咖分布的隨機(jī)樣本。方法為隨機(jī)抽服從均勻分布的隨機(jī)變量值u，這里u～U(0,1)，再由u=F(x)=1-(1+λx)e-λx，計(jì)算出x的取值，從而得到表1。

表1 參數(shù)的Bayes估計(jì)

從表1中看出，對于λ的不同取值，各不同先驗(yàn)下估計(jì)都是一樣精確的。對于不同的樣本容量而言，樣本容量越大估計(jì)越精確，在樣本容量較小時(shí)，估計(jì)有一定的偏差。相比較而言，先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)，即也為艾拉姆咖分布時(shí)，得到參數(shù)λ的Bayes估計(jì)最接近真值。

4 結(jié)束語

本文主要討論的是先驗(yàn)分布對參數(shù)估計(jì)的影響，具體分析了在復(fù)合Linex對稱損失下，對拉姆咖分布參數(shù)的先驗(yàn)分布為伽瑪分布、共軛先驗(yàn)及無信息先驗(yàn)進(jìn)行了對比，并用R語言進(jìn)行了模擬分析，得出各種先驗(yàn)分布下分布參數(shù)的Bayes估計(jì)值，結(jié)果顯示，當(dāng)先驗(yàn)為共軛先驗(yàn)時(shí)，估計(jì)值最接近艾拉姆咖分布參數(shù)的真值。

[1]Varian.A Bayes Approach to Real Estate Assessment[A].Fienberg S E,ZELLENER A.Studies in Bayesian Economics and Statistics in Honour of Lenoard J.Savage[C].Amesterdam:North Holland,1975.

[2]張睿.復(fù)合Linex損失下的參數(shù)估計(jì)[D].大連:大連理工大學(xué)碩士論文,2007.

[3]龍兵.不同先驗(yàn)分布下艾拉姆咖分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2015,(4).

[4]龍兵.不同損失函數(shù)下艾拉姆咖分布參數(shù)的Bayes估計(jì)——全樣本情形[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,(5).