溫玉卓，唐勝達(dá)，鄧國和

（廣西師范大學(xué)a.經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院；b.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西桂林541004）

0 引言

定義MArP風(fēng)險(xiǎn)過程：

其中,u是初始盈余資金，常數(shù)c＞0是保費(fèi)率。不妨設(shè)c=1，設(shè)J={}J(t),t≥0是不可約連續(xù)時(shí)間Markov過程(CTMC)，稱J為環(huán)境過程。J的有限狀態(tài)空間為EJ={1,2,…,M}，狀態(tài)i∈EJ表示保險(xiǎn)公司所處的風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境。計(jì)數(shù)過程N(yùn)(J(t))表示風(fēng)險(xiǎn)過程在(0,t]的索賠次數(shù)。設(shè){(J(t),N(J(t))),t≥0}構(gòu)成一Markov到達(dá)過程[1](Markov Arrival Process，MArP)。具體地，在狀態(tài)空間EJ×N上存在兩個(gè)M階矩陣，滿足：

①Q(mào)(0)+Q(1)構(gòu)成環(huán)境過程J的轉(zhuǎn)移率矩陣；

②對所有j,k∈EJ,j≠k,qjk(0)≥0表示環(huán)境狀態(tài)由j轉(zhuǎn)移至k時(shí)，沒有索賠發(fā)生的轉(zhuǎn)移速率；

③對所有j,k∈EJ,qjk(1)≥0表示環(huán)境狀態(tài)由j轉(zhuǎn)移至k時(shí)，發(fā)生索賠的轉(zhuǎn)移速率。

在風(fēng)險(xiǎn)過程（1）中，Xi表示風(fēng)險(xiǎn)過程的第i次索賠大小。給定環(huán)境狀態(tài)時(shí)，設(shè)索賠序列{Xi}相互獨(dú)立。本文假定索賠Xi具有PH分布，由于PH分布對于一切具有正支撐分布類稠密[2]，因而這一假設(shè)使得索賠更具一般性及概括性。設(shè)索賠受環(huán)境過程J影響，即當(dāng)環(huán)境狀態(tài)由j轉(zhuǎn)移至k并發(fā)生索賠時(shí)，險(xiǎn)種索賠額的分布為PH(βk,Bk),記bk=-Bke，其中e是維數(shù)適當(dāng)?shù)膯挝涣邢蛄浚皇б话阈?，對所有k∈EJ，設(shè)PH(βk,Bk)對應(yīng)的潛在Markov過程的瞬間狀態(tài)空間為Eph={1,2,…,K}。本文總是假定風(fēng)險(xiǎn)過程（1）滿足正的安全負(fù)荷條件：

其中μk=-βkBk-1e表示在k狀態(tài)發(fā)生索賠額的期望,{πj,j∈EJ}是環(huán)境過程J的平穩(wěn)分布,即

本文主要討論MArP風(fēng)險(xiǎn)過程（1）的與破產(chǎn)時(shí)間相關(guān)的性能指標(biāo)。基于此，定義：

稱τ為風(fēng)險(xiǎn)過程（1）的破產(chǎn)時(shí)刻。若對任意i∈Em1，都有V(t)＞0，則令u,0)。

定義破產(chǎn)時(shí)刻τ的分布函數(shù)為：定義破產(chǎn)時(shí)刻τ的Laplace-stieltjes變換(LST）：

1 模型分析

Markov流體隊(duì)列（MFQ）最初源于網(wǎng)絡(luò)通訊,它在近二十年得到了迅速發(fā)展，已被成功應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)通訊、供應(yīng)鏈、火災(zāi)防控、風(fēng)險(xiǎn)理論等領(lǐng)域。下面對本文需要用到的MFQ理論進(jìn)行簡單介紹。

1.1 MFQ的忙期

設(shè){(Y,φ)}={(Y(t),φ(t)),t≥0}是二維隨機(jī)過程，其中，過程φ是空間為E，轉(zhuǎn)移率矩陣為T的CTMC，稱φ={φ(t),t≥0}為背景過程，Y={Y(t),t≥0}稱為水平過程，過程Y的變化滿足如下等式：于是，稱為Markov流體隊(duì)列（MFQ）。

稱ci,i∈EJ為純輸入率，本文設(shè)ci只取值正負(fù)兩種情況，對狀態(tài)空間分類E=E+∪E-，其中，E+={i∈E,ci＞0}，E-={i∈E,ci＜0},定義矩陣C+=diag{ci,i∈E+}，C-=diag{-ci,i∈E-}，C=diag(C+,C-)。對應(yīng)于E=E+∪E-，轉(zhuǎn)移率矩陣T可寫成如下分塊形式：

下面定義首達(dá)時(shí)（first passage time,FPT）：

其中，θ表示初始水平為u的隨機(jī)流體隊(duì)列首次回到初始水平u的時(shí)間。顯然，θ與流體隊(duì)列的初始水平無關(guān)。χ表示初始水平為u的隨機(jī)流體隊(duì)列首次達(dá)到水平0的時(shí)間。記θ與χ相應(yīng)的分布函數(shù)為：

記矩陣ψ(x)=(ψij(x))，G+-(u,x)=(Gij(u,x))。記θ與χ相應(yīng)的LST變換為：

由文獻(xiàn)[3],有如下引理成立：

引理1：對MFQ{}(Y,φ)有如下等式成立：

對于上Riccati方程，由L-R算法[3]可求解(s)。

1.2 模型轉(zhuǎn)換

本文基于Asmussen[4]和張超權(quán)[5]等的方法，提出一種新的改進(jìn)算法，稱為Erlang逼近算法，不同于Asmussen[4]和張超權(quán)[5]將風(fēng)險(xiǎn)過程（1）轉(zhuǎn)化與之具有相同演變規(guī)律的MFQ模型，本文中，風(fēng)險(xiǎn)過程（1）轉(zhuǎn)化為初始水平為0的MFQ模型序列。使得MFQ模型序列逼近具有相同演變規(guī)律的MFQ模型，本文提出的這一改進(jìn)算法的優(yōu)點(diǎn)在于，Erlang逼近算法保持了原方法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)，這一算法的所有指標(biāo)量的討論都限定在一個(gè)忙期內(nèi),即求解過程中只涉及一個(gè)指標(biāo)量(忙期)的計(jì)算,同時(shí)，Erlang逼近算法較之文獻(xiàn)[5-8]，這一轉(zhuǎn)換關(guān)系回避了MFQ模型的流體水平過程的各種演變情況的分類及討論,使得計(jì)算程序十分簡潔，而且算法概率意義直觀，同時(shí)，對于Asmussen等的方法不可能討論的量，如MFQ模型最值的分布等，也可以應(yīng)用這一方法進(jìn)行求解。下面將詳細(xì)介紹這一方法。

圖1 風(fēng)險(xiǎn)過程樣本路徑

圖2 風(fēng)險(xiǎn)過程對應(yīng)的MFQ模型樣本路徑

首先，如圖1和圖2所示，假定風(fēng)險(xiǎn)過程（1）在發(fā)生索賠時(shí)，并非一次性付清，而是以速率1連續(xù)支付，直至付清。于是風(fēng)險(xiǎn)過程（1）轉(zhuǎn)化為MFQ模型(t)),t≥0},見圖2。其中,環(huán)境過程(t)的狀態(tài)空間為，記為過程的初始分布向量。類似于文獻(xiàn)[3，6，9],根據(jù)背景過程的轉(zhuǎn)移特點(diǎn)，得到相應(yīng)的轉(zhuǎn)移率矩陣，其中，構(gòu)造如表1所示，表中的第一列表示初始狀態(tài)i，第二列表示轉(zhuǎn)移狀態(tài)j，第三列表示對應(yīng)的轉(zhuǎn)移率，i≠j，轉(zhuǎn)移率矩陣元素可以根據(jù)轉(zhuǎn)移率矩陣行和為0這一性質(zhì)得到。

表1 過程的轉(zhuǎn)移率矩陣的元素結(jié)構(gòu)

表1 過程的轉(zhuǎn)移率矩陣的元素結(jié)構(gòu)

初始狀態(tài)i i(i,j,l)(i,j,l)i其他轉(zhuǎn)移狀態(tài)j 轉(zhuǎn)移率j1j q(0)ij Bj(l,ν)bj(l)(i,j,l)其他q(1)ijβj(l)0備注i,j∈EJ，l,ν∈Eph，k=1,2,…,M.

相應(yīng)的轉(zhuǎn)移率矩陣記為Q(n)，根據(jù)，將轉(zhuǎn)移率矩陣Q(n)改寫成如下分塊矩陣形式：

類似地，定義：

1.3 主要結(jié)果

基于MFQ序列{(V(n),J(n))}，對n=1,2,3,…，定義首達(dá)時(shí)序列：

其中，θn表示{(V(n),J(n))}從初始水平為0首次回到初始水平0的時(shí)間。χn表示{(V(n),J(n))}從初始水平為Un首次達(dá)到水平0的時(shí)間。

類似地，定義θn與χn的LST變換矩陣，其中：

類似地，定義τn為MFQ{(V(n),J(n))}對應(yīng)初值為Un的風(fēng)險(xiǎn)過程（1）的破產(chǎn)時(shí)刻，設(shè)τn的LST變換矩陣為

下面給出本文的主要定理及證明。

定理1：設(shè)給定初始盈余u及初始環(huán)境狀態(tài)i∈EJ，則MArP風(fēng)險(xiǎn)過程（1）的破產(chǎn)時(shí)間的LST變換u,s)滿足：

其中，符號A1·表示取矩陣A1·的第一行元素。有：

注意到初始環(huán)境狀態(tài)給定為i∈EJ，于是=ei，=0,其中，ei表示第i個(gè)元素為1，其他元素為0的維數(shù)適當(dāng)?shù)男邢蛄俊亩∩鲜降谝恍?，得?/p>

由文獻(xiàn)[10],解得上式：

注意到An(s)=An-sI，于是有：

對應(yīng)的仿文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)，如圖3所示，在{(V(n),J(n))}中，有如下關(guān)系：

證明：由引理1,MFQ序列

圖3 Un，τn與χn的數(shù)量關(guān)系

于是：

注意到，Un服從分布，故，當(dāng)n→+∞時(shí)，隨機(jī)變量Un收斂為常數(shù)u(注：本文的收斂均指以概率1收斂)[11],于是，令上式左右兩邊同時(shí)令n→+∞，得到：

定理顯然。

②定理1給出了破產(chǎn)時(shí)間的LST變換的一個(gè)逼近算法,由文獻(xiàn)[11,13]可知，即使當(dāng)階數(shù)n很小時(shí),這一算法也具有優(yōu)良的精度,文獻(xiàn)[9]中給出了破產(chǎn)時(shí)間LST的不同證明方法。顯然本文的證明方法更為簡潔明了。

顯然，令s=0，有如下推論成立：

推論1：設(shè)給定初始盈余u及初始環(huán)境狀態(tài)i∈EJ，則MArP風(fēng)險(xiǎn)過程（1）的最終破產(chǎn)概率為：

同時(shí)，根據(jù)PH分布的性質(zhì)，可以推得如下結(jié)論：

推論2：設(shè)給定初始盈余u及初始環(huán)境狀態(tài)，則MArP風(fēng)險(xiǎn)過程（1）的破產(chǎn)赤字服從PH分布：

2 數(shù)值實(shí)例

為了說明本文的理論結(jié)果，下面給出一數(shù)值實(shí)例：考慮具有兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)的MArP風(fēng)險(xiǎn)過程，設(shè)EJ={1,2}，其中1表示高風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，2表示低風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，背景過程對應(yīng)于不發(fā)生索賠和發(fā)生索賠的轉(zhuǎn)移率矩陣分別設(shè)為：當(dāng)背景過程轉(zhuǎn)移至狀態(tài)1時(shí)，索賠服從分布PH(α,A)，其中，α=(1,0)，A=，背景過程轉(zhuǎn)移至狀態(tài)2時(shí)，索賠服從分布PH(β,B)，其中設(shè)過程的初始盈余為u=1，于是，由定理1可以得到兩狀態(tài)下風(fēng)險(xiǎn)過程（1）對應(yīng)的破產(chǎn)時(shí)間的LST變換函數(shù)，對LST變換函數(shù)取逆變換[12]，于是得到兩風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下破產(chǎn)時(shí)間的概率密度函數(shù)值如表2所示，從表中數(shù)據(jù)可見，本文提出的這種逼近新算法，借助了Erlang逼近速度快這一優(yōu)點(diǎn)，不需計(jì)算任何中間量即可求得所需的性能指標(biāo)。

表2 兩風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下破產(chǎn)時(shí)間的概率密度函數(shù)值

同時(shí)，根據(jù)本文推論1的結(jié)論，可以計(jì)算出在不同Erlang分布階數(shù)下風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)1和2的終破產(chǎn)概率，如圖4所示，從圖中可見，Erlang逼近的精度是可以滿足一般風(fēng)險(xiǎn)度量需求的[11]。

3 結(jié)論

本文分析了在隨機(jī)環(huán)境下的風(fēng)險(xiǎn)過程，即一類由Markov隨機(jī)環(huán)境過程同時(shí)影響風(fēng)險(xiǎn)過程的索賠大小及頻率，在索賠服從PH分布情形下，將這一風(fēng)險(xiǎn)過程轉(zhuǎn)化為MFQ模型，在轉(zhuǎn)換過程中，本文改進(jìn)了Asmussen等轉(zhuǎn)換方法，即將風(fēng)險(xiǎn)過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)初始水平為0的MFQ序列，這一轉(zhuǎn)換關(guān)系將對風(fēng)險(xiǎn)過程性能指標(biāo)的討論限定在一個(gè)忙期內(nèi),從而使得問題求解的計(jì)算簡潔直觀，應(yīng)用MFQ理論探討了這一風(fēng)險(xiǎn)過程的破產(chǎn)時(shí)間分布的LST變換的表示式，給出了最終破產(chǎn)概率以及破產(chǎn)赤字分布。本文的結(jié)論具有實(shí)際可操作性，這些結(jié)論對于保險(xiǎn)公司分析外界隨機(jī)環(huán)境因素對保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的經(jīng)營及管理的影響提供了理論基礎(chǔ)，對保險(xiǎn)人規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，穩(wěn)健經(jīng)營具有重要的指導(dǎo)意義。

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